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PolynomialReduce[poly,{poly1,poly2,…},{x1,x2,…}]

polyi によって poly を簡約したリストを返す．求まるリストは{{a1,a2,…},b}の形であり，b は最小で，poly は a1 poly1+a2 poly2+…+b に等しい．

詳細とオプション
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PolynomialReduce

PolynomialReduce[poly,{poly1,poly2,…},{x1,x2,…}]

polyi によって poly を簡約したリストを返す．求まるリストは{{a1,a2,…},b}の形であり，b は最小で，poly は a1 poly1+a2 poly2+…+b に等しい．

詳細とオプション

  • 多項式 b は，このいずれの項も任意の polyi の先頭の項で割ることができないという属性を持つ．
  • polyi が xiについてのグレブナー(Gröbner)基底になっている場合，その属性によりPolynomialReduceは一意に定まる余りを求められる．
  • 多項式を簡約した結果は，一般に，単項式に割り当てられた順序に依存する．この順序は xiの順序の影響を受ける．
  • GroebnerBasisに関して与えられるオプション
  • MonomialOrder Lexicographic単項式の並び順を決定する基準
    CoefficientDomain Rationals係数とみなされるオブジェクトの型
    Modulus 0数値係数の法
  • PolynomialReductionは被約多項式 b だけを計算する．

例題

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例  (1)

多項式fを多項式のリストpについて簡約する：

Wolfram Language code: f = x ^ 3 + y ^ 3; p = {x ^ 2 - y ^ 2 - 1, x + 2y - 7};
Wolfram Language code: {q, r} = PolynomialReduce[f, p, {x, y}]

fは，多項式pと剰余項rの線形結合である：

Wolfram Language code: f == q.p + r//Expand

スコープ  (1)

多項式を，グレブナー(Gröbner)基底ではない多項式のリストを法として簡約する：

Wolfram Language code: f = 2x ^ 3 + y ^ 3 + 3y; polys = {x ^ 2 + y ^ 2 - 1, x y - 2}; gb = GroebnerBasis[polys, {x, y}]

fがpolysによって生成されたイデアルに属していたとしても，剰余は零ではない：

Wolfram Language code: PolynomialReduce[f, polys, {x, y}]

fが，polysに生成されたイデアルに属している場合，gbを法とした剰余は零でなければならない：

Wolfram Language code: PolynomialReduce[f, gb, {x, y}]

オプション  (4)

CoefficientDomain  (1)

デフォルトで，PolynomialReduceはパラメータの有理関数体上で作用する：

Wolfram Language code: polys = {a x ^ 2 + 5 y - 1, 2 x + x y - y ^ 2}; poly = a ^ 2 x - x y + y ^ 2 - 3;

polysのグレブナー基底を有理関数体上で計算する：

Wolfram Language code: gb1 = GroebnerBasis[polys, {x, y}, CoefficientDomain -> RationalFunctions]

gb1を法としたpolyを有理関数体上で簡約する：

Wolfram Language code: PolynomialReduce[poly, gb1, {x, y}]

グレブナー基底を計算し，polyを整数上で簡約する：

Wolfram Language code: gb2 = GroebnerBasis[polys, {x, y}, CoefficientDomain -> Integers]
Wolfram Language code: PolynomialReduce[poly, gb2, {x, y}, CoefficientDomain -> Integers]

グレブナー基底を計算し，polyを有理数上で簡約する：

Wolfram Language code: gb3 = GroebnerBasis[polys, {x, y}, CoefficientDomain -> Rationals]
Wolfram Language code: PolynomialReduce[poly, gb3, {x, y}, CoefficientDomain -> Rationals]

グレブナー基底を計算し，近似演算を使ってpolyを簡約する：

Wolfram Language code: gb4 = GroebnerBasis[polys, {x, y}, CoefficientDomain -> InexactNumbers[20]]

使われる精度はグレブナー基底の精度に基づいて自動的に選ばれる：

Wolfram Language code: PolynomialReduce[poly, gb4, {x, y}, CoefficientDomain -> InexactNumbers]

Modulus  (1)

グレブナー基底を計算し，7を法とする整数上で多項式を簡約する：

Wolfram Language code: polys = {3 x ^ 2 + y z - 5 x - 1, 2 x + 3 x y + y ^ 2, x - 3 y + x z - 2 z ^ 2}; poly = z ^ 9 - x ^ 2 y ^ 3 - 3 x y ^ 2 z + 11y z ^ 2 + x ^ 2 z ^ 2 - 5; gb = GroebnerBasis[polys, {x, y, z}, Modulus -> 7]; PolynomialReduce[poly, gb, Modulus -> 7]

MonomialOrder  (1)

デフォルトで，PolynomialReduceはLexicographic単項式順序を使う：

Wolfram Language code: polys = {3 x ^ 2 + y - 5 x - 1, 2 x + 3 x y + y ^ 2}; poly = x y - 3 x y ^ 2 + 11y + x ^ 3;
Wolfram Language code: gb1 = GroebnerBasis[polys, {x, y}]
Wolfram Language code: PolynomialReduce[poly, gb1, {x, y}]

GroebnerBasisが許容する任意のMonomialOrderを使うことができる：

Wolfram Language code: gb2 = GroebnerBasis[polys, {x, y}, MonomialOrder -> DegreeReverseLexicographic]
Wolfram Language code: PolynomialReduce[poly, gb2, {x, y}, MonomialOrder -> DegreeReverseLexicographic]

Tolerance  (1)

