Prime[n]
给出第 n
个质数
.
Prime
Prime[n]
给出第 n
个质数
.
更多信息
- Prime 也称为质数序列.
- 整数数学函数,适用于符号和数字操作.
是大于
的最小正整数,该整数不能被任何大于1且小于其自身的任何整数整除. 第一个质数
是整数 2.- 当
时,
渐近地等价于
.
范例
打开所有单元 关闭所有单元基本范例 (3)
范围 (10)
数值运算 (4)
符号运算 (6)
TraditionalForm 格式:
Prime[n]//TraditionalForm求 Prime 等式的解的实例:
FindInstance[Prime[n] + 2 == Prime[n + 1], n, Integers]Sum[1 / Prime[n] ^ s, {n, Infinity}]Product[1 + 1 / Prime[n] ^ s, {n, Infinity}]识别 Prime 序列:
FindSequenceFunction[{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}, n]FullSimplify[Prime[n] > n Log[n], n∈Integers && n > 0]DiscreteAsymptotic[Prime[n], n -> ∞]当
趋近 Infinity时,序列及其渐近首项的比值趋近于 1:
DiscreteLimit[Prime[n] / (n Log[n]), n -> ∞]应用 (38)
基本应用 (9)
Multicolumn[If[PrimeQ[#], Framed[Style[#, Red]], #]& /@ Range[70], ...]Plot[{x^(1/2), -x^(1/2)}, {x, 0, 10}, Sequence[...]]Plot[Evaluate[Table[Prime[n] * Sin[x * Pi / Prime[n]], {n, 5}]], {x, 0, 30}]ListPolarPlot[Table[{Mod[π / 2 - n 4π / 20, 2π], Prime[n]}, {n, 20}], Sequence[...]]hexagonalSpiral[n_] := {Re[#], Im[#]}& /@ Fold[Join[#1, Last[#1] + Exp[I Pi / 3] ^ #2Range[#2 / 2]]&, {0}, Range[n]]spiral = hexagonalSpiral[25];primes = spiral[[Prime[Range[PrimePi[Length[spiral]]]]]];ListPlot[spiral, ...]firstDivisorPair[n_Integer] :=
If[n == 1, 1, (If[PrimeQ[#[[1]]], #[[1]], #[[1]][#[[2]], Divide@@#]]&)[NestWhile[MapAt[NextPrime, #, 2]&, {n, 2}, !IntegerQ[Divide@@#]&]]]firstDivisorPair[24]trialByDivision[n_Integer] :=
First[FixedPoint[MapAt[firstDivisorPair, #, Last[Position[#, _Integer, Heads -> False]]]&, {n}]]trialByDivision[24]factorTree[n_Integer] := TreeForm[trialByDivision[n], Rule[...]]factorTree[24]GraphPlot[Table[If[PrimeQ[(n/m)], 1, 0], {m, 11}, {n, 11}], ...]用周期曲线可视化质数. 质数是那些只有两条曲线(自身和曲线1)相交的数:
labels = Table["" <> ToString[i], {i, 1, 10}];Plot[{Tooltip[-Sin[Pi * x], "1"], Evaluate[Table[Tooltip[n * Sin[Pi * x / n], labels[[n]]], {n, 2, 10}]]}, {x, 1, 10}, Sequence[...]]ArrayPlot[Partition[(PrimeQ[#1]&) /@ Table[i, {i, 1000}] /. {False -> 0, True -> 1}, Ceiling[Sqrt[1000]]], Rule[...]]近似值 (3)
Prime[25]25 * Log[25.]将 Prime 与估计值进行比较并绘图:
ListStepPlot[{Table[Prime[n], {n, 25}], Table[n Log[n], {n, 25}]}]ListPlot[Table[Prime[n] / (n Log[n]), {n, 2, 5000}]]cesaro[n_] := Floor[n * (Log[n] + Log[Log[n]] - 1 + (Log[Log[n]] - 2) / Log[n] - (Log[Log[n]] ^ 2 - 6Log[Log[n]] + 11) / (2 * Log[n] ^ 2))]cesaro[2 10 ^ 15]Prime[2 10 ^ 15]使用等分和
计算 Prime,当
为素数时等于1:
primeNumbers = Position[Table[DivisorSigma[1, n] - n, {n, 1, 100}], 1][[All, 1]]Table[Prime[n], {n, 1, PrimePi[100]}]数论 (14)
Mod[Array[Prime, 100], 10]ListLinePlot[Mod[Array[Prime, 100], 10]]ListLinePlot[Table[Mod[Prime[n + 1], n], {n, 1, 100}]]DiscretePlot[Mod[Prime[n], 6], {n, 50}]Count[Prime[Range[3, 1000002]], p_ /; Mod[p, 6] == 1] / 1000000% + Count[Prime[Range[3, 1000002]], p_ /; Mod[p, 6] == 5] / 1000000modulus = {Prime[100], Prime[101], Prime[102], Prime[103]};a = 1234587;
