WOLFRAM

Wolfram言語 ＆ システムドキュメントセンター

HazardFunction[dist,x]

x で評価された分布 dist のハザード関数を返す．

HazardFunction[dist,{x1,x2,…}]

{x1,x2,…}で評価された分布 dist の多変量ハザード関数を返す．

HazardFunction[dist]

ハザード関数を純関数として返す．

詳細
Details and Options Details and Options
例題  
例  
スコープ  
パラメトリック分布  
ノンパラメトリック分布  
派生分布  
ランダム過程  
一般化と拡張  
アプリケーション  
特性と関係  
考えられる問題  
関連項目
関連するガイド
履歴
引用書式

HazardFunction

HazardFunction[dist,x]

x で評価された分布 dist のハザード関数を返す．

HazardFunction[dist,{x1,x2,…}]

{x1,x2,…}で評価された分布 dist の多変量ハザード関数を返す．

HazardFunction[dist]

ハザード関数を純関数として返す．

詳細

  • HazardFunctionは死力としても知られている．
  • 連続分布の場合，HazardFunction[dist,x] dx は，観測値が無限小 dx について x より大きいことを前提として，それが x から x+dx までの間になる確率を返す．
  • 連続分布の場合，HazardFunction[dist,x] dx は無限小 dx についてProbability[x≤ξ<x+dxξ≥x,ξdist]に等しい． »
  • 離散分布の場合，HazardFunction[dist,x]はProbability[ξxξ≥x,ξdist]に等しい．
  • 多変量連続分布の場合，HazardFunction[dist,{x1,…,xn}]dx1 ⋯ dxnはProbability[x1≤ξ1<x1+dx1∧⋯∧xn≤ξn<xn+dxnξ1≥x1∧⋯∧ξn≥xn,{ξ1,…,ξn}dist]に等しい．
  • 多変量離散分布の場合，HazardFunction[dist,{x1,…,xn}]はProbability[ξ1x1∧⋯ ∧ξnxnξ1≥x1∧⋯∧ξn≥xn,{ξ1,…,ξn}dist]に等しい．

例題

すべて開く すべて閉じる

例  (4)

一変量連続分布のハザード関数：

Wolfram Language code: HazardFunction[WeibullDistribution[1 / 2, 2], x]
Wolfram Language code: Plot[%, {x, 0, 3}, Filling -> Axis]

一変量離散分布のハザード関数：

Wolfram Language code: HazardFunction[PoissonDistribution[2], x]
Wolfram Language code: DiscretePlot[%, {x, 0, 20}, ExtentSize -> 0.5]

多変量連続分布のハザード関数：

Wolfram Language code: Plot3D[HazardFunction[BinormalDistribution[1 / 2], {x, y}], {x, -1, 3}, {y, -1, 3}, PlotRange -> All, MaxRecursion -> 0]

多変量離散分布のハザード関数：

Wolfram Language code: DiscretePlot3D[HazardFunction[MultivariatePoissonDistribution[1, {2, 3}], {x, y}], {x, 0, 20}, {y, 0, 20}, ExtentSize -> 0.5]

スコープ  (22)

パラメトリック分布  (8)

厳密な数値結果を得る：

Wolfram Language code: HazardFunction[WeibullDistribution[2, 5], 4]
Wolfram Language code: HazardFunction[NegativeBinomialDistribution[20, 1 / 3], 5]

機械精度の結果を得る：

Wolfram Language code: HazardFunction[WeibullDistribution[2, 5], 4.]

