LinearSolve

LinearSolve[m,b]

求解矩阵方程 m.x==b 的 x.

LinearSolve[m]

产生一个可重复应用于不同 b 的 LinearSolveFunction[…].

LinearSolve[a,b]

求解数组方程 a.x==b 的 x.

更多信息和选项

  • LinearSolve 可用于数字矩阵和符号矩阵，也可用于 SparseArray 对象.
  • 自变量 b 或者是一个向量或者是一个矩阵. »
  • 矩阵 m 可以是方阵或矩形阵. »
  • LinearSolve[m] 和 LinearSolveFunction[…] 提供一个有效的方式多次求解相同的近似数值的线性系统.
  • LinearSolve[m,b] 等价于 LinearSolve[m][b].
  • 对未确定的系统，LinearSolve 返回一个可能的特解；Solve 返回通解. »
  • 对于一个 n1×…×nk×m 的数组 a 和一个 n1×…×nk×d1×…×dl 的数组 b，LinearSolve[a,b] 给出一个 m×d1×…×dl 的数组 x，使得 a.xb.
  • LinearSolve 具有下列选项和设置：
  • Method Automatic使用的方法
    Modulus 0是否求解模 n
    ZeroTestAutomatic测试以判断什么时候表达式是零
  • ZeroTest 选项只应用于精确和符号矩阵.
  • 设置 Method->Automatic，取决于输入自动选择该方法.
  • 精确和符号矩阵的显式 Method 设置包括：
  • "CofactorExpansion"拉普拉斯 cofactor 展开
    "DivisionFreeRowReduction"不可除行化简的 Bareiss 方法
    "OneStepRowReduction"标准行化简
  • 近似数值矩阵的显式 Method 设置包括：
  • "Banded"带状矩阵求解器
    "Cholesky"正定 Hermitian 矩阵的 Cholesky 方法
    "Krylov"迭代 Krylov 稀疏求解器
    "Multifrontal"直接稀疏 LU 分解
    "Pardiso"并行直接稀疏求解器

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例  (3)

，，求解矩阵-向量方程 ：

验证解：

，，求解矩阵方程 ：

验证解：

求解矩阵方程：

验证解：

范围  (16)

基本用法  (9)

以机器精度求解 ：

是矩阵的情况下求解：

复矩阵的情况下求解 ：

求精确矩阵的解：

在任意精度上计算解：

符号矩阵的情况下求解 ：

是矩阵的情况下求解：

求解有限域上的 ：

求解 的 CenteredInterval 矩阵：

找出 m 和 b 的随机代表 mrep 和 brep：

验证 sol 包含 LinearSolve[mrep,brep]：

是维数不同的矩阵，解 ，求得 ：

如果没有给定 右侧的 ，则返回 LinearSolveFunction：

下面给出针对一些 值快速求解的数据：

特殊矩阵  (6)

稀疏矩阵的情况下求解 ：

由于结果通常不是稀疏矩阵，因此以普通列表的形式返回结果：

用稀疏方法高效求解稀疏矩阵：

可视化结果：

结构化矩阵的情况下求解：

使用不同类型的矩阵结构：

单位矩阵总是给出平凡解：

求解系数矩阵为 Hilbert 矩阵的线性方程组：

求解一个 方程组，其系数为次数为 的单变量多项式：

数组  (1)

用 2×3×6 的数组 和一个 2×3×4×5 的数组 求解 ：

得到的结果为一个 6×4×5 的数组：

验证解：

选项  (7)

Method  (6)

"Banded"  (1)

用带状矩阵法解 ：

检查计算结果的相对误差：

"Cholesky"  (1)

用 Cholesky 分解求解 ：

检查计算结果的相对误差：

"Krylov"  (2)

对于 "Krylov" 方法，可以指定下列子选项：

  • "BasisSize"Krylov 基的大小（只适用于 GMRES 法）
    "MaxIterations"最大迭代次数
    "Method"使用的方法
    "Preconditioner"使用哪个预条件子
    "PreconditionerSide"怎样运用预条件子（"Left" 或 "Right"）
    "ResidualNormFunction"范数函数，用来计算解的残差的范数
    "StartingVector"迭代计算的初始向量
    "Tolerance"停止迭代的容差

    • "Method" 的可能设置包括：

  • "BiCGStab"用于厄尔米特矩阵的迭代算法
    "ConjugateGradient"用于正定厄尔米特矩阵的迭代算法
    "GMRES"用于方阵的迭代算法

    • "Preconditioner" 的可能设置包括：

  • "ILU0"基于对未进行元素填充的原始矩阵不完全 LU 分解的预条件子
    "ILUT"ILU0 的变体，进行元素填充
    "ILUTP"ILUT 的变体，进行列置换

    • "Preconditioner" 的子选项可以包括：

  • "FillIn"允许由 ILUT 预条件子引入的行中出现非零元素个数的上限
    "PermutationTolerance"什么时候进行列置换
    "Tolerance"调降公差（视幅值小于该设定值的元素为零）

