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SingularValueList

SingularValueList[m]

给出一个矩阵 m 的非零奇异值列表.

SingularValueList[{m,a}]

给出 m 关于 a 的广义奇异值.

SingularValueList[m,k]

给出 m 的 k 个最大的奇异值.

SingularValueList[{m,a},k]

给出 m 的 k 个最大的广义奇异值.

更多信息和选项

奇异值从最大到最小排序.
奇异值的多样性导致了奇异值的重复.
在默认情况下，当奇异值大于10^-p 的100倍时，它们会保留，其中p 是 Precision[m].
SingularValueList[m,Tolerance->t] 只有当大于至少 t 倍的最大奇异值时才保留.
SingularValueList[m,Tolerance->0] 返回所有的奇异值.
m 可以是矩形矩阵；全部奇异值的数目通常是 Min[Dimensions[m]].
可以使用默认零误差的精确符号矩阵.
奇异值可以从 Sqrt[Eigenvalues[ConjugateTranspose[m].m]] 获得.

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例 (2)

计算一个可逆矩阵的奇异值：

计算奇异矩阵的非零奇异值：

只有两个而非三个值，因为这是矩阵的秩：

范围 (19)

基本用法 (7)

求机器精度矩阵的非零奇异值：

复矩阵的奇异值：

精确矩阵的奇异值：

任意精度矩阵的奇异值：

符号矩阵的奇异值：

高效计算大型数值矩阵的奇异值：

非方阵的奇异值：

奇异值的子集 (5)

求三个最大的奇异值：

以及三个最小的奇异值：

求四个最大的奇异值，包括零值，或者尽可能多的奇异值（如果数量不够的话）：

计算最小奇异值时把零值奇异值：

重复的奇异值多次列出：

当提取奇异值的子集时，单独计算重复的奇异值：

广义奇异值 (3)

广义机器精度奇异值：

求两个最小的广义奇异值：

求机器精度复矩阵的广义奇异值：

特殊矩阵 (4)

稀疏矩阵的奇异值：

求三个最大的奇异值：

结构化矩阵的奇异值：

使用不同结构：

带有单位的奇异值：

IdentityMatrix 总有全为 1 的奇异值：

HilbertMatrix 的奇异值：

选项 (2)

Tolerance (2)

计算大于最大奇异值的的奇异值：

设置 Tolerance 为，将直接计算奇异值的相同集：

m 是一个 16×16希尔伯特（Hilbert) 矩阵：

矩阵是正定的，有精确的算法，并带有16个非零奇异值：

大多数奇异值太小以致于不能以机器精度显示：

设置公差为0，则将全部显示出来：

因为数值误差，没有准确的计算值：

应用 (4)

为以下矩阵求的最大值：

最大值等于的最大奇异值：

使用 MaxValue 验证结果：

为以下矩阵求服从的的最小值：

因为矩阵的行数至少与列数一样多，所以最小值是的最小奇异值：

使用 MinValue 验证结果：

矩阵的算子范数，也称为谱范数或二范数，定义为的最大值，其中约束条件为 . 求以下的算子范数：

的最大值，因此是范数，是的最大奇异值：

使用 Norm 验证结果：

使用的奇异值计算其范数、的范数和矩阵的条件数：

求的奇异值：

矩阵的二范数等于最大奇异值：

逆矩阵的二范数等于最小奇异值的倒数：

使用 Norm 进行验证：

条件数是，因此等于最大奇异值与最小奇异值之比：

属性和关系 (11)

的非零奇异值是的非零特征值的平方根：

同样，它们是的非零特征值的平方根：

的完整奇异值集是或的特征值的平方根：

应使用生成较小方阵的乘积，在本例中为：

生成较大方阵的阶具有额外的零特征值：

m 和 ConjugateTranspose[m] 有相同的奇异值：

方阵 m 的奇异值的乘积等于 Abs[Det[m]]：

对于正规矩阵 n，奇异值等于 Abs[Eigenvalues[n]]：

MatrixRank[m] 等于非零奇异值的数量：

的奇异值是顺序相反的奇异值的倒数：

对于 m 的子矩阵 s，m 的最大奇异值大于或等于 s 的奇异值：

到的广义奇异值等于到的广义特征值的根：

与普通奇异值不同，其与到的广义特征值无关：

关于（其中具有独立列）的最大奇异值是 $max_(TemplateBox[{x}, Norm]=1)TemplateBox[{{m, ., x}}, Norm]/TemplateBox[{{a, ., x}}, Norm]$ ：

调用给出最大的输入：

第二个奇异值是比值的最大值，其约束条件为与为 -正交：

通过要求与所有前面的输入 -正交，可以找到每个后续奇异值：

关于的广义奇异值不同于关于的广义奇异值：

可能存在的问题 (1)

s是一个大型的稀疏矩阵：

采用线性代数计算所有的奇异值，这会让人望而却步：

少量的计算会更快些：

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