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Outer[f,list1,list2,…]

listiの一般化した外積として使われ，各 listiの最低レベルの要素のすべての，組合せを構成し，f に適用した結果を返す．

Outer[f,list1,list2,…,n]

レベル n のサブリストのみを個別な要素として扱う．

Outer[f,list1,list2,…,n1,n2,…]

listiにおけるレベル niのサブリストのみを個別な要素として扱う．

詳細
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Outer

Outer[f,list1,list2,…]

listiの一般化した外積として使われ，各 listiの最低レベルの要素のすべての，組合せを構成し，f に適用した結果を返す．

Outer[f,list1,list2,…,n]

レベル n のサブリストのみを個別な要素として扱う．

Outer[f,list1,list2,…,n1,n2,…]

listiにおけるレベル niのサブリストのみを個別な要素として扱う．

詳細

  • Outer[Times,list1,list2]は，外積を与える．
  • テンソル Ti1i2...irと Uj1j2...jsにOuterを適用した結果は，要素 f[Ti1i2...ir,Uj1j2...js]を持ったテンソルVi1i2...irj1j2...jsである．
  • f がスカラー値関数の場合，階数 r と s の2つのテンソルにOuterを適用すると，階数 r+s のテンソルが返される．.
  • listiの頭部はすべて同じでなければならないが，Listである必要はない． »
  • Outer[f]は f[]を返す．
  • listiが，立方配列である必要はない．
  • レベルの指示 niは正の整数またはInfinityでなければならない．
  • 単一レベルの指示のみが与えられる場合は，すべての listiに適用することが仮定される．niが複数あるが listiの数よりも少ない場合は，listiに残る最低レベルの要素が使用される．
  • OuterをSparseArrayオブジェクトに使うと，可能な場合はSparseArrayオブジェクトを返す． »

例題

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例  (2)

Wolfram Language code: Outer[f, {a, b}, {x, y, z}]

ベクトルの外積：

Wolfram Language code: Outer[Times, {1, 2, 3, 4}, {a, b, c}]

行列の外積：

Wolfram Language code: Outer[Times, {{1, 2}, {3, 4}}, {{a, b}, {c, d}}]

スコープ  (4)

Wolfram Language code: Outer[f, {a, b}, {x, y, z}, {u, v}]

ネストしたリストをサブリストの階数1のベクトルとして扱う：

Wolfram Language code: Outer[f, {{1, 2}, {3, 4}}, {{a, b}, {c, d}}, 1]

配列は不規則でもよい：

Wolfram Language code: Outer[Times, {{1, 2}, {3, 4}}, {{a, b, c}, {d, e}}]

SparseArrayオブジェクトの外積：

Wolfram Language code: s1 = SparseArray[Table[2 ^ i -> i, {i, 3}]]; s2 = SparseArray[{1} -> 1, {4}];
Wolfram Language code: Outer[Times, s1, s2]

一般化と拡張  (1)

頭部はListではなくてもよい：

Wolfram Language code: Outer[g, f[a, b], f[x, y, z]]

アプリケーション  (6)

語の組合せ：

Wolfram Language code: Outer[StringJoin, {"", "re", "un"}, {"cover", "draw", "wind"}, {"", "ing", "s"}]

関数の組合せ：

Wolfram Language code: fm = Outer[Composition, {Sin, Cos, Exp}, {ArcSin, ArcCos, Log}]
Wolfram Language code: GraphicsGrid@Map[Function[f, Plot3D[Re[f[x + I y]], {x, -2, 2}, {y, -2, 2}, Mesh -> None]], fm, {2}]

完全な二部グラフ：

Wolfram Language code: Graphics[Outer[Line[ {##}]&, Table[{x, 1}, {x, 4}], Table[{x, 2}, {x, 4}], 1]]

下三角行列：

Wolfram Language code: Boole[Outer[Greater, {1, 2, 3, 4, 5}, {1, 2, 3, 4, 5}]]//MatrixForm

fからのノードとeからの深さnの葉を持った可能なすべての二分木を生成する：

Wolfram Language code: trees[f_, e_, 1] = e; trees[f_, e_, n_] := Flatten[Table[Outer[#, trees[f, e, r], trees[f, e, n - r]], {r, n - 1}]& /@ f]
Wolfram Language code: trees[{f}, {a, b}, 3]

関数をテンソル積の格子に適用する：

Wolfram Language code: x = {0., .1, .25, .5, 1.}; y = {-1., -.5, 0., 1 / 3., 2 / 3., 1.};
Wolfram Language code: fxy = Outer[Sin[Pi #1 ^ 2#2]&, x, y]

