求机器精度矩阵的 QR 分解：

格式化结果：

复矩阵的 QR 分解：

对精确矩阵使用 QRDecomposition：

任意精度矩阵的 QR 分解：

对符号矩阵使用 QRDecomposition：

高效计算大型数值矩阵的 QR 分解：

非方阵的 QR 分解：

求稀疏矩阵的 QR 分解：

结构化矩阵的 QR 分解：

与具有一致单位的 QuantityArray 结构化矩阵一起使用：

矩阵是无量纲的； 矩阵获取单位：

IdentityMatrix 的 QR 分解由两个单位矩阵组成：

HilbertMatrix 的 QR 分解：

用机器算法旋转的 QR 分解：

沿着 r 的对角线的元素按数量级递减的顺序排列：

该矩阵 p 是一个置换矩阵：

QRDecomposition 满足 m.p==ConjugateTranspose[q].r：

实矩形矩阵：

设置 TargetStructure->"Dense"，则 QRDecomposition 的结果是两个稠密矩阵的列表：

设置 TargetStructure->"Structured"，则 QRDecomposition 的结果是包含一个 OrthogonalMatrix 和一个 UpperTriangularMatrix 的列表：

实矩形矩阵：

设置 Pivoting->True 且 TargetStructure->"Structured"，则 QRDecomposition 的结果是包含一个 OrthogonalMatrix、一个 UpperTriangularMatrix 和一个 PermutationMatrix 的列表：

复矩形矩阵：

设置 TargetStructure->"Dense"，则 QRDecomposition 的结果是两个稠密矩阵的列表：

设置 TargetStructure->"Structured"，则 QRDecomposition 的结果是包含一个 UnitaryMatrix 和一个 UpperTriangularMatrix 的列表：

找到以下矩阵 的列空间的正交基，然后使用该基找到 的 QR 分解：

计算 的维度：

将 定义为 的第 列，将 定义为对应 Gram–Schmidt 基的第 个元素：

令 为其行为 的矩阵：

令 为其元素是沿 基向量的 的分量的矩阵：

验证 ：

这与 QRDecomposition 给出的结果一样：

比较使用 Orthogonalize 和 QRDecomposition 为以下矩阵 找到的 QR 分解：

令 是对 的列应用 Orthogonalize 的结果：

令 等于 ：

验证 ：

这与 QRDecomposition 给出的结果一样：

比较对下列矩阵 使用 Orthogonalize 和 QRDecomposition 计算得到的 QR 分解：

令 是对 的复共轭列应用 Orthogonalize 的结果：

令 等于 ：

验证 ：

这与 QRDecomposition 给出的结果相同：

对于某些应用，可计算所谓的完整 QR 分解，其中 是方阵（因此是酉矩阵）并且 具有与输入矩阵相同的维度. 计算以下矩阵 的完整 QR 分解：

只有两个线性独立的列，所以 和 分别只有两行：

使用 NullSpace 求出 的行张成空间之外的向量，然后正交化完整集：

矩阵为酉矩阵：

只需用零填充 矩阵，使其形状与 相同：

验证这也是一个有效的 QR 分解：

对于以下矩阵 和向量 ，使用 QR 分解找到最小化 的 ：

计算 的分解：

由于 ，，因此正规方程 可被重算为 ：

由于 是可逆的（因为 的列是线性无关的），所以解是 ：

使用 LeastSquares 验证结果：

使用 QR 分解求解以下矩阵 和向量 的方程 ：

计算 的 QR 分解，给出可逆的 ，因为 具有线性独立的行：

像求解最小二乘问题一样令 ：

由于 的列张成空间 ， 必须是方程的解：

QRDecomposition 可用于找到数据的最佳拟合曲线. 思考以下数据：

从数据中提取 和 坐标：

令 有 和 列，这样最小化 将拟合于 直线：

由于 的列是线性独立的，因此线性最小二乘拟合的系数为 ：

使用 Fit 验证系数：

绘制最佳拟合曲线和数据：

求出以下数据的最佳拟合抛物线：

从数据中提取 和 坐标：

令 有 、 和 列，这样最小化 将会拟合 ：

由于 的列线性独立，因此最小二乘拟合的系数为 ：

使用 Fit 验证系数：

绘制最佳拟合曲线和数据：