向量的克罗内克积：

矩阵的克罗内克积：

a 和 b 是有明确元素值的矩阵：

使用精确的算法来计算克罗内克积：

用机器算法：

用 20 位有效数字精确运算：

s 和 t 是稀疏矩阵：

计算稀疏克罗内克积：

通过使用展平（向量化）关系式 Flatten[a.x.b]=(ab^).Flatten[x] 解一般线性矩阵方程 a₁.x.b₁+⋯+a_m.x.b_m=c，求矩阵 ：

定义 vec 置换矩阵，也称为交换矩阵：

可视化 vec 置换矩阵：

vec 置换矩阵可被表示为单位向量与单位矩阵的克罗内克积之和：

生成两个符号矩阵：

vec 置换矩阵可用于表达两个给定矩阵的克罗内克积与相同矩阵的逆序克罗内克积之间的关系：

s 是一个差分矩阵近似于一维的第 2 偏移矩阵：

单位矩阵作为一个稀疏矩阵：

一个2维数组的值：

一个只在第一维有区别的矩阵：

一个接近拉普拉斯算子的矩阵：

定义 n 为偶数的 n×n "butterfly" 矩阵：

为 n 的 2 次幂定义 n×n "位翻转" 置换矩阵：

大小为 n 的单位矩阵的一个压缩符号：

Kronecker 积的简洁符号：

从 Cooley–Tukey 因式分解形成长度为 16 的离散傅立叶变换矩阵：

这与 FourierMatrix 的结果等价：

r 是一个长度为 16 的任意向量：

r 的离散傅立叶变换：

Fourier 计算非常快，因为它有效地完成了特定向量的分解：

定义克罗内克和 ：

在一般符号矩阵上尝试：

验证等式 MatrixExp[a⊕b]=MatrixExp[a]⊗MatrixExp[b]：

验证等式 Eigenvalues[a⊕b]={λ_i+μ_j|λ_i∈Eigenvalues[a],μ_j∈Eigenvalues[b]：

KroneckerProduct 是多线性（每个参数中线性）:

相关性（展平）:

不可交换 :

KroneckerProduct 满足混合积属性 :

Transpose 的分配率 :

ConjugateTranspose 的分配率 :

Inverse 的分配律 （当且仅当 和 互逆）：

PseudoInverse 的分配律 PseudoInverse[ab]=PseudoInverse[a]PseudoInverse[b]:

克罗内克积的迹 Tr 满足 Tr[ab]=Tr[a]Tr[b]:

判别式 Det 满足 ，其中 a∈Matrices[{m,m}] 并且 b∈Matrices[{n,n}]:

Eigenvalues 满足Eigenvalues[ab]={λ_iμ_j|λ_i∈Eigenvalues[a],μ_j∈Eigenvalues[b]:

SingularValueList 满足相同关系：

MatrixRank 满足 MatrixRank[ab=MatrixRank[a]MatrixRank[b]:

矩阵的 KroneckerProduct 是具有块 的展平块矩阵：

向量的 KroneckerProduct 与相应列矩阵的 Dot 相关：

列和行矩阵的点积通常也称为外积：

向量的 KroneckerProduct 等价于 TensorProduct：

对于矩阵，它是一个展平的张量乘积：

向量的 KroneckerProduct 是 Outer 的一个特例：

对于矩阵，它是一个展平的外积：

对角线矩阵和一般矩阵的克罗内克乘积是块状对角线矩阵：

一个下三角矩阵和一个普通矩阵的克罗内克乘积是块状下三角矩阵：

一个上三角矩阵和一个普通矩阵的克罗内克乘积是块状上三角矩阵：