PolyGamma

PolyGamma[z]

给出双伽玛函数 TemplateBox[{z}, PolyGamma].

PolyGamma[n,z]

给出双伽玛函数 TemplateBox[{n, z}, PolyGamma2] 的第 n 个导数.

更多信息

  • 数学函数，适宜于符号和数值运算.
  • PolyGamma[z] 是伽玛函数的对数导数，由 TemplateBox[{z}, PolyGamma]=Gamma^'(z)/TemplateBox[{z}, Gamma] 给出.
  • 对于正整数 ，PolyGamma[n,z] 由 TemplateBox[{n, z}, PolyGamma2]=d^nTemplateBox[{z}, PolyGamma]/dz^n 给出.
  • 对于任何复数 n，多伽玛函数由分式的微积分解析开拓定义.
  • PolyGamma[z] 和 PolyGamma[n,z] 是 z 的亚纯函数，没有任何分支线.
  • 对于某些特定参数，PolyGamma 自动运算出精确值.
  • PolyGamma 可求任意数值精度的值.
  • PolyGamma 自动逐项作用于列表的各个元素.
  • PolyGamma 可与 Interval 和 CenteredInterval 对象一起使用. »

范例

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基本范例  (7)

双伽玛函数的运算：

运算多伽玛函数：

计算伽玛函数的二阶导数：

在实数的子集上绘制双伽玛函数：

在复数的子集上绘图：

在原点的级数展开：

在 Infinity 的级数展开：

在奇点处的级数展开式：

范围  (47)

数值计算  (7)

数值运算：

计算任意大小的整数自变量：

对复变量求值：

任意精度求值：

输出精度与输入精度一致：

用高精度高效计算 PolyGamma：

用 Interval 和 CenteredInterval 对象计算最差情况下的区间：

用 Around 计算普通的统计区间：

逐项计算数组中每个元素的值：

或用 MatrixFunction 计算矩阵形式的 PolyGamma 函数：

特殊值  (6)

PolyGamma 的某些奇点值：

无穷处的值:

求 TemplateBox[{x}, PolyGamma] 的零点值：

用 FunctionExpand 展开高阶多伽玛函数：

特殊情况：

在精确参数处计算：

可视化  (3)

绘制双伽玛 (digamma) 函数：

绘制 TemplateBox[{z}, PolyGamma] 的实部：

绘制 TemplateBox[{z}, PolyGamma] 的虚部：

绘制参数 的半整数值的 PolyGamma：

函数的属性  (9)

PolyGamma 的实域:

半整数参数的近似函数范围 PolyGamma：

PolyGamma 不是解析函数：

该函数有奇点和断点：

TemplateBox[{z}, PolyGamma] 是亚纯函数：

对于固定的非负整数 ，TemplateBox[{n, z}, PolyGamma2] 是 的亚纯函数：

对于其他值的 ，该函数不是亚纯函数：

TemplateBox[{x}, PolyGamma] 不是非递减也不是非递增：

TemplateBox[{x}, PolyGamma] 不是单射函数：

TemplateBox[{x}, PolyGamma] 是满射函数：

TemplateBox[{x}, PolyGamma] 不是非负也不是非正：

TemplateBox[{x}, PolyGamma] 不是凸函数也不是凹函数：

微分  (3)

PolyGamma 的一阶导数：

digamma 函数的高阶导数：

阶导的公式：

积分  (3)

PolyGamma 的不定积分：

涉及幂函数的不定积分：

定积分 int_1^3TemplateBox[{x}, PolyGamma]dx：

级数展开  (7)

在 处双伽玛函数的泰勒展开：

绘制 附近欧拉伽玛函数的前 3 个近似：

双伽玛函数级数展开的通用项：

在无穷处的级数展开：

在极点处的级数展开：

一般点的级数展开：

奇点附近的级数展开：

PolyGamma 可用于幂级数：

函数恒等式与简化  (5)

使用 FullSimplify 简化多伽玛函数：

PolyGamma 恒等 TemplateBox[{0, z}, PolyGamma2]=TemplateBox[{z}, PolyGamma]：

双参数的 PolyGamma：

其他参数简化：

递推关系：

函数表示  (4)

双伽玛函数定义：

积分表示：

PolyGamma 可被表示为 DifferenceRoot:

TraditionalForm 格式：

应用  (4)

绘制复平面上 PolyGamma 的绝对值：

在平行导电平板之间以 分式的方式求电荷的电场能量：

在左边平板附近展开：

有 个离散的推进事件的火箭的最后速度：

限制在不变的连续推进下最终的速度：

随机矩阵理论中高斯态密度的有效约束势（effective confining potential）：

无穷大处的展开显示对数增长趋势：

属性和关系  (7)

用 FullSimplify 化简多伽玛函数：

将有理自变量表示成基本函数：

求超越方程的数值根：

和与积分：

用积分运算、求和运算、求极限运算产生 PolyGamma：

生成函数：

获得超几何函数的特例：

可能存在的问题  (3)

一元自变量形式计算为二元自变量形式：

较大的次给出的结果过大以致于不能直接计算：

机器数的输入给出高精度的结果：

Wolfram Research (1988)，PolyGamma，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/PolyGamma.html （更新于 2022 年）.

文本

Wolfram Research (1988)，PolyGamma，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/PolyGamma.html （更新于 2022 年）.

CMS

Wolfram 语言. 1988. "PolyGamma." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2022. https://reference.wolfram.com/language/ref/PolyGamma.html.

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Wolfram 语言. (1988). PolyGamma. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/PolyGamma.html 年

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