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GroupElements[group]

group のすべての元のリストを返す．

GroupElements[group,{r1,…,rk}]

group の元に標準的な順序で r1,…,rkと番号付けして返す．

詳細とオプション
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GroupElements

GroupElements[group]

group のすべての元のリストを返す．

GroupElements[group,{r1,…,rk}]

group の元に標準的な順序で r1,…,rkと番号付けして返す．

詳細とオプション

  • 置換群の元は群の強生成集合表現を構築することで求まる．
  • GroupElementsによって返される元の位数は強生成集合の基底に依存する．GroupActionBase->{p1,p2,…}を設定することで明示的に基底を選ぶことができる．
  • GroupElements[group,{1}]は任意の選ばれた群基底の恒等元を与える．
  • 負の位置は末尾から数えるものとみなされる．

例題

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例  (3)

巡回置換群の元：

Wolfram Language code: GroupElements[PermutationGroup[{Cycles[{{1, 9, 6}, {3, 7}}]}]]

最初の3つの元：

Wolfram Language code: GroupElements[PermutationGroup[{Cycles[{{1, 9, 6}, {3, 7}}]}], {1, 2, 3}]

最後の元：

Wolfram Language code: GroupElements[PermutationGroup[{Cycles[{{1, 9, 6}, {3, 7}}]}], {-1}]

スコープ  (2)

置換群：

Wolfram Language code: perm1 = Cycles[{{1, 5, 3, 12, 8, 4, 16, 11, 7, 2, 20, 10, 6}, {9, 15, 17, 14, 19, 18, 13}}]; perm2 = Cycles[{{1, 4}, {2, 5, 3}}]; group = PermutationGroup[{perm1, perm2}];
Wolfram Language code: GroupOrder[group]

最初の置換は常に恒等置換である．次に，台の最後の点を動かす置換を行う：

Wolfram Language code: GroupElements[group, Range[10]]
Wolfram Language code: PermutationReplace[Range[20], %]//Column

交代群は3巡回で生成される：

Wolfram Language code: GroupElements[PermutationGroup[{Cycles[{{1, 2, 3}}], Cycles[{{2, 3, 4}}], Cycles[{{3, 4, 5}}], Cycles[{{4, 5, 6}}]}]] === GroupElements[AlternatingGroup[6]]

オプション  (1)

GroupActionBase  (1)

転置とシフトで生成された次数5の対称群を取る：

Wolfram Language code: group = PermutationGroup[{Cycles[{{1, 2}}], Cycles[{{1, 2, 3, 4, 5}}]}]

デフォルトで，置換は標準劇な順序付けで得られる：

Wolfram Language code: standardS5 = GroupElements[SymmetricGroup[5]];
Wolfram Language code: GroupElements[group] === standardS5

異なる順序で同じ置換を生成する：

Wolfram Language code: perms = GroupElements[group, GroupActionBase -> {5, 3, 4, 1, 2}];
Wolfram Language code: perms === standardS5
Wolfram Language code: Sort[perms, Less] === standardS5

基底の役割は基底に関連した置換のもとでの共役として理解することができる：

Wolfram Language code: g = FindPermutation[{1, 2, 3, 4, 5}, {5, 3, 4, 1, 2}]
Wolfram Language code: PermutationReplace[perms, g] === standardS5

アプリケーション  (1)

一様の階数を生成し次にそれらの置換を行うことで，群内に一様分布に従うランダム置換を生成することができる：

Wolfram Language code: group = PermutationGroup[{Cycles[{{1, 25, 5, 3, 12, 23, 24, 8, 4, 16, 11, 26, 7, 2, 20, 22, 10, 6}, {9, 15, 21, 27, 17, 14, 19, 18, 13}}], Cycles[{{1, 4}, {2, 5, 3}}]}];
Wolfram Language code: order = GroupOrder[group]
Wolfram Language code: SeedRandom[100];RandomInteger[order, 5]
Wolfram Language code: GroupElements[group, %]

特性と関係  (1)

