LaplacianPDETerm

LaplacianPDETerm[vars]

ラプラス(Laplace)項をモデル変数 vars で表す．

LaplacianPDETerm[vars,pars]

モデルパラメータ pars を使う．

詳細

ラプラス項は，ポテンシャル，熱移動，音響，構造力学，流体動力学等の多くの物理現象の説明に使われる微分演算子項である．
LaplacianPDETermは，偏微分方程式の一部として使われる微分演算子項を返す．

LaplacianPDETermを使って，従属変数，独立変数，時間変数でラプラス方程式がモデル化できる．
定常モデル変数 vars は vars={u[x₁,…,x_n],{x₁,…,x_n}}である．
従属モデル変数 vars は vars={u[t,x₁,…,x_n],{x₁,…,x_n}}または vars={u[t,x₁,…,x_n],t,{x₁,…,x_n}}である．
拡散係数としてを持つラプラス項はDiffusionPDETermのとして実現される．
次は，使用可能なパラメータ pars である．
パラメータデフォルトシンボル

"CoordinateChart" "Cartesian"

"RegionSymmetry" None
パラメータデフォルトシンボル

"RegionSymmetry" None
パラメータ"RegionSymmetry"の可能な選択肢には"Axisymmetric"がある．
"Axisymmetric"領域対称性は，以下のように角変数を削除することで円筒座標系が削減された切頭円筒座標系を表す．
次元削減方程式

1D

2D
拡散係数はNeumannValueの意味に影響を与える．

例題

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例 (2)

定常ラプラス項を定義する：

Wolfram Language code: LaplacianPDETerm[{u[x], {x}}]

ラプラス項の固有値を求める：

Wolfram Language code: NDEigenvalues[LaplacianPDETerm[{u[x], {x}}], u, {x}∈Line[{{0}, {1}}], 3]

スコープ (6)

時間依存ラプラス項を設定する：

Wolfram Language code: LaplacianPDETerm[{u[t, x], {x}}]

2D軸対称定常ラプラス項を定義する：

Wolfram Language code: LaplacianPDETerm[{u[r, z], {r, z}}, <|"RegionSymmetry" -> "Axisymmetric"|>]

項をActivate（アクティブに）する：

Wolfram Language code: Activate[%]

軸対称はラプラス項を構成する演算子を使って切頭円筒座標系を使った結果であることを確認する：

Wolfram Language code: Div[1 * Grad[u[r, z], {r, θ, z}, "Cylindrical"], {r, θ, z}, "Cylindrical"]

2Dラプラス項を極座標で定義する：

Wolfram Language code: LaplacianPDETerm[{u[r, θ], {r, θ}}, <|"CoordinateChart" -> "Polar"|>]

項をActivateする：

Wolfram Language code: Activate[%]

ラプラス項の固有値と固有ベクトルを極座標で求める：

Wolfram Language code:

{vals, funs} = NDEigensystem[{LaplacianPDETerm[{u[r, θ], {r, θ}}, <|"CoordinateChart" -> "Polar"|>], DirichletCondition[u[r, θ] == 0, r == π], PeriodicBoundaryCondition[u[r, θ], θ == -π && r < π, Function[X, X + {0, 2π}]]}, u, {r, θ}∈Rectangle[{0, -π}, {π, π}], 4]

ラプラス項の固有ベクトルを極座標で可視化する：

Wolfram Language code: RevolutionPlot3D[#[r, θ], {r, 0, π}, {θ, -π, π}, PlotRange -> All]& /@ funs

円板の扇形上のラプラス項の固有値と固有ベクトルを極座標で求める：

Wolfram Language code:

{vals, funs} = NDEigensystem[{LaplacianPDETerm[{u[r, θ], {r, θ}}, <|"CoordinateChart" -> "Polar"|>], DirichletCondition[u[r, θ] == 0, True]}, u, {r, θ}∈Rectangle[{0, 0}, {π, π / 2}], 4]

ラプラス項の固有ベクトルを扇形の極座標で求める：

Wolfram Language code: RevolutionPlot3D[#[r, θ], {r, 0, π}, {θ, 0, π / 2}, PlotRange -> All]& /@ funs

3Dの殻におけるラプラス項の固有値とベクトルを求める：

Wolfram Language code:

Ω = RegionIntersection[RegionDifference[Ball[], Ball[{0, 0, 0}, 3 / 4]], Cuboid[]];
{vals, funs} = NDEigensystem[LaplacianPDETerm[{u[x, y, z], {x, y, z}}], u[x, y, z], {x, y, z}∈Ω, 3]

結果を可視化する：

Wolfram Language code: DensityPlot3D[Evaluate[funs[[2]]], {x, y, z}∈Ω, ...]

