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GroupElements[group]

返回 group 的所有元素列表.

GroupElements[group,{r1,…,rk}]

以标准顺序返回 group 中编号为 r1,…,rk 的元素.

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按以下格式引用：

GroupElements

GroupElements[group]

返回 group 的所有元素列表.

GroupElements[group,{r1,…,rk}]

以标准顺序返回 group 中编号为 r1,…,rk 的元素.

更多信息和选项

  • 置换群的元素是通过构建该群的强生成集表示求得的.
  • 由 GroupElements 返回的元素顺序基于强生成集的基. 可以通过设置 GroupActionBase->{p1,p2,…}，选择一个显式的基.
  • 对所选择的任何群基，GroupElements[group,{1}] 都给出单位元.
  • 负位置表示从末端开始计数.

范例

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基本范例  (3)

一个轮换置换群的元素：

Wolfram Language code: GroupElements[PermutationGroup[{Cycles[{{1, 9, 6}, {3, 7}}]}]]

前三个元素：

Wolfram Language code: GroupElements[PermutationGroup[{Cycles[{{1, 9, 6}, {3, 7}}]}], {1, 2, 3}]

最后一个元素：

Wolfram Language code: GroupElements[PermutationGroup[{Cycles[{{1, 9, 6}, {3, 7}}]}], {-1}]

范围  (2)

一个置换群：

Wolfram Language code: perm1 = Cycles[{{1, 5, 3, 12, 8, 4, 16, 11, 7, 2, 20, 10, 6}, {9, 15, 17, 14, 19, 18, 13}}]; perm2 = Cycles[{{1, 4}, {2, 5, 3}}]; group = PermutationGroup[{perm1, perm2}];
Wolfram Language code: GroupOrder[group]

第一个置换总是单位元. 然后是移动支撑的最后的点的置换：

Wolfram Language code: GroupElements[group, Range[10]]
Wolfram Language code: PermutationReplace[Range[20], %]//Column

交错群可由3 个轮换生成：

Wolfram Language code: GroupElements[PermutationGroup[{Cycles[{{1, 2, 3}}], Cycles[{{2, 3, 4}}], Cycles[{{3, 4, 5}}], Cycles[{{4, 5, 6}}]}]] === GroupElements[AlternatingGroup[6]]

选项  (1)

GroupActionBase  (1)

以一个通过一个对换和一个平移生成的 5 次对称群为例：

Wolfram Language code: group = PermutationGroup[{Cycles[{{1, 2}}], Cycles[{{1, 2, 3, 4, 5}}]}]

默认情况下，置换以标准顺序生成：

Wolfram Language code: standardS5 = GroupElements[SymmetricGroup[5]];
Wolfram Language code: GroupElements[group] === standardS5

以另一个不同的顺序，生成相同的置换：

Wolfram Language code: perms = GroupElements[group, GroupActionBase -> {5, 3, 4, 1, 2}];
Wolfram Language code: perms === standardS5
Wolfram Language code: Sort[perms, Less] === standardS5

基的作用可以理解为联系各种基的置换下的共轭：

Wolfram Language code: g = FindPermutation[{1, 2, 3, 4, 5}, {5, 3, 4, 1, 2}]
Wolfram Language code: PermutationReplace[perms, g] === standardS5

应用  (1)

我们可以通过生成均匀的秩，然后构建置换来在一个群中生成均匀分布的随机置换：

Wolfram Language code: group = PermutationGroup[{Cycles[{{1, 25, 5, 3, 12, 23, 24, 8, 4, 16, 11, 26, 7, 2, 20, 22, 10, 6}, {9, 15, 21, 27, 17, 14, 19, 18, 13}}], Cycles[{{1, 4}, {2, 5, 3}}]}];
Wolfram Language code: order = GroupOrder[group]
Wolfram Language code: SeedRandom[100];RandomInteger[order, 5]
Wolfram Language code: GroupElements[group, %]

属性和关系  (1)

一个置换群：

Wolfram Language code: group = PermutationGroup[{Cycles[{{1, 25, 5, 3, 12, 23, 24, 8, 4, 16, 11, 26, 7, 2, 20, 22, 10, 6}, {9, 15, 21, 27, 17, 14, 19, 18, 13}}], Cycles[{{1, 4}, {2, 5, 3}}]}];
Wolfram Language code: order = GroupOrder[group]

它仍然是 的一个小子群：

Wolfram Language code: 27! / order

考虑该群中一些置换：

Wolfram Language code: SeedRandom[200];positions = RandomInteger[order, 5]
Wolfram Language code: GroupElements[group, positions]

求置换的位置：

Wolfram Language code: GroupElementPosition[group, %]
Wolfram Language code: % === positions

可能存在的问题  (3)

位置零未定义：

Wolfram Language code: GroupElements[PermutationGroup[{Cycles[{{1, 2, 3, 4}}], Cycles[{{1, 2}}]}], {0}]

位置不能大于群的阶：

Wolfram Language code: GroupElements[PermutationGroup[{Cycles[{{1, 2, 3, 4}}], Cycles[{{1, 2}}]}], {30}]

置换根据像排序，而不是根据 Wolfram 语言的标准顺序：

Wolfram Language code: perms = GroupElements[AlternatingGroup[4]]
Wolfram Language code: Sort[perms] === perms
Wolfram Language code: Sort[perms, Less] === perms

巧妙范例  (1)

下面是最大的马蒂厄群 的一个置换表示的生成元：

Wolfram Language code: GroupGenerators[MathieuGroupM24[]]
Wolfram Language code: GroupOrder[MathieuGroupM24[]]

求该群相对于一个排好序的基的一个强生成集：

Wolfram Language code: chain = GroupStabilizerChain[MathieuGroupM24[]];
Wolfram Language code: SGS = chain[[1, 2]]
Wolfram Language code: base = chain[[-1, 1]]

阶数为 960 的一个子群：

Wolfram Language code: GroupOrder[subgroup = PermutationGroup[GroupGenerators[SGS][[{1, 5}]]]]

利用一个未排序的基，构建其置换：

Wolfram Language code: Length[perms = GroupElements[subgroup, GroupActionBase -> {1, 4, 2, 3, 7, 6, 5}]]

求它们在 群中的位置：

Wolfram Language code: inM24 = GroupElementPosition[MathieuGroupM24[], perms];

它们未排序：

Wolfram Language code: ListPlot[inM24, Frame -> True]

不同的基产生不同的重新排序模式：

Wolfram Language code: Length[perms = GroupElements[subgroup, GroupActionBase -> {6, 1, 7, 2, 5, 3, 4}]]
Wolfram Language code: inM24 = GroupElementPosition[MathieuGroupM24[], perms];
Wolfram Language code: ListPlot[inM24, Frame -> True]

默认情况下，基是排好序的：

Wolfram Language code: Length[perms = GroupElements[subgroup]]
Wolfram Language code: inM24 = GroupElementPosition[MathieuGroupM24[], perms];
Wolfram Language code: ListPlot[inM24, Frame -> True]
Wolfram Research (2010)，GroupElements，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/GroupElements.html.

文本

Wolfram Research (2010)，GroupElements，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/GroupElements.html.

CMS

Wolfram 语言. 2010. "GroupElements." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/GroupElements.html.

APA

Wolfram 语言. (2010). GroupElements. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/GroupElements.html 年

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2026_groupelements, author="Wolfram Research", title="{GroupElements}", year="2010", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/GroupElements.html}", note=[Accessed: 08-November-2026]}

BibLaTeX

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