为具有质量 和势能 的粒子指定一个偏微分方程算子：

为具有质量 、势能 和约化普朗克常数 的粒子指定一个偏微分方程算子：

定义一个具有约化普朗克常数 、谐振势 和质量 的哈密顿算符：

求细化网格上的前 10 个最小特征值和特征函数：

可视化按约化普朗克常数缩放以及按相应特征值偏移的特征函数：

用数值指定质量为 且势能为 的粒子：

计算与时间无关的薛定谔偏微分方程算子的特征系统，普朗克常数为 1，质量为 1，势能为 ：

可视化特征函数并标记特征值：

找到具有约化普朗克常数 和分段势能的 10 个最小特征值和特征函数，其中对于 的负值，分段势能为 ，对于 的正值，分段势能为 .

定义偏微分方程算子：

绘制势能：

求细化网格上 10 个最小的特征值和特征函数：

看一下能量特征值：

可视化按 缩放并按相应特征值偏移的特征函数：

描述一个被限制在半径为 的二维圆盘内的粒子，假设具有围绕通过圆盘中心的轴对称性. 假设粒子的波函数不依赖于极坐标.

建立一个轴对称的薛定谔偏微分方程算子，普朗克常数为 ：

设置圆盘半径：

区域外的势能是无穷大，则波函数在边界处消失.

定义狄利克雷边界条件：

求解特征值问题：

可视化概率密度：

考虑一个模型，其中波函数可以通过以下方式分离：，其中 、 和 分别是圆柱坐标系中的径向、方位角和高度坐标. 这里， 是方位角量子数.

这个特定示例考虑了一个被限制在具有无限势壁的环面内的粒子. 鉴于这些考虑，只需求解环面横截面中的 即可.

定义环面的主半径：

定义小半径为 的区域：

将网格可视化为它所代表的圆环横截面：

定义边界条件，使波函数在环面边界处消失：

创建一个辅助函数，使用偏微分方程算子找到不同方位角量子数值的六个特征态，假设在一个简化模型中， 且 ，粒子在环面内的势能 ：

可以探索不同方位角量子数值下能级如何变化. 为了举例说明这一点，计算 0 到 5 之间的 的能量.

计算 0 到 5 之间每个 值的能量特征值：

将能量特征值绘制为方位角量子数的函数：

观察到随着 增大，能级呈非线性增长. 此外，可以注意到基态是非简并的，而第二和第三能级以及第四和第五能级是二重简并的.

要探究方位量子数对波函数的影响，可以绘制总波函数 的实部和虚部的图形. 为此，您可以选择任何 值，例如 .

计算能量和依赖于 和 的波函数部分：

绘制波函数 的实部和虚部：

现在绘制相同f 值的概率密度：

正如预期的那样，概率密度与坐标 无关.

可以研究量子弹球系统，特别是一个被限制在二维布尼莫维奇体育场内的粒子.

定义区域并将其可视化：

离散化区域：

生成没有势能的薛定谔算符：

由于区域外的势能是无穷大，波函数在边界处消失.

定义边界条件：

求前 100 个本征态：

可视化能级：

绘制不同状态的波函数：

设置具有约化普朗克常数的时间相关薛定谔偏微分方程算子：

以高斯函数作为初始设置，求解方程：

将 Animate 应用于解：

设置一个非线性的时间相关薛定谔偏微分方程算子：

定义边界和初始条件：

计算解：

绘制解的绝对值：

建立一个带有谐振势的时间相关薛定谔偏微分方程算子：

以相干态作为初始设置求解方程：

将势能缩小 ，用 Animate 来绘制概率密度的动画：

建立一个带有约化普朗克常数和高斯势能 的时间相关薛定谔偏微分方程算子：

指定具有正动量的波包的初始条件：

将其与势能一起可视化，其中势能按 因子缩小以适合绘图：

使用细化网格求解方程：

可视化解，其中垂直轴和水平轴分别表示时间 和位置 ：

注意，在大约 , 时，波包撞击墙壁并被反射.

用动画可视化解：

定义自由粒子的算符：

定义一个定义双缝的区域并将其可视化：

将初始条件设置为波包：

可视化初始条件：

求解偏微分方程：

可视化解：

可以对指向 方向的磁场中的无自旋带电粒子进行建模. 粒子由初始波包描述，目标是研究磁场相互作用下概率密度的演化. 由于这是磁场中的带电粒子，因此可以预期其概率密度反映某种圆形轨迹，类似于经典带电粒子的行为. 因此，选择了非常高的磁通密度，使得回旋加速器半径达到埃的数量级.