アプリケーション (1)

半径5の有限円柱内のについてのラプラス方程式を解く．解析領域は中空ではない3Dの円柱であるが，この領域が軸について回転対称であるので，軸対称定常LaplacianPDETermが使え，この領域は2Dの切頭円筒座標系で定義できる．

領域を設定する：

Wolfram Language code: Ω2D = Rectangle[{0, 0}, {5, 10}];

偏微分方程式モデルを設定する：

Wolfram Language code: model2D = LaplacianPDETerm[{u[r, z], {r, z}}, <|"RegionSymmetry" -> "Axisymmetric"|>]

方程式を解き，かかった時間とメモリを計測する：

Wolfram Language code:

measure2D = AbsoluteTiming[MaxMemoryUsed[solution2D = NDSolveValue[{model2D == 0, {DirichletCondition[u[r, z] == z * (10 - z), r == 5 ], DirichletCondition[u[r, z] == 0, z == 10]}}, u, {r, z}∈Ω2D ]] ];

軸対称の結果を可視化する：

Wolfram Language code: ContourPlot[solution2D[r, z], {r, z}∈Ω2D, ...]

計算にかかった合計時間と評価中に使ったメモリ(MB)を出力する：

Wolfram Language code:

Print["Time -> ", measure2D[[1]], " s", "
Memory -> ", measure2D[[2]]  / (1024. ^ 2), " MB"]

2D軸対称偏微分モデルを解くための時間とメモリの計算費用は完全な3Dモデルを解くのにかかるそれよりはるかに少ない．完全な3Dモデルを構築する：

Wolfram Language code: Ω3D = Cylinder[{{0, 0, 0}, {0, 0, 10}}, 5];

3Dモデルを設定する：

Wolfram Language code: model3D = LaplacianPDETerm[{u[x, y, z], {x, y, z}}];

記号領域の最適近似と重要部分の細分化のための境界位置を調整しながら完全な3Dモデルを解く：

Wolfram Language code:

measure3D = 
	AbsoluteTiming[
	MaxMemoryUsed[
		solution3D  = 
	NDSolveValue[{model3D == 0, 
	{DirichletCondition[u[x, y, z] == z * (10 - z), Sqrt[x ^ 2 + y ^ 2] == 5 ], 
	DirichletCondition[u[x, y, z] == 0, z == 10]
	}}, u, {x, y, z}∈  Ω3D, Method -> {"FiniteElement", "MeshOptions" -> {"ImproveBoundaryPosition" -> True, "MeshRefinementFunction" -> Function[{vertices, volume}, Block[{x, y, z}, {x, y, z} = Mean[vertices];(volume > 0.0025) && (Sqrt[x ^ 2 + y ^ 2] > 4) && (z < 1)]]}}]
	] ];

計算にかかった合計時間と評価中に使ったメモリ(MB)を出力する：

Wolfram Language code:

Print["Time -> ", measure3D[[1]], " s", "
Memory -> ", measure3D[[2]] / (1024. ^ 2), " MB"]

3Dの解の結果を可視化する：

Wolfram Language code: SliceContourPlot3D[solution3D[x, y, z], {x, y, z} ∈ Ω3D, ...]

2つのケースの時間とメモリを比較する：

Wolfram Language code:

Print["Speed improvement factor -> ", #[[1]], "
Memory reduction factor -> ", #[[2]]]&[measure3D / measure2D//N]

2つの解の差を可視化する：

Wolfram Language code: Plot3D[solution2D[r, z] - solution3D[r, 0, z], {r, z}∈ Ω2D, PlotRange -> All]

考えられる問題 (1)

軸対称の3Dケースは存在しない：

Wolfram Language code: LaplacianPDETerm[{u[r, θ, z], {r, θ, z}}, <|"RegionSymmetry" -> "Axisymmetric"|>]

おもしろい例題 (1)

ラプラス方程式を解くことで迷路から出る道を求める．まず迷路を設定する：

Wolfram Language code: maze = [image];

迷路のグラフをメッシュに変換する：

Wolfram Language code: mesh = ImageMesh[Binarize[Image[Rasterize[maze, ImageResolution -> 600]]]]

入口を値1のDirichletCondition，出口を値0のDirichletConditionとしてラプラス方程式を解く． DirichletConditionの位置を設定するために領域の境界を求める：

Wolfram Language code: {{xlow, xhigh}, {ylow, yhigh}} = RegionBounds[mesh]

方程式を解く：

Wolfram Language code:

solution = NDSolveValue[{LaplacianPDETerm[{u[x, y], {x, y}}] == 0, DirichletCondition[u[x, y] == 1 , x <= xlow + 2], DirichletCondition[u[x, y] == 0, x >= xhigh - 2]}, u, {x, y}∈mesh];

迷路を抜ける道を可視化する：

Wolfram Language code: ContourPlot[Evaluate[Sqrt[Total[Grad[solution[x, y], {x, y}] ^ 2]]], {x, y}∈mesh, Contours -> 2, PlotPoints -> 33]

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