連続分布について任意精度の結果を得る：

Wolfram Language code: HazardFunction[WeibullDistribution[2, 5], N[4, 25]]

厳密ではない母数を持つ離散分布について任意精度の結果を得る：

Wolfram Language code: HazardFunction[NegativeBinomialDistribution[20, N[1 / 3, 30]], 1]

多変量分布のハザード関数：

Wolfram Language code: HazardFunction[DirichletDistribution[{2, 4, 5}], {1 / 5, 2 / 3}]

ハザード関数の記号式を得る：

Wolfram Language code: HazardFunction[ChiSquareDistribution[ν], x]
Wolfram Language code: HazardFunction[UniformDistribution[{{a, b}, {c, d}}], {x, y}]

純関数の結果を取得する：

Wolfram Language code: HazardFunction[GammaDistribution[1, 2]]

値で評価する：

Wolfram Language code: %[3]

HazardFunctionは要素単位でリストに縫い込まれる：

Wolfram Language code: HazardFunction[NormalDistribution[], {0.0, 0.2, 0.3}]

多変量分布：

Wolfram Language code: HazardFunction[BinormalDistribution[1 / 2], {{0.0, 0.0}, {0.2, 0.2}, {0.3, 0.3}}]

ノンパラメトリック分布  (3)

ノンパラメトリック分布のハザード関数：

Wolfram Language code: r = RandomVariate[NormalDistribution[], 10 ^ 4];
Wolfram Language code: HazardFunction[HistogramDistribution[r], 0.2]
Wolfram Language code: HazardFunction[SmoothKernelDistribution[r], 0.2]
Wolfram Language code: HazardFunction[KernelMixtureDistribution[r], 0.2]

もとになっているパラメトリック分布の値と比較する：

Wolfram Language code: HazardFunction[NormalDistribution[], 0.2]

ヒストグラム分布の生存関数をプロットする：

Wolfram Language code: dist = HistogramDistribution[RandomVariate[NormalDistribution[], 10 ^ 3]];
Wolfram Language code: Plot[HazardFunction[dist, x]//Evaluate, {x, -3, 3}, Filling -> Axis, Exclusions -> None]

二変量平滑カーネル分布の生存関数をプロットする：

Wolfram Language code: dist = SmoothKernelDistribution[RandomVariate[BinormalDistribution[1 / 3], 30]];
Wolfram Language code: Plot3D[HazardFunction[dist, {x, y}]//Evaluate, {x, -4, 4}, {y, -4, 4}, PlotRange -> All]

派生分布  (8)

独立分布の積：

Wolfram Language code: hf = HazardFunction[ProductDistribution[TriangularDistribution[{2, 4}], TriangularDistribution[{1, 7}]], {x, y}]
Wolfram Language code: Plot3D[hf, {x, 1, 5}, {y, 0, 8}, PlotRange -> {0, 100}]

成分混合分布：

Wolfram Language code: hf = HazardFunction[MixtureDistribution[{1, 4}, {NormalDistribution[a, b], NormalDistribution[c, d]}], x]
Wolfram Language code: Plot[hf /. {a -> 0, b -> 1, c -> 6, d -> 3 / 2}, {x, -2, 6}, Filling -> Axis]

離散分布の二次変換：

Wolfram Language code: HazardFunction[TransformedDistribution[x ^ 2, xExponentialDistribution[2]], y]
Wolfram Language code: Plot[%, {y, 0, 8}, Filling -> Axis, AxesOrigin -> {0, 0}]

切断分布：

Wolfram Language code: hf = HazardFunction[TruncatedDistribution[{2, 3}, TriangularDistribution[{1, 4}]], x]
Wolfram Language code: Plot[hf, {x, 1.5, 5}, Filling -> Axis]

コピュラ分布：

Wolfram Language code: HazardFunction[CopulaDistribution[{"AMH", 1 / 3}, {UniformDistribution[{2, 4}], UniformDistribution[{3, 7}]}], {x, y}]//Simplify

それ自体の確率密度関数で定義された式の分布：

Wolfram Language code: HazardFunction[ProbabilityDistribution[UnitBox[x], {x, -Infinity, Infinity}], x]//FullSimplify

それ自体の累積分布関数で定義されたもの：

Wolfram Language code: HazardFunction[ProbabilityDistribution[{"CDF", Piecewise[{{-2 + x, 2 ≤ x ≤ 3}, {1, x > 3}}, 0]}, {x, -Infinity, Infinity}], x]

