PolyGamma

PolyGamma[z]

ディガンマ関数を与える．

PolyGamma[n,z]

ディガンマ関数の n 次の導関数を与える．

詳細

記号操作・数値操作の両方に適した数学関数である．
PolyGamma[z]は，ガンマ関数の対数微分で， $TemplateBox[{z}, PolyGamma]=Gamma^'(z)/TemplateBox[{z}, Gamma]$ によって与えられる．
PolyGamma[n,z]は，正の整数に対して， $TemplateBox[{n, z}, PolyGamma2]=d^nTemplateBox[{z}, PolyGamma]/dz^n$ で与えられる．
任意の複素数 n に対し，ポリガンマ関数は分数計算の解析接続によって定義される．
PolyGamma[z]とPolyGamma[n,z]は，不連続な分枝切断線を持たない z の有理型関数である．
特別な引数の場合，PolyGammaは，自動的に厳密値を計算する．
PolyGammaは任意の数値精度で評価できる．
PolyGammaは，自動的にリストに縫い込まれる．
PolyGammaはIntervalオブジェクトおよびCenteredIntervalオブジェクトに使うことができる． »

例題

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例 (7)

ディガンマ関数を評価する：

ペンタガンマ関数を評価する：

ガンマ関数の第2導関数を評価する：

実数の部分集合上でディガンマ関数をプロットする：

複素数の部分集合上でプロットする：

原点における級数展開：

Infinityにおける級数展開：

特異点における級数展開：

スコープ (47)

数値評価 (7)

数値的に評価する：

任意サイズの整数引数について評価する：

複素引数と次数について評価する：

任意精度で評価する：

出力精度は入力精度に従う：

PolyGammaを高精度で効率よく評価する：

IntervalオブジェクトとCenteredIntervalオブジェクトを使って最悪の場合に保証される区間を計算する：

Aroundを使って平均的な場合の統計区間を計算する：

配列の要素ごとの値を計算する：

MatrixFunctionを使って行列のPolyGamma関数を計算することもできる：

特定の値 (6)

PolyGammaのいくつかの特異点：

無限大における値：

の零点を求める：

FunctionExpandを使って高次のポリガンマ関数を展開する：

特殊ケース：

厳密引数で評価する：

可視化 (3)

ディガンマ関数をプロットする：

の実部をプロットする：

の虚部をプロットする：

パラメータの半整数値についてPolyGammaをプロットする：

関数の特性 (9)

PolyGammaの実領域：

半整数パラメータについてPolyGammaの関数領域を近似する：

PolyGammaは解析関数ではない：

特異点と不連続点の両方を持つ：

は有理型関数である：

固定された非負の整数についてはの有理型関数である：

の他の値については有理型ではない：

は非減少でも非増加でもない：

は単射ではない：

は全射ではない：

は非負でも非正でもない：

は凸でも凹でもない：

微分 (3)

PolyGammaの一次導関数：

ディガンマ関数の高次導関数：

次導関数の式：

積分 (3)

PolyGammaの不定積分：

ベキ関数を含む不定積分：

定積分 $int_1^3TemplateBox[{x}, PolyGamma]dx$ ：

級数展開 (7)

の周りのディガンマ関数のテイラー(Taylor)級数：

の周りのオイラーのガンマ関数の最初の3つの近似を求める：

ディガンマ関数の級数展開における一般項：

無限大における級数展開：

極における級数展開：

生成点における級数展開：

特異点近くの級数展開：

PolyGammaはベキ級数に適用できる：

関数の恒等式と簡約 (5)

FullSimplifyを使ってポリガンマ関数を簡約する：

PolyGammaの恒等式：

二重引数のPolyGamma：

他の引数の簡約：

再帰関係：

関数表現 (4)

ディガンマ関数の定義：

積分表現：

PolyGammaはDifferenceRootとして表現できる：

TraditionalFormによる表示：

アプリケーション (4)

PolyGammaの絶対値を複素平面上でプロットする：

平行な電導性板の間の距離の割合における電荷の電場エネルギー：

左の壁近くで展開する：

離散推進イベントのロケットの最終スピード：

一定の連続した推進力の極限における最終速度：

ガウス状態密度に対するランダム行列理論における有効な閉込めポテンシャル：

無限大における展開は対数的増加を明らかにする：

特性と関係 (7)

FullSimplifyを用いてポリガンマ関数を簡約する：

初等関数を通して有理引数を表す：

超越方程式の根を数値的に求める：

和と積分：

積分，和，極限からPolyGamma関数を生成する：

母関数：

超幾何関数の特殊ケースとして得る：

考えられる問題 (3)

一引数の形は評価すると二引数の形になる：

次数が高いと明示的に計算するのには大きすぎる結果が返される：

機械数の入力は高精度の結果をもたらす：

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