b = 1423;remaindera = Mod[a, modulus]remainderb = Mod[b, modulus]ChineseRemainder[remaindera remainderb, modulus]a bChineseRemainder[remaindera + remainderb, modulus]a + b1 / Product[1 - 1 / Prime[n] ^ s, {n, 6}]% /. s -> 2N[%]N[Zeta[2]]N[Last[FoldList[Times, 1, 1 - (1/Prime[Range[25]])]]100]ListPlot[FoldList[Times, 1, 1 - (1/Prime[Range[25]])], Rule[...]]DiscretePlot[Prime[n + 1] - Prime[n], {n, 1, 100}]求连续素数之间最频繁出现的差值,即 Jumping Champion 问题:
jumpingChampion = Commonest[Table[Prime[n + 1] - Prime[n], {n, 1, 100}]]sumPrimeFactors[n_] := Plus@@Flatten[Table[#1, {#2}]&@@@FactorInteger[n]]sumPrimeFactors[25]ListStepPlot[sumPrimeFactors /@ Range[25]]GoldbachPartitions[n_] := IntegerPartitions[2n, {2}, Prime@Range@PrimePi[2n]]GoldbachPartitions[50]ListPlot[Transpose[{Range[4, 1000, 2], Length /@ Table[IntegerPartitions[i, 2, Table[Prime[n], {n, PrimePi[i]}]], {i, 4, 1000, 2}]}], AxesOrigin -> {0, 0}]计算直到第 n 个素数的素数阶乘,即将连续素数相乘的函数,类似于阶乘:
primorial[0] := 1
primorial[1] := 2
primorial[n_] := Times@@Prime@Range[n];primorial[5]DiscretePlot[{Log[n!], Log[Times@@Prime[Range[PrimePi[n]]]]}, {n, 1, 50}]ListLinePlot[If[True, Differences, Identity][Table[Log[(n!/Times@@Prime[Range[PrimePi[n]]])], {n, 1, 100, 1}]], Rule[...]]chebyshevTheta[n_] := Log[primorial[PrimePi[n]]];Plot[chebyshevTheta[n], {n, 1, 100}]primePowers[n_] := Union@@Table[Prime[Range[PrimePi[n ^ (1 / x)]]] ^ x, {x, Log2[n]}]primePowers[10]PrimePowerQ[%]primePowerPi[n_] := PrimePi[n] + Sum[Floor@Log[Prime[k], n] - 1, {k, PrimePi[Sqrt[n]//Floor]}]primePowerPi[10]DiscretePlot[primePowerPi[n], {n, 1, 100}]n = RandomInteger[500]n < NextPrime[n] < 2nAllTrue[Table[n < NextPrime[n] < 2n, {n, 2, 200}], #&]绘制 Andrica 猜想,该猜想提出,对每对连续质数 pn 和 pn+1,√pn+1-√pn<1 成立:
ListStepPlot[-Subtract@@@Partition[Sqrt /@ Prime[Range[100]], 2, 1], Rule[...]]绘制 Brocard 猜想,该猜想提出,对于大于 2 的两个连续质数 pn 和 pn+1,在 (pn)2 和 (pn+1)2 之间至少有四个质数:
ListStepPlot[-Subtract@@@Partition[PrimePi[Prime[Range[100]] ^ 2], 2, 1], Rule[...]]Table[Plot[Evaluate[Table[Factor[ChebyshevU[Prime[n] - 1, x] / (GCD@@CoefficientList[ChebyshevU[Prime[n] - 1, x], x])][[k]], {k, 1, Length[Factor[ChebyshevU[Prime[n] - 1, x] / (GCD@@CoefficientList[ChebyshevU[Prime[n] - 1, x], x])]]}]], {x, -1, 1}], {n, 3, 6}]特殊序列 (12)
Select[Table[If[PrimeQ[n + 2], n], {n, 2, 100}], PrimeQ]ListStepPlot[Select[Table[If[PrimeQ[n + 2], n], {n, 2, 100}], PrimeQ]]如果
也是素数,则素数
是 Sophie Germain 素数:
Multicolumn[If[PrimeQ[2 * Prime[#] + 1], Framed[Style[Prime[#], Red]], Prime[#]]& /@ Range[42], ...]MersennePrimeExponentQ[Prime[4]]PrimeQ[2 ^ Prime[4] - 1]Select[Table[2^2^n + 1, {n, 0, 4}], PrimeQ]Select[Range[10 ^ 4], Mod[2 ^ (# - 1) - 1, # ^ 2] == 0 && PrimeQ[#]&]Select[Table[Product[Prime[n], {n, m}] + 1, {m, 100}], PrimeQ]perfectNumbers = Select[Table[If[PrimeQ[(2 ^ Prime[n]) - 1], (2 ^ (Prime[n] - 1))((2 ^ Prime[n]) - 1)], {n, 1, 25}], IntegerQ]Select[Table[If[Mod[Prime[n], 4] == 1, Prime[n]], {n, 1, 15}], IntegerQ]PowersRepresentations[13, 2, 2]13 == 2^2 + 3^2拉马努金素数是对于全部 x≥ Rn,使得 π(x) - π(x/2) ≥ n 成立的最小数 Rn:
list = Table[PrimePi[n] - PrimePi[n / 2], {n, 10 ^ 4}];ramanujanPrime[n_] := 1 + Last[Position[list, n - 1]][[1]]ramanujanPrime[10]第 n 个拉马努金素数与 Prime 之差:
DiscretePlot[{ramanujanPrime[n], Prime[n]}, {n, 1, 50}]Select[Table[If[PrimeQ[Prime[n], GaussianIntegers -> True], Prime[n]], {n, 1, 25}], PrimeQ]对于高斯整数
,如果满足
和
非零,
为素数,或
,
,或
则
,则为高斯素数. 以下是高斯素数的阵列图:
ArrayPlot[Table[If[PrimeQ[x + I y, GaussianIntegers -> True], If[1 ≠ 1 && !CoprimeQ[x + I y, 1], 2, 1], 0], {x, -25, 25}, {y, -25, 25}], Rule[...]](*or this version*)ArrayPlot[Array[Boole[PrimeQ[Complex@##, GaussianIntegers -> True]]&, {65, 65}, -32], Rule[...]]反素数是素数
的一种,将其从低位向高位反写,得到的另一个数仍是素数,但不包括回文数:
emirpPrimes = Select[Table[If[PrimeQ[If[IntegerReverse@Prime[n] ≠ Prime[n], IntegerReverse@Prime[n]]], Prime[n]], {n, 1, 20}], IntegerQ]IntegerReverse[%]PrimeQ[%]求
的本素数.
通过串联
的素数因子并重复直到得到素数而得到:
concatenatePrimes[n_] := FromDigits[Flatten[IntegerDigits /@ Flatten[Table[#1, {#2}]&@@@FactorInteger[n]]]];concatenatePrimes[9]PrimeQ[%]homePrime[n_] := NestWhile[concatenatePrimes[#]&, n, !PrimeQ[#]&];homePrime[1] = 1;homePrime[9]PrimeQ[%]属性和关系 (8)
Prime 的传统数学符号:
Prime[n]//TraditionalFormPrimes 表示所有素数的域:
Element[Prime[30], Primes]Prime 的最大定义域:
FunctionDomain[Prime[n], n]当
时,Prime 渐进地等于
:
DiscreteAsymptotic[Prime[n], n -> ∞]PrimePi[Prime[100]]使用 NextPrime 求大于 n 的下一个素数:
NextPrime[30]Prime[PrimePi[30] + 1]PrimeOmega 计算素数因子的数量:
PrimeOmega[Prime[5]]Divisors[Prime[5]]EulerPhi[n] 计算小于或等于
且与
互质的数的个数:
EulerPhi[Prime[10]]Prime[10] - 1可能存在的问题 (1)
互动范例 (2)
巧妙范例 (6)
根据 Prime 值的差异进行着色的乌岚螺旋:
ulam[n_] := Partition[Permute[Range[n ^ 2], Accumulate[Take[Flatten[{{n ^ 2 + 1} / 2, Table
[(-1) ^ j i, {j, n}, {i, {-1, n}}, {j}]}], n ^ 2]]], n]ArrayPlot[Prime[ulam[101] + 1] - Prime[ulam[101]], Rule[...]]当
被质数整除时进行可视化. 每行的点对应于
的除数,它们沿水平轴标记:
NumberLinePlot[Table[Select[Range[Prime[n]], (Divisible[Prime[n] - 1, #] && # > 1 && PrimeQ[#])&], {n, 1, 40}], PlotRange -> All]根据 Prime 序列生成路径:
Graphics[Line[AnglePath[Table[Prime[n], {n, 1, 1000}]], Rule[...]]]vertexcoords[p_] := GraphEmbedding[Graph3D[Flatten@Table[i -> Mod[i q, p], {i, 1, p - 1}, {q, Prime[Range[PrimePi[p] - 1]]}]]];Table[ConvexHullMesh[vertexcoords[p], Rule[...]], {p, Prime[Range[4, 7]]}]Table[Graphics[{EdgeForm[Black], Riffle[RandomColor@50, Polygon /@ (CirclePoints[#, 1, Prime[n]]& /@ Tuples[Range@1, {2}])]}], {n, 2, 5}]WordCloud[Table[Prime[n], {n, 1, 100}], [image]]技术笔记
历史
1988年引入 (1.0) | 在以下年份被更新:2020 (12.1)
文本
Wolfram Research (1988),Prime,Wolfram 语言函数,https://reference.wolfram.com/language/ref/Prime.html (更新于 2020 年).
CMS
Wolfram 语言. 1988. "Prime." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2020. https://reference.wolfram.com/language/ref/Prime.html.
APA
Wolfram 语言. (1988). Prime. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/Prime.html 年
BibTeX
@misc{reference.wolfram_2026_prime, author="Wolfram Research", title="{Prime}", year="2020", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/Prime.html}", note=[Accessed: 03-November-2026]}
BibLaTeX
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