    • 用 Krylov 方法求解 ：

    检查计算结果的相对误差：

    "Multifrontal"  (1)

    用直接多波前法求解 ：

    检查计算结果的相对误差：

    "Pardiso"  (1)

    用 Pardiso 法求解 ：

    查看解的相对误差：

    Modulus  (1)

    求模47的 m.x==b 的解 x：

    验证解：

    应用  (11)

    生成空间和线性独立  (3)

    以下三个向量不是线性独立的：

    右侧为通用变量的情况下方程无解：

    同样，右边为单位矩阵的方程也没有解：

    以下三个向量是线性独立的：

    右侧为通用变量的情况下方程有解：

    同样，右边为单位矩阵的方程也有解：

    解是 的逆矩阵：

    确定以下向量是否线性无关：

    由于 对任意 无解，它们不是线性无关的：

    求解方程和可逆性  (6)

    解以下方程组：

    将方程组改写为矩阵形式：

    有 LinearSolve 求解：

    用 NullSpace 证明解是唯一的：

    用 SolveValues 验证结果：

    求下列方程组的所有解：

    首先，写出系数矩阵 、变量向量 和常向量 ：

    检验重写后的方程组：

    LinearSolve 给出特解：

    NullSpace 给出齐次方程 解的基：

    定义 为 的元素的任意线性组合：

    通解是 与 的和：

    确定以下矩阵是否有逆矩阵：

    由于方程组 无解， 没有逆矩阵：

    用 Inverse 验证结果：

    确定以下矩阵是否有非零行列式：

    由于方程组 有一个解， 的行列式一定非零：

    用 Det 确认结果：

    求以下矩阵的逆矩阵：

    想要求出逆矩阵，先求解方程组 ：

    用 Inverse 验证结果：

    通过计算 LinearSolveFunction 解方程组 ，其中 取不同的值：

    通过求矩阵的逆并乘以逆来进行计算：

    结果几乎相同，尽管 LinearSolveFunction 快很多倍：

    微积分  (2)

    求多元函数根的牛顿法：

    与 FindRoot 求得的答案相比较：

    用离散差分近似求解边界值问题 ：

    显示与精确解相比较的误差：

    属性和关系  (9)

    对于可逆矩阵 ，LinearSolve[m,b] 给出相应方程组的解与 SolveValues 的相同：

    创建相应的线性方程组：

    确认 SolveValues 给出同样的结果：

    对于齐次方程 ，LinearSolve 总是返回平凡解 ：

    如果 是奇异矩阵，用 NullSpace 获取完整的解集：

    与 SolveValues 的结果相比较：

    如果 是非奇异矩阵，当 是单位矩阵时， 的解 是 的逆矩阵：

    在下面的例子中， 无解：

    用 LeastSquares 最小化 ：

    与通用的最小化相比较：

    如果 可解，则 LeastSquares 等价于 LinearSolve：

    对于方阵，如果 b 是通用的，当且仅当 Det[m]!=0 时 LinearSolve[m,b] 才有解：

    对于方阵，如果 b 是通用的，当且仅当 m 是满秩矩阵时 LinearSolve[m,b] 才有解：

    对于方阵，如果 b 是通用的，当且仅当 m 有逆矩阵时 LinearSolve[m,b] 才有解：

    对于方阵，如果 b 是通用的，当且仅当 m 有平凡零空间时 LinearSolve[m,b] 才有解：

    可能存在的问题  (3)

    为欠定方程组找到的解不是唯一的：

    所有的解都是用 Solve 求出的：

    LinearSolve 给出对应于 的解：

    对于病态矩阵，数值解可能不够准确：

    如果使用足够高的精度，解会更准确：

    一些可用的线性求解器不是确定性的. 建立方程组：

    创建求解器函数：

    "Pardiso" 求解器不是确定性的：

    Automatic 求解器方法是确定性的：

    巧妙范例  (3)

    用直接法求解100,000个方程：

    用迭代法求解上百万个方程：

    检查计算结果的相对误差：

    用带状矩阵法求解同一个方程组：

    检查计算结果的相对误差：

    Wolfram Research (1988)，LinearSolve，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/LinearSolve.html （更新于 2024 年）.

    文本

    Wolfram Research (1988)，LinearSolve，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/LinearSolve.html （更新于 2024 年）.

    CMS

    Wolfram 语言. 1988. "LinearSolve." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2024. https://reference.wolfram.com/language/ref/LinearSolve.html.

    APA

    Wolfram 语言. (1988). LinearSolve. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/LinearSolve.html 年

    BibTeX

    @misc{reference.wolfram_2024_linearsolve, author="Wolfram Research", title="{LinearSolve}", year="2024", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/LinearSolve.html}", note=[Accessed: 22-November-2024 ]}

    BibLaTeX

    @online{reference.wolfram_2024_linearsolve, organization={Wolfram Research}, title={LinearSolve}, year={2024}, url={https://reference.wolfram.com/language/ref/LinearSolve.html}, note=[Accessed: 22-November-2024 ]}