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HazardFunction[dist,x]

给出分布 dist 关于 x 的风险函数.

HazardFunction[dist,{x1,x2,…}]

给出分布 dist 关于 {x1,x2,…} 的多元风险函数

HazardFunction[dist]

给出作为纯函数的风险函数.

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按以下格式引用：

HazardFunction

HazardFunction[dist,x]

给出分布 dist 关于 x 的风险函数.

HazardFunction[dist,{x1,x2,…}]

给出分布 dist 关于 {x1,x2,…} 的多元风险函数

HazardFunction[dist]

给出作为纯函数的风险函数.

更多信息

  • HazardFunction 也称为死亡率.
  • 对连续分布，HazardFunction[dist,x] dx 给出了观察值位于 x 和 x+dx（对无穷小的 dx，比 x 大）之间的概率.
  • 对于连续分布，无穷小的 dx，HazardFunction[dist,x] dx 等价于 Probability[x≤ξ<x+dxξ≥x,ξdist]. »
  • 对于离散分布，HazardFunction[dist,x] 等价于 Probability[ξxξ≥x,ξdist].
  • 对于连续多元分布，HazardFunction[dist,{x1,…,xn}]dx1 ⋯ dxn 等价于 Probability[x1≤ξ1<x1+dx1∧⋯∧xn≤ξn<xn+dxnξ1≥x1∧⋯∧ξn≥xn,{ξ1,…,ξn}dist].
  • 对于离散多元分布，HazardFunction[dist,{x1,…,xn}] 等价于 Probability[ξ1x1∧⋯ ∧ξnxnξ1≥x1∧⋯∧ξn≥xn,{ξ1,…,ξn}dist].

范例

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基本范例  (4)

连续单变量分布的风险函数：

Wolfram Language code: HazardFunction[WeibullDistribution[1 / 2, 2], x]
Wolfram Language code: Plot[%, {x, 0, 3}, Filling -> Axis]

离散单变量分布的风险函数：

Wolfram Language code: HazardFunction[PoissonDistribution[2], x]
Wolfram Language code: DiscretePlot[%, {x, 0, 20}, ExtentSize -> 0.5]

连续多变量分布的风险函数：

Wolfram Language code: Plot3D[HazardFunction[BinormalDistribution[1 / 2], {x, y}], {x, -1, 3}, {y, -1, 3}, PlotRange -> All, MaxRecursion -> 0]

离散多变量分布的风险函数：

Wolfram Language code: DiscretePlot3D[HazardFunction[MultivariatePoissonDistribution[1, {2, 3}], {x, y}], {x, 0, 20}, {y, 0, 20}, ExtentSize -> 0.5]

范围  (22)

参数分布  (8)

获取精确数值结果：

Wolfram Language code: HazardFunction[WeibullDistribution[2, 5], 4]
Wolfram Language code: HazardFunction[NegativeBinomialDistribution[20, 1 / 3], 5]

获取机器精度结果：

Wolfram Language code: HazardFunction[WeibullDistribution[2, 5], 4.]

对于连续分布，获取任意精度的结果：

Wolfram Language code: HazardFunction[WeibullDistribution[2, 5], N[4, 25]]

对于具有不精确参数的一个离散分布，获取任意精度的结果：

Wolfram Language code: HazardFunction[NegativeBinomialDistribution[20, N[1 / 3, 30]], 1]

多变量分布的风险函数：

Wolfram Language code: HazardFunction[DirichletDistribution[{2, 4, 5}], {1 / 5, 2 / 3}]

获取风险函数的符号表达式：

Wolfram Language code: HazardFunction[ChiSquareDistribution[ν], x]
Wolfram Language code: HazardFunction[UniformDistribution[{{a, b}, {c, d}}], {x, y}]

获取纯函数色结果：

Wolfram Language code: HazardFunction[GammaDistribution[1, 2]]

对给定值进行计算：

Wolfram Language code: %[3]

HazardFunction 逐项作用于列表的各个元素：

Wolfram Language code: HazardFunction[NormalDistribution[], {0.0, 0.2, 0.3}]

多元分步：

Wolfram Language code: HazardFunction[BinormalDistribution[1 / 2], {{0.0, 0.0}, {0.2, 0.2}, {0.3, 0.3}}]

非参数分布  (3)

非参数分布的风险函数：

Wolfram Language code: r = RandomVariate[NormalDistribution[], 10 ^ 4];
Wolfram Language code: HazardFunction[HistogramDistribution[r], 0.2]
Wolfram Language code: HazardFunction[SmoothKernelDistribution[r], 0.2]
Wolfram Language code: HazardFunction[KernelMixtureDistribution[r], 0.2]

与内在的参数分布的值相比较：

Wolfram Language code: HazardFunction[NormalDistribution[], 0.2]