近似商を計算する：

Wolfram Language code: p = x ^ 14 + 3.00001 * x ^ 10 - 7.99998 * x ^ 7 - 25.00002 * x ^ 6 + 3.00001 * x ^ 13 + 9.00006 * x ^ 9 - 3.00001 * x ^ 5 - 2.00001 * x ^ 8 - 6.00005 * x ^ 4 + 16.00004 * x + 2.00001;
Wolfram Language code: d = -2.0001465223696937 + 3.0002401628321618 * x ^ 5 + 1. * x ^ 6;

デフォルトの許容率0の場合，d は p を割らない：

Wolfram Language code: PolynomialReduce[p, {d}, x, CoefficientDomain -> InexactNumbers]

近似商とゼロ剰余を得るために許容率を上げる：

Wolfram Language code: PolynomialReduce[p, {d}, x, CoefficientDomain -> InexactNumbers, Tolerance -> 0.01]

アプリケーション  (3)

多項式が1組の多項式によって生成されたイデアルに属するかどうかテストする：

Wolfram Language code: f = x ^ 6 - 14x ^ 3 - y ^ 4 + 49; g = x ^ 5 - y ^ 5; polys = {x ^ 2 - y ^ 3 - 5, y ^ 2 - x ^ 3 + 7}; gb = GroebnerBasis[polys, {x, y}]

剰余がゼロなので，f は polys によって生成されたイデアルに属する：

Wolfram Language code: PolynomialReduce[f, gb, {x, y}][[2]]

剰余がゼロではないので，g は polys によって生成されたイデアルには属さない：

Wolfram Language code: PolynomialReduce[g, gb, {x, y}][[2]]

新旧の変数を関連付ける方程式を使って多項式の変数を置換する：

Wolfram Language code: poly = (x + y) ^ 2; eqns = {a == x ^ 2 + y ^ 2, b == x y}; gb = GroebnerBasis[eqns, {x, y}]

剰余は a と b によって poly を表す：

Wolfram Language code: {qs, r} = PolynomialReduce[(x + y) ^ 2, gb, {x, y}]

以下でこの表現が正しいことが証明される：

Wolfram Language code: poly == r /. ToRules[And@@eqns]//Expand

代数における多項式の表現を計算する：

Wolfram Language code: {p1, p2} = {x ^ 2 + y ^ 2, x y};

タグ変数を導入し，単項式順序の最後に置く：

Wolfram Language code: gb = GroebnerBasis[{f1 - p1, f2 - p2}, {x, y}]

剰余はにあるので，これはを示している：

Wolfram Language code: Last[PolynomialReduce[(x + y) ^ 4, gb, {x, y}]]

結果を検証する：

Wolfram Language code: % /. {f1 -> p1, f2 -> p2}//Factor

特性と関係  (4)

多項式を多項式のリストについて簡約する：

Wolfram Language code: f = x ^ 2 - 2x y ^ 2 + y ^ 3 + 7; polys = {x ^ 2 - y ^ 2 - 3, x y - 5}; {qs, r} = PolynomialReduce[f, polys, {x, y}]

f は係数 qs の polys と剰余 r の線形結合である：

Wolfram Language code: f == qs.polys + r//Expand

PolynomialReductionを使って被約多項式 r だけを計算する：

Wolfram Language code: PolynomialReduction[f, polys, {x, y}]

簡約してゼロになる場合にのみ，その多項式はグレブナー基底が生成したイデアルに属する：

Wolfram Language code: {p1, p2} = {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 - 1, x - 2y ^ 3 - 3};
Wolfram Language code: {g1, g2} = GroebnerBasis[{p1, p2}, {x, y, z}]

次は，p1がイデアル{g1,g2}に属することを示している：

Wolfram Language code: PolynomialReduce[p1, {g1, g2}, {x, y, z}]

単変数のPolynomialReduceはPolynomialQuotientRemainderに等しい：

Wolfram Language code: PolynomialReduce[x ^ 5 - 3x + 7, {2x ^ 3 - 5x + 11}, x]
Wolfram Language code: PolynomialQuotientRemainder[x ^ 5 - 3x + 7, 2x ^ 3 - 5x + 11, x]

非可換多項式を非可換多項式のリストについて簡約する：

Wolfram Language code: p = x**x**y**x**y + 2 y**x**y**x + 3 x**y; qq = {2 x**y**x + 3 x**x + 4 y + 5, 3 y**x**x + 4 y**x - 5 x + 6};
Wolfram Language code: {fs, r} = NonCommutativePolynomialReduce[p, qq, {x, y}]

p は，多項式 qq と残差多項式 r の線形結合である：

Wolfram Language code: NonCommutativeExpand[p - Plus@@MapThread[Construct, {fs, qq}] - r]

考えられる問題  (1)

PolynomialReduceは，同じ入力でも変数の順序が違うと異なる結果を与えることがある：

Wolfram Language code: polys = {x ^ 2 - y ^ 3 - 5, y ^ 3 - x ^ 3 + 7}; newpoly = x ^ 5 + (x + y) ^ 2; PolynomialReduce[newpoly, polys, {x, y}]

変数の順序を変える：

Wolfram Language code: PolynomialReduce[newpoly, polys, {y, x}]
Wolfram Research (1996), PolynomialReduce, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/PolynomialReduce.html.

テキスト

Wolfram Research (1996), PolynomialReduce, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/PolynomialReduce.html.

CMS

Wolfram Language. 1996. "PolynomialReduce." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/PolynomialReduce.html.

APA

Wolfram Language. (1996). PolynomialReduce. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/PolynomialReduce.html

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2026_polynomialreduce, author="Wolfram Research", title="{PolynomialReduce}", year="1996", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/PolynomialReduce.html}", note=[Accessed: 01-November-2026]}

BibLaTeX

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