分别设置约化普朗克常数、粒子质量、磁通密度和粒子电荷：

定义一个常数 来测量时间，单位为飞秒：

粒子的初始条件将由动量为 的波包来描述，这意味着如果没有磁场相互作用，它将沿直线移动.

定义 ，单位为 ：

选择磁通密度以具有以埃为数量级的回旋半径.

计算粒子的回旋半径：

可以选择磁矢量势，使得 ：

工作区域被定义为矩形 .

定义区域：

由于长度单位为 Angstroms ()，定义 PDE 算符时需要考虑到这一点. 因此， "ScaleUnits" -> {"Meters" -> "Angstroms"} 被用在 SchrodingerPDEComponent 的参数中.

定义一个薛定谔偏微分方程算子，假设磁矢量势为库仑规范：

设定初始条件：

更改边界条件中使用的 单位：

使用 NeumannValue 求解透明边界条件的问题：

制作解的动画：

作为 Aharonov–Bohm 效应的演示，我们对在磁矢量势的影响下穿过两个狭缝的波包的散射过程进行了建模. 请注意，整个求解域的磁通密度为零，但磁矢量势却不然.

例如，域由两个狭缝和一个小孔定义，表示一个长螺线管，在其内部产生磁通密度，进而在整个域的其余部分产生磁矢量势场. 请注意，波函数不能与磁通密度非零的区域相互作用.

设置该域：

定义变量和参数，质量为非各向同性的，其值为有重空穴 (heavy hole) 的 （一种常见的半导体材料）的有效质量. 此处，"MagneticVectorPotential" 是磁通密度为 ，半径为的 的螺线管的参数，被转换为直角坐标.

定义变量和参数：

设置 PDE：

求解 PDE：

以动画方式呈现概率密度的演化：

请注意与没有磁场的情况相比，干涉图案是如何移动的，并且是不对称的.

为质量为 且势能为 且具有约化普朗克常数 的粒子指定算子：

激活该项：

当参数带有单位时，它们会自动转换为国际单位制基本单位.

使用电子质量和约化普朗克常数 来定义薛定谔偏微分方程算子：

检查各单位制之间扩散系数的差异. 计算普朗克常数除以电子质量：

将结果转换为国际单位制基本单位：

下面的例子将显示在内部接口处自动应用 BenDaniel–Duke 边界条件.

考虑一个量子阱，宽度为 ​，具有有限势 ​，波函数为 . 阱内粒子的质量为 ​，势垒区域中粒子的质量为 ​. 因此，质量是位置 的函数. 量 和 在势垒和阱相接的地方应该是连续的，在相接处应用 BenDaniel–Duke 边界条件. 事实上，将在相接处自动应用 BenDaniel–Duke 边界条件.

定义参数：

注意，阱域的长度 单位是埃. 为了定义 PDE 算符，我们使用参数 "ScaleUnits"->{"Meters"->"Angstroms"}. 这会对模型其余的量进行转换，使得所有长度的单位都为埃. 这样也提高了数值解的质量.

定义模型的参数：

定义 PDE 算符：

从物理上讲，对于无穷远处的所有束缚态，波函数应该衰减直至变为 . 一种实用的建模方法是在外部边界处使用 的狄利克雷边界条件，该边界条件被放置在距量子阱中心足够远的地方. 在这种情况下， 是非常合适的选择.​

定义狄利克雷边界条件：

用 NDEigensystem 在细化网格上求解特征值问题：

绘制波函数：

特征值的单位是 ，鉴于单位米在参数中缩放为埃. 知道这一点后，特征值就可以转换为所需的能量单位.

用正确的单位重新定义能量特征值：

最后，可以比较用数值法和解析法所求得的能量特征值和概率密度.

定义用解析法求特征值的代码：

定义用解析法求解波函数的代码：

绘制用数值法和解析法所求得的概率密度：

比较数值解和解析解之间的差异：

以上表明，当采用 BenDaniel–Duke 边界条件时，NDEigensystem 给出的能量特征值在数值上与薛定谔方程的解析解相同. 此外，NDEigensystem 得到的波函数与解析解等效. 之所以如此，是因为数值法确保了波函数 和量 的连续性.

对于 "Axisymmetric" 的情况，质量必须是各向同性的：

将量子阱的势能能量定义为分段函数：

对于简化的薛定谔偏微分方程算子，设置变量和参数，质量和约化普朗克常数等于 ：

使用 NDEigensystem 求解一维中与时间无关的薛定谔方程. 这个可视化的目的是看看势垒高度和势阱长度对本征态的影响. 你可以观察到增加势阱的长度会降低每个波函数的能量，而增加势垒高度会导致更高能量的本征值.

定义一个函数，来计算任何给定势垒高度、势阱宽度和本征态数量的本征态：

设置 Manipulate：