PolynomialReduce

PolynomialReduce[poly,{poly1,poly2,…},{x1,x2,…}]

产生一个形式为 {{a1,a2,…},b} 的列表，表示 poly 针对 polyi 的一个约化，其中 b 为最小形式且 a1 poly1+a2 poly2+…+b 恰好等于 poly.

更多信息和选项

  • 多项式 b 有这样的性质：它的任何一项都不会被任何一个 polyi 的首项整除.
  • 如果 polyi 相对于 xi 构成一个 Gröbner 基（Gröbner basis），则该属性就唯一地决定了从 PolynomialReduce 求解得到的余数.
  • 一般来说，多项式的约化结果取决于单项式的排序. 这种排序受到 xi 排序的影响.
  • 关于 GroebnerBasis，可以给出下面的选项：
  • MonomialOrder Lexicographic用于单项式排序的准则
    CoefficientDomain Rationals用作系数的对象类型
    Modulus 0数值系数的模

范例

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基本范例  (1)

按多项式 p 列表约化多项式 f:

f 是多项式 p 和余项 r 的线性组合：

范围  (1)

按一个多项式列表约化一个多项式，其中这个多项式列表不是 Gröbner 基：

余式并不等于零，尽管 f 属于 polys 产生的理想：

当 f 属于 polys 产生的理想时，余式模 gb 必为零：

选项  (4)

CoefficientDomain  (1)

在缺省情况下，PolynomialReduce 在参数的有理函数域上适用：

在有理函数域 上计算 polys 的 Gröbner 基：

在有理函数域 上按模 gb1 约化 poly：

在整数域上计算 Gröbner 基并约化 poly：

在有理数域上计算 Gröbner 基并约化 poly：

用近似算法计算 Gröbner 基并约化 poly：

所用精度是根据 Gröbner 基的精度自动选择的：

Modulus  (1)

在模 7 的整数上计算 Gröbner 基并约化一个多项式：

MonomialOrder  (1)

在默认情况下，PolynomialReduce 用 Lexicographic 单项序：

可以使用由 GroebnerBasis 所允许的任何 MonomialOrder：

Tolerance  (1)

计算近似商：

有默认的零容差下， d 不能整除 p：

提高容差以获得一个近似商和零余数：

应用  (3)

测试多项式是否属于一个多项式集合所产生的理想：

余数为零，因此 f 属于 polys 产生的理想：

余数非零，因此 g 不属于 polys 产生的理想：

用描述新旧变量关系的方程来替换多项式中的变量：

余数给出用 a 和 b 表示的 poly：

这里证明这种表示的正确性：

在代数 上计算一个多项式的表示：

引入标签变量且对其在单项序的最后排序：

因为余数在 中，这里证明 ：

检查结果：

属性和关系  (3)

针对一个多项式列表约化一个多项式：

f 等于 polys 的，系数为 qs 的线性组合加上余式 r：

当且仅当一个多项式可约化到零时，则它属于 Gröbner 基产生的理想：

下面表明 p1 是在理想 {g1,g2} 中：

单变量 PolynomialReduce 等价于 PolynomialQuotientRemainder：

可能存在的问题  (1)

PolynomialReduce 在输入相同但变量排序不同的情况下，可能会得出不同的结果：

现在改变变量的顺序：

Wolfram Research (1996)，PolynomialReduce，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/PolynomialReduce.html.

文本

Wolfram Research (1996)，PolynomialReduce，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/PolynomialReduce.html.

CMS

Wolfram 语言. 1996. "PolynomialReduce." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/PolynomialReduce.html.

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Wolfram 语言. (1996). PolynomialReduce. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/PolynomialReduce.html 年

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