置換群：

Wolfram Language code: group = PermutationGroup[{Cycles[{{1, 25, 5, 3, 12, 23, 24, 8, 4, 16, 11, 26, 7, 2, 20, 22, 10, 6}, {9, 15, 21, 27, 17, 14, 19, 18, 13}}], Cycles[{{1, 4}, {2, 5, 3}}]}];
Wolfram Language code: order = GroupOrder[group]

これはまだ の小さい部分群に過ぎない：

Wolfram Language code: 27! / order

群内のいくつかの置換を取り出す：

Wolfram Language code: SeedRandom[200];positions = RandomInteger[order, 5]
Wolfram Language code: GroupElements[group, positions]

置換の位置を求める：

Wolfram Language code: GroupElementPosition[group, %]
Wolfram Language code: % === positions

考えられる問題  (3)

位置0は定義されない：

Wolfram Language code: GroupElements[PermutationGroup[{Cycles[{{1, 2, 3, 4}}], Cycles[{{1, 2}}]}], {0}]

位置は群の位数より大きくてはならない：

Wolfram Language code: GroupElements[PermutationGroup[{Cycles[{{1, 2, 3, 4}}], Cycles[{{1, 2}}]}], {30}]

置換はWolfram言語の標準的な順序ではなく像によってソートされる：

Wolfram Language code: perms = GroupElements[AlternatingGroup[4]]
Wolfram Language code: Sort[perms] === perms
Wolfram Language code: Sort[perms, Less] === perms

おもしろい例題  (1)

これらは最大マシュー群 の置換表現の生成元である：

Wolfram Language code: GroupGenerators[MathieuGroupM24[]]
Wolfram Language code: GroupOrder[MathieuGroupM24[]]

この群のソートされた基底と相対的な強生成集合を求める：

Wolfram Language code: chain = GroupStabilizerChain[MathieuGroupM24[]];
Wolfram Language code: SGS = chain[[1, 2]]
Wolfram Language code: base = chain[[-1, 1]]

位数960の部分群：

Wolfram Language code: GroupOrder[subgroup = PermutationGroup[GroupGenerators[SGS][[{1, 5}]]]]

ソートされていない基底を使ってその置換を構築する：

Wolfram Language code: Length[perms = GroupElements[subgroup, GroupActionBase -> {1, 4, 2, 3, 7, 6, 5}]]

群におけるそれらの位置を求める：

Wolfram Language code: inM24 = GroupElementPosition[MathieuGroupM24[], perms];

それらはソートされていない：

Wolfram Language code: ListPlot[inM24, Frame -> True]

異なる基底を使うと別々の再順序付けのパターンが現れる：

Wolfram Language code: Length[perms = GroupElements[subgroup, GroupActionBase -> {6, 1, 7, 2, 5, 3, 4}]]
Wolfram Language code: inM24 = GroupElementPosition[MathieuGroupM24[], perms];
Wolfram Language code: ListPlot[inM24, Frame -> True]

デフォルトで，基底はソートされているものとみなされる：

Wolfram Language code: Length[perms = GroupElements[subgroup]]
Wolfram Language code: inM24 = GroupElementPosition[MathieuGroupM24[], perms];
Wolfram Language code: ListPlot[inM24, Frame -> True]
Wolfram Research (2010), GroupElements, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/GroupElements.html.

テキスト

Wolfram Research (2010), GroupElements, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/GroupElements.html.

CMS

Wolfram Language. 2010. "GroupElements." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/GroupElements.html.

APA

Wolfram Language. (2010). GroupElements. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/GroupElements.html

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2026_groupelements, author="Wolfram Research", title="{GroupElements}", year="2010", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/GroupElements.html}", note=[Accessed: 03-November-2026]}

BibLaTeX

@online{reference.wolfram_2026_groupelements, organization={Wolfram Research}, title={GroupElements}, year={2010}, url={https://reference.wolfram.com/language/ref/GroupElements.html}, note=[Accessed: 03-November-2026]}