绘制直方图分布的生存函数：

Wolfram Language code: dist = HistogramDistribution[RandomVariate[NormalDistribution[], 10 ^ 3]];
Wolfram Language code: Plot[HazardFunction[dist, x]//Evaluate, {x, -3, 3}, Filling -> Axis, Exclusions -> None]

绘制一个双变量平滑核分布的生存函数：

Wolfram Language code: dist = SmoothKernelDistribution[RandomVariate[BinormalDistribution[1 / 3], 30]];
Wolfram Language code: Plot3D[HazardFunction[dist, {x, y}]//Evaluate, {x, -4, 4}, {y, -4, 4}, PlotRange -> All]

导出分布  (8)

独立分布的乘积：

Wolfram Language code: hf = HazardFunction[ProductDistribution[TriangularDistribution[{2, 4}], TriangularDistribution[{1, 7}]], {x, y}]
Wolfram Language code: Plot3D[hf, {x, 1, 5}, {y, 0, 8}, PlotRange -> {0, 100}]

分量混合分布：

Wolfram Language code: hf = HazardFunction[MixtureDistribution[{1, 4}, {NormalDistribution[a, b], NormalDistribution[c, d]}], x]
Wolfram Language code: Plot[hf /. {a -> 0, b -> 1, c -> 6, d -> 3 / 2}, {x, -2, 6}, Filling -> Axis]

一个离散分布的二次变换：

Wolfram Language code: HazardFunction[TransformedDistribution[x ^ 2, xExponentialDistribution[2]], y]
Wolfram Language code: Plot[%, {y, 0, 8}, Filling -> Axis, AxesOrigin -> {0, 0}]

截断分布：

Wolfram Language code: hf = HazardFunction[TruncatedDistribution[{2, 3}, TriangularDistribution[{1, 4}]], x]
Wolfram Language code: Plot[hf, {x, 1.5, 5}, Filling -> Axis]

一个 copula 分布：

Wolfram Language code: HazardFunction[CopulaDistribution[{"AMH", 1 / 3}, {UniformDistribution[{2, 4}], UniformDistribution[{3, 7}]}], {x, y}]//Simplify

由概率密度函数定义的公式分布：

Wolfram Language code: HazardFunction[ProbabilityDistribution[UnitBox[x], {x, -Infinity, Infinity}], x]//FullSimplify

由累积分布函数进行定义：

Wolfram Language code: HazardFunction[ProbabilityDistribution[{"CDF", Piecewise[{{-2 + x, 2 ≤ x ≤ 3}, {1, x > 3}}, 0]}, {x, -Infinity, Infinity}], x]

由生存函数进行定义：

Wolfram Language code: HazardFunction[ProbabilityDistribution[{"SF", Piecewise[{{1 - 2(-2 + x) ^ 2, 2 ≤ x ≤ 5 / 2}, {2(3 - x) ^ 2, 5 / 2 < x ≤ 3}, {1, x < 2}}, 0]}, {x, -Infinity, Infinity}], x]

边缘分布：

Wolfram Language code: HazardFunction[MarginalDistribution[ ProbabilityDistribution[1 / (E ^ (y ^ 2 / 2)(Pi ^ (3 / 2) * (1 + x ^ 4))), {x, -Infinity, Infinity}, {y, -Infinity, Infinity}], 2], y]

QuantityDistribution 的风险函数假定参数为具有兼容单位的 Quantity：

Wolfram Language code: 𝒟 = NormalDistribution[Quantity[4, "Meters"], Quantity[1 / 2, "Meters"]]
Wolfram Language code: HazardFunction[𝒟, x]

这将允许直接对量 (quantity) 进行替换：

Wolfram Language code: % /. x -> Quantity[387., "Centimeters"]

与直接使用量 (quantity) 作为参数进行比较：

Wolfram Language code: HazardFunction[𝒟, Quantity[387., "Centimeters"]]

随机过程  (3)

求离散状态随机过程的 SliceDistribution 的风险函数：

Wolfram Language code: HazardFunction[PoissonProcess[μ][2], x]
Wolfram Language code: DiscretePlot[Evaluate[% /. μ -> 2], {x, 0, 10}, ExtentSize -> 0.5]

连续状态随机过程：

Wolfram Language code: HazardFunction[WienerProcess[][2], x]
Wolfram Language code: Plot[%, {x, -1, 6}, Filling -> Axis]

求离散状态过程的多时间切片风险函数：

Wolfram Language code: HazardFunction[PoissonProcess[μ][{2, 3}], {1, 2}]
Wolfram Language code: DiscretePlot3D[Evaluate[HazardFunction[PoissonProcess[1][{2, 3}], {x, y}]], {x, 0, 10}, {y, 0, 10}, ExtentSize -> 0.5]

连续状态过程的多切片：

Wolfram Language code: Plot3D[HazardFunction[WienerProcess[][{2, 3}], {x, y}], {x, -3, 3}, {y, -3, 3}, PlotRange -> All]