それ自体の生存関数で定義されたもの：

Wolfram Language code: HazardFunction[ProbabilityDistribution[{"SF", Piecewise[{{1 - 2(-2 + x) ^ 2, 2 ≤ x ≤ 5 / 2}, {2(3 - x) ^ 2, 5 / 2 < x ≤ 3}, {1, x < 2}}, 0]}, {x, -Infinity, Infinity}], x]

周辺分布：

Wolfram Language code: HazardFunction[MarginalDistribution[ ProbabilityDistribution[1 / (E ^ (y ^ 2 / 2)(Pi ^ (3 / 2) * (1 + x ^ 4))), {x, -Infinity, Infinity}, {y, -Infinity, Infinity}], 2], y]

QuantityDistributionのハザード関数は，引数が互換単位を持つQuantityであると仮定する：

Wolfram Language code: 𝒟 = NormalDistribution[Quantity[4, "Meters"], Quantity[1 / 2, "Meters"]]
Wolfram Language code: HazardFunction[𝒟, x]

これは数量の直接置換を可能にする：

Wolfram Language code: % /. x -> Quantity[387., "Centimeters"]

数量引数を直接使った場合と比較する：

Wolfram Language code: HazardFunction[𝒟, Quantity[387., "Centimeters"]]

ランダム過程  (3)

離散状態ランダム過程のSliceDistributionについてのハザード関数を求める：

Wolfram Language code: HazardFunction[PoissonProcess[μ][2], x]
Wolfram Language code: DiscretePlot[Evaluate[% /. μ -> 2], {x, 0, 10}, ExtentSize -> 0.5]

連続状態ランダム過程について：

Wolfram Language code: HazardFunction[WienerProcess[][2], x]
Wolfram Language code: Plot[%, {x, -1, 6}, Filling -> Axis]

離散状態過程について，複数の時間スライスを持つハザード関数を求める：

Wolfram Language code: HazardFunction[PoissonProcess[μ][{2, 3}], {1, 2}]
Wolfram Language code: DiscretePlot3D[Evaluate[HazardFunction[PoissonProcess[1][{2, 3}], {x, y}]], {x, 0, 10}, {y, 0, 10}, ExtentSize -> 0.5]

連続状態過程についての複数の時間スライス：

Wolfram Language code: Plot3D[HazardFunction[WienerProcess[][{2, 3}], {x, y}], {x, -3, 3}, {y, -3, 3}, PlotRange -> All]

離散状態ランダム過程のStationaryDistributionについてのハザード関数：

Wolfram Language code: HazardFunction[StationaryDistribution[QueueingProcess[λ, μ, Infinity]], x]//FullSimplify
Wolfram Language code: DiscretePlot[Evaluate[% /. {μ -> 7, λ -> 2.9}], {x, 1, 8}, ExtentSize -> 0.5]

一般化と拡張  (1)

HazardFunctionは要素単位でリストに縫い込まれる：

Wolfram Language code: HazardFunction[NormalDistribution[], {0.2, 0.3}]
Wolfram Language code: {HazardFunction[NormalDistribution[], 0.2], HazardFunction[NormalDistribution[], 0.3]}

多変量分布：

Wolfram Language code: HazardFunction[BinormalDistribution[1 / 2], {{0.0, 0.0}, {0.2, 0.2}, {0.3, 0.3}}]

アプリケーション  (4)

指数分布を含む寿命分布の死亡率を求める：

Wolfram Language code: Refine[HazardFunction[ExponentialDistribution[λ], x], x ≥ 0]

Gompertz分布：

Wolfram Language code: HazardFunction[GompertzMakehamDistribution[λ, ξ], x]

成分についての信頼性関数を与えられ，その失敗率を計算する：

Wolfram Language code: R[t_] = Exp[-t ^ 2];

対応する確率分布を定義する：

Wolfram Language code: 𝒟 = ProbabilityDistribution[{"SF", R[t]}, {t, 0, ∞}];