値と格子の等高線プロットを示す：

Wolfram Language code: grid = {Map[Line, Outer[List, x, y]], Map[Line, Outer[Reverse[List[##]]&, y, x]]};
Wolfram Language code: Show[ListContourPlot[Transpose[fxy], DataRange -> {{0, 1}, {-1, 1}}], Graphics[{Red, grid}]]

座標を含ませる：

Wolfram Language code: fxyc = Outer[{{##}, Sin[Pi #1 ^ 2#2]}&, x, y]; Short[fxyc, 3]

データを補間する区分多項式を作る：

Wolfram Language code: fun = Interpolation[Flatten[fxyc, 1]]
Wolfram Language code: Show[ContourPlot[fun[s, t], {s, 0, 1}, {t, -1, 1}], Graphics[{Red, grid}]]

特性と関係  (7)

結果の次元は入力の次元を繋いだものである：

Wolfram Language code: Outer[f, {x, x, x}, {x, x, x, x}]
Wolfram Language code: Dimensions[%]
Wolfram Language code: Dimensions[Outer[f, {x, x, x}, {x, x, x, x}, {x, x}, {x, x, x, x, x}]]
Wolfram Language code: Dimensions[Outer[f, {{x, x}, {x, x}}, {x, x, x}, {{x}}]]

Outer[f]は f[]を返す：

Wolfram Language code: Outer[f]

Outer[List,list1,list2,…]は，listiからのタプルの配列Length[list1]×Length[list2]×…を作成する：

Wolfram Language code: Outer[List, {1}, {x, y}, {a, b, c, d}]

結果の次元を検証する：

Wolfram Language code: Dimensions[%]

Tuples[{list1,list2,…}]は，同じタプルを平なリストとして返す：

Wolfram Language code: Tuples[{{1}, {x, y}, {a, b, c, d}}]

結果がタプルの平なリストであることを確認する：

Wolfram Language code: Dimensions[%]

Distributeはすべての要素を平坦な構造で同じように結合する：

Wolfram Language code: Distribute[{{a, b, c}, {x, y}}, List]
Wolfram Language code: Outer[List, {a, b, c}, {x, y}]

KroneckerProductは，行列の平坦化された外積である：

Wolfram Language code: m1 = {{a, b}, {c, d}}; m2 = {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}};
Wolfram Language code: (kp = KroneckerProduct[m1, m2]) //MatrixForm
Wolfram Language code: (op = Outer[Times, m1, m2]) //MatrixForm
Wolfram Language code: ArrayFlatten[op] === kp

Partは複数のレベルの部分のリストを与えられると実質的に外積を使う：

Wolfram Language code: m = Partition[Range[36], 6]; {p1, p2} = RandomInteger[{1, 6}, {2, 3}]
Wolfram Language code: m[[p1, p2]]
Wolfram Language code: Outer[Part[m, ##]&, p1, p2]

Tableはまたリストから一般化された外積を作る：

Wolfram Language code: l1 = {1, 2, 3, 4}; l2 = {a, b, c};
Wolfram Language code: Table[f[x1, x2], {x1, l1}, {x2, l2}]
Wolfram Language code: Outer[f, l1, l2]

考えられる問題  (1)

背景に一貫性がないと一般化された外積が疎ではなくなることがある：

Wolfram Language code: s1 = SparseArray[Table[2 ^ i -> i, {i, 2}]]; s2 = SparseArray[{1} -> 1, {3}];
Wolfram Language code: Outer[f, s1, s2]

背景を選んでこれをSparseArrayに変換することができる：

Wolfram Language code: SparseArray[%, Automatic, f[0, 0]]
Wolfram Research (1988), Outer, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/Outer.html （2020年に更新）.

テキスト

Wolfram Research (1988), Outer, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/Outer.html （2020年に更新）.

CMS

Wolfram Language. 1988. "Outer." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. Last Modified 2020. https://reference.wolfram.com/language/ref/Outer.html.

APA

Wolfram Language. (1988). Outer. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/Outer.html

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2026_outer, author="Wolfram Research", title="{Outer}", year="2020", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/Outer.html}", note=[Accessed: 13-October-2026]}

BibLaTeX

@online{reference.wolfram_2026_outer, organization={Wolfram Research}, title={Outer}, year={2020}, url={https://reference.wolfram.com/language/ref/Outer.html}, note=[Accessed: 13-October-2026]}