NorlundB

NorlundB[n,a]

a における次数 n のNørlund多項式を与える．

NorlundB[n,a,x]

一般化されたベルヌーイ(Bernoulli)多項式を与える．

詳細

記号操作・数値操作の両方に適した数学関数である．
Nørlund多項式は母関数の関係式 $(t/(e^t-1))^a=sum_(n=0)^(infty)TemplateBox[{n, a}, NorlundB](t^n/n!)$ を満たす．
ベルヌーイ数はで与えられる．一般化されたベルヌーイ数は a のより大きい整数値で与えられる．
一般化されたベルヌーイ多項式は母関数の関係式 $(t/(e^t-1))^ae^(xt)=sum_(n=0)^(infty)TemplateBox[{n, a, x}, NorlundB3](t^n/n!)$ を満たす．
ベルヌーイ多項式はで与えられる．
NorlundBは任意の数値精度で評価できる．
NorlundBは自動的にリストに縫い込まれる．

例題

すべて開くすべて閉じる

例 (2)

最初の5つのNørlund多項式：

Wolfram Language code: Table[NorlundB[n, a], {n, 5}]

一般化されたベルヌーイ多項式：

Wolfram Language code: Table[NorlundB[n, a, x], {n, 3}]

スコープ (3)

NorlundBはリストに対して要素単位で適用される：

Wolfram Language code: NorlundB[{1, 2, 3, 4, 5}, a]

Nørlund多項式をプロットする：

Wolfram Language code: Plot[Evaluate[Table[NorlundB[n, a], {n, 5}]], {a, -5, 5}]

TraditionalForm による表示：

Wolfram Language code: NorlundB[n, a]//TraditionalForm

Wolfram Language code: NorlundB[n, a, x]//TraditionalForm

アプリケーション (6)

高次の一般化されたベルヌーイ数：

Wolfram Language code: Table[NorlundB[n, k], {k, 5}, {n, 10}]//Grid

最初の10個のNørlund数：

Wolfram Language code: Table[NorlundB[n, n], {n, 10}]

その積分定義と比較する：

Wolfram Language code: Table[Integrate[FactorialPower[x - 1, n], {x, 0, 1}], {n, 10}]//FunctionExpand

Nørlund数をその指数母関数から生成する：

Wolfram Language code: Rest[CoefficientList[Series[(z/(1 + z)Log[1 + z]), {z, 0, 10}], z]]Range[10]!

第2種ベルヌーイ(Bernoulli)数としても知られているGregory係数を計算する関数を定義する：

Wolfram Language code: gregory[n_Integer ? Positive] := If[n == 1, 1 / 2, NorlundB[n, n - 1] / ((1 - n)n!)]

最初の10個のGregory係数を計算する：

Wolfram Language code: Table[gregory[n], {n, 10}]

これらの係数は関数の級数展開に出現する：

Wolfram Language code: Series[(z/Log[1 + z]), {z, 0, 10}]

その積分定義と比較する：

Wolfram Language code: Table[Integrate[Binomial[x, n], {x, 0, 1}], {n, 10}]//FunctionExpand

第1種および第2種スターリング数をNørlund多項式によって表す：

Wolfram Language code:

{Table[Binomial[n, k]NorlundB[k, n + 1], {n, 0, 5}, {k, 0, n}]//Grid, Table[StirlingS1[n + 1, n - k + 1], {n, 0, 5}, {k, 0, n}]//Grid}

Wolfram Language code:

{Table[Binomial[n + k, k]NorlundB[k, -n], {n, 0, 5}, {k, 0, n}]//Grid, Table[StirlingS2[n + k, n], {n, 0, 5}, {k, 0, n}]//Grid}

Tricomi–Erdélyiの指揮を使ってGamma関数の割合を無限大に拡大する：

Wolfram Language code:

a = 1 / 2;b = 1;n = 10;
Series[s^a - b Sum[((-1)^k/s^kk!)Pochhammer[b - a, k]NorlundB[k, a - b + 1, a], {k, 0, n + 1}], {s, ∞, n + 1}]

直接展開したものと比較する：

Wolfram Language code: % === Series[(Gamma[s + a]/Gamma[s + b]), {s, ∞, n + 1}]

の k 次導関数の明示的な式：

Wolfram Language code:

n = 8;k = 3;
(-1)^n - kFactorialPower[n, k]NorlundB[n - k, n + 1, 1 - a]//Expand

Dの結果と比較する：

Wolfram Language code: D[Pochhammer[a, n], {a, k}]//Expand

特性と関係 (4)

NorlundB[n,a]を一般化されたベル多項式BellBによって表す：

Wolfram Language code: Table[BellY[Table[{(-1)^rPochhammer[a, r], (1/r + 1)}, {r, n}]]//Expand, {n, 9}]

NorlundBと比較する：

Wolfram Language code: Table[NorlundB[n, a], {n, 9}]

グールド(Gould)の恒等式：

Wolfram Language code:

Table[NorlundB[n, a] == Underoverscript[∑, k = 0, n](-1)^kBinomial[n + 1, k + 1]NorlundB[n, -a k]//Simplify, {n, 0, 9}]

NorlundB[n,a,x]をNorlundB[n,a]によって表す：

Wolfram Language code: Table[NorlundB[n, a, x] == Underoverscript[∑, k = 0, n]Binomial[n, k]NorlundB[n - k, a]x^k, {n, 0, 9}]

NorlundB[n,a,x]についての再帰式を検証する：

Wolfram Language code:

Table[NorlundB[n, a, x] == NorlundB[1, a, x]NorlundB[n - 1, a, x] - (a/n)Underoverscript[∑, k = 1, ⌊n / 2⌋]Binomial[n, 2k]BernoulliB[2k]NorlundB[n - 2k, a, x]//Simplify, {n, 9}]

Top

その他のラーニングリソース

テクニカルサポート

データサイエンス，金融，ビジネス

工学

科学とテクノロジー

教育のためのテクノロジー

教育イニシアチブ

使い始める

Grow Your Skills

Wolframと繋がる

大人用の教育プログラム

若者のための教育プログラム

読む

NorlundB

詳細

例題

例 (2)

スコープ (3)

アプリケーション (6)

特性と関係 (4)

テキスト

CMS

APA

BibTeX

BibLaTeX

NorlundB

詳細

例題

例 (2)

スコープ (3)

アプリケーション (6)

特性と関係 (4)

関連項目

関連するガイド

関連リンク

履歴

テキスト

CMS

APA

BibTeX

BibLaTeX