离散状态随机过程的 StationaryDistribution 的风险函数：

Wolfram Language code: HazardFunction[StationaryDistribution[QueueingProcess[λ, μ, Infinity]], x]//FullSimplify
Wolfram Language code: DiscretePlot[Evaluate[% /. {μ -> 7, λ -> 2.9}], {x, 1, 8}, ExtentSize -> 0.5]

推广和延伸  (1)

HazardFunction 按元素逐项作用于列表：

Wolfram Language code: HazardFunction[NormalDistribution[], {0.2, 0.3}]
Wolfram Language code: {HazardFunction[NormalDistribution[], 0.2], HazardFunction[NormalDistribution[], 0.3]}

多变量分布：

Wolfram Language code: HazardFunction[BinormalDistribution[1 / 2], {{0.0, 0.0}, {0.2, 0.2}, {0.3, 0.3}}]

应用  (4)

求包含指数分布的生命期分布的死亡率：

Wolfram Language code: Refine[HazardFunction[ExponentialDistribution[λ], x], x ≥ 0]

Gompertz 分布：

Wolfram Language code: HazardFunction[GompertzMakehamDistribution[λ, ξ], x]

给定一个组件的可靠性函数，计算故障率：

Wolfram Language code: R[t_] = Exp[-t ^ 2];

定义相应的概率分布：

Wolfram Language code: 𝒟 = ProbabilityDistribution[{"SF", R[t]}, {t, 0, ∞}];

使用分布计算故障率：

Wolfram Language code: FailureRate = HazardFunction[𝒟, t]

研究韦伯分布群族的风险函数：

Wolfram Language code: w[α_, 1] := WeibullDistribution[α, 1]
Wolfram Language code: hf[α_, x_] = HazardFunction[w[α, 1], x]

在 下，使用过的比新的更好：

Wolfram Language code: Plot[Table[hf[α, x], {α, {0.2, 0.3, 0.7}}]//Evaluate, {x, 0, 3}]

在 下，使用过的和新的一样好：

Wolfram Language code: Plot[hf[1, x], {x, 0, 3}]

在 下，使用过的比新的更差：

Wolfram Language code: Plot[Table[hf[α, x], {α, {1.6, 2.3, 3.1}}]//Evaluate, {x, 0, 2}]

赌场为您提供一种游戏，在这里您支付 便可参加，然后选择赌注 . 然后，生成一个服从已知分布 的正连续随机变量 . 如果 ，您可以收回赌注；否则，您就损失. 求最大化利益的 值：

Wolfram Language code: ExpectedGain = c SurvivalFunction[𝒟, c] - P;

求最大期望收益的方程：

Wolfram Language code: D[ExpectedGain, c] == 0 /. {D[SurvivalFunction[𝒟, c], c] -> -SurvivalFunction[𝒟, c] HazardFunction[𝒟, c]}
Wolfram Language code: eq = Simplify[%, SurvivalFunction[𝒟, c] > 0]

假设 WeibullDistribution，求最优的赌注大小：

Wolfram Language code: Solve[(eq /. 𝒟 -> WeibullDistribution[α, β]), c, Reals]
Wolfram Language code: ExpectedGain /. 𝒟 -> WeibullDistribution[α, β] /. %//Simplify

属性和关系  (3)

使用作为条件概率的定义，计算风险函数：

Wolfram Language code: Probability[x ≤ ξ < x + dxξ ≥ x, ξExponentialDistribution[λ]] / dx
Wolfram Language code: Limit[%, dx -> 0, Assumptions -> λ > 0 && x > 0]

风险函数是概率密度函数和生存函数 的比：

Wolfram Language code: HazardFunction[NormalDistribution[], x]
Wolfram Language code: PDF[NormalDistribution[], x] / SurvivalFunction[NormalDistribution[], x]

指数分布的风险率是常数：

Wolfram Language code: Refine[HazardFunction[ExponentialDistribution[λ], x], x ≥ 0]

可能存在的问题  (2)

对于某些分布，不存在符号式解析式表示：

Wolfram Language code: HazardFunction[StableDistribution[0, 1.8, -0.5, 1, 2], x]

数值计算起作用：

Wolfram Language code: HazardFunction[StableDistribution[0, 1.8, -0.5, 1, 2], 0.3]

将无效值代入符号输出给出无意义的结果：

Wolfram Language code: HazardFunction[CauchyDistribution[2, 3], y] /. {y -> 1. + I}

作为一个变量传递，它保持未计算的形式：

Wolfram Language code: HazardFunction[CauchyDistribution[2, 3], 1. + I]
Wolfram Research (2010)，HazardFunction，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/HazardFunction.html.

文本

Wolfram Research (2010)，HazardFunction，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/HazardFunction.html.

CMS

Wolfram 语言. 2010. "HazardFunction." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/HazardFunction.html.

APA

Wolfram 语言. (2010). HazardFunction. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/HazardFunction.html 年

BibTeX

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BibLaTeX

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