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PermutationOrder[perm]

给出置换 perm 的阶数.

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PermutationOrder

PermutationOrder[perm]

给出置换 perm 的阶数.

更多信息

  • 置换 perm 的阶数是 perm 与自己相乘以得到恒元的最小相乘次数 m.
  • 数为1的唯一置换是恒等置换.

范例

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基本范例  (1)

找出一个置换的阶数：

Wolfram Language code: PermutationOrder[Cycles[{{2, 3, 5}, {1, 6, 7, 4, 10}, {8, 9}}]]

范围  (1)

找出具有任何支撑的一个置换的阶数：

Wolfram Language code: PermutationOrder[Cycles[{{1, 10, 1000}, {200, 20000}}]]

应用  (1)

阶数为2的群元称为对合. 如果一个群的所有元素(恒元除外) 的阶数是2，则这个群是阿贝尔的 (相反的含义不成立). 下面这个群是阿贝尔的：

Wolfram Language code: group = PermutationGroup[{Cycles[{{1, 2}}], Cycles[{{3, 4}}]}]
Wolfram Language code: elems = GroupElements[group]
Wolfram Language code: PermutationOrder /@ elems

该群是阿贝尔的因为它的乘法表是对称的. 所有群元的对合特征表现为对角线上的1：

Wolfram Language code: GroupMultiplicationTable[group]//MatrixForm

属性和关系  (6)

恒等置换的阶被定义为1：

Wolfram Language code: PermutationOrder[Cycles[{}]]

一个置换的阶数可以作为其轮换长度的最小公倍数来计算：

Wolfram Language code: perm = Cycles[{{2, 3, 5}, {1, 6, 7, 4, 10}, {8, 9}}];
Wolfram Language code: Length /@ First[perm]
Wolfram Language code: LCM@@%
Wolfram Language code: PermutationOrder[perm]

一个置换的阶数等于由该置换生成的轮换群的阶数：

Wolfram Language code: perm = Cycles[{{1, 15, 8, 11, 3, 6, 13, 12, 4, 10, 7}, {2, 9}}];
Wolfram Language code: PermutationOrder[perm]
Wolfram Language code: GroupOrder[PermutationGroup[{perm}]]

根据拉格朗日定理，一个有限群的每个群元的阶数整除该群的阶数. 但是，并非所有整除一个群的阶数的除数对应于某群元的阶. 以4 次交错群为例，其阶数为12，因此除数有6、3、2：

Wolfram Language code: GroupOrder[group = AlternatingGroup[4]]

没有6阶置换：

Wolfram Language code: GroupElements[group]
Wolfram Language code: PermutationOrder /@ %

科西定理告诉我们，对于群的阶数的每一个素数除数，群中就有一个以该素数为阶数的群元. 以 7 次交错群为例：

Wolfram Language code: group = AlternatingGroup[7]

这是阶数的因子分解及已有的阶数：

Wolfram Language code: GroupOrder[group]//FactorInteger
Wolfram Language code: Union[PermutationOrder /@ GroupElements[group]]

这些是4个素数阶的置换的例子：

Wolfram Language code: GroupElements[group][[{4, 2, 17, 437}]]
Wolfram Language code: PermutationOrder /@ %

中具有不同阶数的置换数目：

Wolfram Language code: Tally[PermutationOrder /@ GroupElements[SymmetricGroup[5]]]

对所有对称群，阶数为6的生成函数：

Wolfram Language code: f6 = Exp[Sum[x ^ d / d, {d, Rest@Divisors[6]}]]

中阶数为6的置换数：

Wolfram Language code: D[f6, {x, 5}] /. x -> 0
Wolfram Research (2010)，PermutationOrder，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/PermutationOrder.html.

文本

Wolfram Research (2010)，PermutationOrder，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/PermutationOrder.html.

CMS

Wolfram 语言. 2010. "PermutationOrder." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/PermutationOrder.html.

APA

Wolfram 语言. (2010). PermutationOrder. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/PermutationOrder.html 年

BibTeX

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BibLaTeX

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