この分布を使って失敗率を計算する：

Wolfram Language code: FailureRate = HazardFunction[𝒟, t]

ワイブル(Weibull)分布族のハザード関数を調べる：

Wolfram Language code: w[α_, 1] := WeibullDistribution[α, 1]
Wolfram Language code: hf[α_, x_] = HazardFunction[w[α, 1], x]

だと中古品の方が新品よりよい：

Wolfram Language code: Plot[Table[hf[α, x], {α, {0.2, 0.3, 0.7}}]//Evaluate, {x, 0, 3}]

だと，中古が新品と同じ程度よい：

Wolfram Language code: Plot[hf[1, x], {x, 0, 3}]

だと，中古が新品に劣る：

Wolfram Language code: Plot[Table[hf[α, x], {α, {1.6, 2.3, 3.1}}]//Evaluate, {x, 0, 2}]

あるカジノでは を支払い，賭け金 を選ぶとゲームに参加できる．既知の分布 に従う正の連続する確率変数 が生成される． なら賭け金が回収できる．さもなければ賭けに負ける．儲けを最大にする の値を求める：

Wolfram Language code: ExpectedGain = c SurvivalFunction[𝒟, c] - P;

期待される儲けの最大値の方程式を求める：

Wolfram Language code: D[ExpectedGain, c] == 0 /. {D[SurvivalFunction[𝒟, c], c] -> -SurvivalFunction[𝒟, c] HazardFunction[𝒟, c]}
Wolfram Language code: eq = Simplify[%, SurvivalFunction[𝒟, c] > 0]

WeibullDistributionを仮定し，賭け金の最適額を求める：

Wolfram Language code: Solve[(eq /. 𝒟 -> WeibullDistribution[α, β]), c, Reals]
Wolfram Language code: ExpectedGain /. 𝒟 -> WeibullDistribution[α, β] /. %//Simplify

特性と関係  (3)

定義を条件付き確率として使ってハザード関数を計算する：

Wolfram Language code: Probability[x ≤ ξ < x + dxξ ≥ x, ξExponentialDistribution[λ]] / dx
Wolfram Language code: Limit[%, dx -> 0, Assumptions -> λ > 0 && x > 0]

ハザード関数は確率密度関数と生存関数の比 である：

Wolfram Language code: HazardFunction[NormalDistribution[], x]
Wolfram Language code: PDF[NormalDistribution[], x] / SurvivalFunction[NormalDistribution[], x]

指数分布のハザード率は一定である：

Wolfram Language code: Refine[HazardFunction[ExponentialDistribution[λ], x], x ≥ 0]

考えられる問題  (2)

記号閉形式が存在しない分布もある：

Wolfram Language code: HazardFunction[StableDistribution[0, 1.8, -0.5, 1, 2], x]

数値評価は可能である：

Wolfram Language code: HazardFunction[StableDistribution[0, 1.8, -0.5, 1, 2], 0.3]

無効な値を記号出力に代入すると意味のない結果になる：

Wolfram Language code: HazardFunction[CauchyDistribution[2, 3], y] /. {y -> 1. + I}

これを引数として渡すと評価されないままになる：

Wolfram Language code: HazardFunction[CauchyDistribution[2, 3], 1. + I]
Wolfram Research (2010), HazardFunction, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/HazardFunction.html.

テキスト

Wolfram Research (2010), HazardFunction, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/HazardFunction.html.

CMS

Wolfram Language. 2010. "HazardFunction." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/HazardFunction.html.

APA

Wolfram Language. (2010). HazardFunction. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/HazardFunction.html

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2026_hazardfunction, author="Wolfram Research", title="{HazardFunction}", year="2010", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/HazardFunction.html}", note=[Accessed: 07-November-2026]}

BibLaTeX

@online{reference.wolfram_2026_hazardfunction, organization={Wolfram Research}, title={HazardFunction}, year={2010}, url={https://reference.wolfram.com/language/ref/HazardFunction.html}, note=[Accessed: 07-November-2026]}