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QRDecomposition

QRDecomposition[m]

数値行列 m についてQR分解を作成する．この結果はリスト{q,r}で，q はユニタリ行列，そして r は上三角行列となる．

詳細とオプション

もとの行列 m はConjugateTranspose[q].r と同値である． »
非正方行列に関しては，q は行直交行列である． »
行列 r は，主対角より下のすべての要素がゼロとなる． »
TargetStructure->"Structured"の設定のとき，QRDecomposition[m]は行列{q,r}を構造化行列として返す．
QRDecomposition[m,Pivoting->True]は，リスト{q,r,p}を作成する．p は m.p が ConjugateTranspose[q].r と等しくなるような置換行列である． »

例題

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例 (3)

2×2行列のユニタリ（直交）行列と上三角行列への分解：

であることを確認する：

厳密値の3×2行列のQR分解を計算する：

がもとの行列である：

近似値の2×3行列のQR分解を計算する：

がもとの行列である：

スコープ (11)

基本的な用法 (7)

機械精度行列のQR分解を求める：

結果をフォーマットする：

複素行列のQR分解：

QRDecompositionを厳密行列に使う：

任意精度行列のQR分解：

QRDecompositionを記号行列に使う：

大きい数値行列のQR分解は効率的に計算される：

非正方行列のQR分解：

特殊行列 (4)

疎な行列のQR分解を求める：

構造化行列のQR分解：

一貫した単位を持つQuantityArray構造化行列に使う：

行列は無次元である．行列に単位がある：

IdentityMatrixのQR分解は2つの恒等行列からなっている：

HilbertMatrixのQR分解：

オプション (4)

Pivoting (1)

ピボッティングを含む機械演算でQR分解を計算する：

rの対角に沿った要素は，大きさが徐々に小さくなっている：

行列pは順列行列である：

QRDecompositionはm.p==ConjugateTranspose[q].rを満足する：

TargetStructure (3)

矩形実行列：

TargetStructure->"Dense"のとき，QRDecompositionの結果は2つの密な行列のリストになる：

TargetStructure->"Structured"のとき，QRDecompositionの結果はOrthogonalMatrixとUpperTriangularMatrixを含むリストになる：

矩形実行列：

Pivoting->TrueおよびTargetStructure->"Structured"の設定のとき，QRDecompositionの結果は．OrthogonalMatrix，UpperTriangularMatrix，PermutationMatrixを含むリストになる：

矩形複素行列：

TargetStructure->"Dense"のとき，QRDecompositionの結果は2つの密な行列になる：

TargetStructure->"Structured"のとき，QRDecompositionの結果はUnitaryMatrixとUpperTriangularMatrixを含むリストになる：

アプリケーション (8)

QR分解の幾何学 (4)

次の行列の列空間の直交基底を求め，その基底を使ってのQR分解を求める：

の次元を計算する：

をの番目の列とし，を対応するグラム・シュミット(Gram–Schmidt)基底の番目の要素として定義する：

を行がの行列とする：

を要素が基底ベクトルに沿ったの成分である行列とする：

であることを確認する：

これはQRDecompositionが与える結果に等しい：

次の行列について，OrthogonalizeとQRDecompositionを使って求まったQR分解を比較する：

はOrthogonalizeをの列に適用した結果とする：

とは等しいとする：

であることを確認する：

これはQRDecompositionが与える結果に等しい：

次の行列について，OrthogonalizeとQRDecompositionを使って求まったQR分解を比較する：

はOrthogonalizeをの複素共役列に適用した結果とする：

とは等しいとする：

であることを確認する：

これは，QRDecompositionが与える結果と符号まで等しい：

アプリケーションによっては，が正方（かつユニタリ）行列でが入力行列と同じ次元である，いわゆる完全QR分解を計算すると便利なことがある．次の行列の完全QR分解を計算する：

線形独立の列は2列しかないので，とはそれぞれ2行しか持たない：

NullSpaceを使っての列のスパンの外にあるベクトルを求め，完全集合を直交化する：

次の行列はユニタリ行列である：

行列を0で充填してと同じ形にする：

これもまた有効なQR分解であることを確認する：

最小二乗と曲線のフィット (4)

次の行列とベクトルについて，QR分解を使ってを最小にするを求める：

の分解を計算する：

, なので正規方程式はとして再計算できる：

は（の列が線形独立であるために）可逆なので，解はである：

LeastSquaresを使って結果を確認する：

次の行列とベクトルについて，QR分解を使ってを解く：

のQR分解を計算すると，に線形独立の行があるので可逆なが与えられる：

最小二乗問題を解くかのようにとする：

の列が $TemplateBox[{}, Reals]^3$ にスパンするので，は方程式の解でなくてはならない：

QRDecompositionを使ってデータに最もフィットする曲線が求められる．次のデータについて考える：

との座標をデータから抽出する：

を最小化することが曲線をフィットすることになるように，が列とを持つとする：

の列は線形独立なので，線形最小二乗フィットの係数はである：

Fitを使って係数を確認する：

最適合曲線をデータに沿ってプロットする：

次のデータに最もフィットする放物線を求める：

との座標をデータから抽出する：

の最小化がへのフィットになるように．が列，，を持つとする：

の列は線形独立なので，最小二乗フィットの係数はである：

Fitを使って係数を確認する：

最適合曲線をデータとともにプロットする：

特性と関係 (10)

mは3×4行列である：

QR分解を計算する：

qの行は正規直交する：

rは上三角行列である：

mはConjugateTranspose[q].r に等しい：

が行列なら，行列には列，行列には列あることになる：

QRDecompositionはとがMatrixRank[m]行を持つ「薄い」分解を計算する：

m が実数値を持つ可逆行列なら，そのQR分解の行列は直交行列である：

m が可逆行列なら．そのQR分解の行列はユニタリ行列である：

a が行列で MatrixRank[a]==n なら，そのQR分解の行列はユニタリ行列である：

a が行列でMatrixRank[a]==m なら，そのQR分解の行列は可逆行列である：

さらに，PseudoInverse[a]==Inverse[r].q でもある：

Orthogonalizeを使ってQR分解が計算できる：

近似行列は，通常は，QRDecompositionで求まったものとは異なる：

LeastSquaresとQRDecompositionはどちらも最小二乗問題を解くために使うことができる：

のコレスキー(Cholesky)分解は QR分解と位相まで一致する：

CholeskyDecomposition[ConjugateTranspose[m].]m を計算する：

のQR分解を求める：

は各行の位相の選択を除いてと等しい：

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