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TruncateSum[sexpr,n]

对 sexpr 中的 Sum 进行截断，最多包含 n 项.

TruncateSum[sexpr,{m,n,…}]

对 sexpr 中的多个 Sum 进行截断，使用迭代指定 {m,n,…}.

更多信息和选项
Details and Options Details and Options
范例  
基本范例  
范围  
基本用法  
有限和  
无限和  
多项和  
处于未激活状态的和  
选项  
WorkingPrecision  
ActivateResult  
应用  
微分方程  
差分方程  
渐近  
逆拉普拉斯变换  
属性和关系  
可能存在的问题  
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相关指南
历史
按以下格式引用：

TruncateSum

TruncateSum[sexpr,n]

对 sexpr 中的 Sum 进行截断，最多包含 n 项.

TruncateSum[sexpr,{m,n,…}]

对 sexpr 中的多个 Sum 进行截断，使用迭代指定 {m,n,…}.

更多信息和选项

  • TruncateSum 通常用于将涉及无限和的符号解截断为有限和，从而可以轻松地对此类近似进行数值计算.
  • 和表达式 sexpr 可由未计算的和与 Inactive 和进行任意组合而形成.
  • TruncateSum 将根据以下条件对大型正的或负的求和极限进行截断：
  • , if
    , if
  • 可给出以下选项：
  • ActivateResult True是否 Activate 结果
    WorkingPrecision Automatic内部计算使用的精度

范例

打开所有单元 关闭所有单元

基本范例  (2)

将无限和截断为其前 12 项：

Wolfram Language code: TruncateSum[Sum[f[i], {i, 1, ∞}], 12]

截断处于非激活状态的和：

Wolfram Language code: expr = Inactive[Sum][1 / x^i, {i, 1, ∞}]
Wolfram Language code: TruncateSum[expr, 5]

不要激活处于非激活状态的和：

Wolfram Language code: TruncateSum[Inactive[Sum][x^(-i), {i, 1, Infinity}], 5, ActivateResult -> False]

激活结果：

Wolfram Language code: Activate[%]

范围  (13)

基本用法  (3)

将无限和截断为其前 10 项：

Wolfram Language code: expr = Sum[Sin[x^i], {i, 1, Infinity}]
Wolfram Language code: TruncateSum[expr, 10]

将无限和截断为具有符号上限的和：

Wolfram Language code: expr = Inactive[Sum][Exp[-Sin[x]], {x, 1, Infinity}]
Wolfram Language code: TruncateSum[expr, m]

对于未计算的和，TruncateSum 直接计算截断的和：

Wolfram Language code: expr = Sum[Cos[i], {i, 3, Infinity}]
Wolfram Language code: TruncateSum[expr, 7]

有限和  (3)

截断有限和：

Wolfram Language code: TruncateSum[Inactive[Sum][Tanh[x]^i, {i, 1, 1000}], 5]

截断有符号上限的和：

Wolfram Language code: expr = Sum[Sin[x^i], {i, 1, n}]
Wolfram Language code: TruncateSum[expr, 10]

截断有对称上限和下限的和：

Wolfram Language code: expr = Inactive[Sum][(-x)^n, {n, -100, 100}];
Wolfram Language code: TruncateSum[expr, 10, ActivateResult -> False]

无限和  (4)

截断无限和：

Wolfram Language code: expr = Sum[1 / n, {n, 1, Infinity}]
Wolfram Language code: TruncateSum[expr, 14]

截断上下限皆为无穷的和：

Wolfram Language code: TruncateSum[Inactive[Sum][Sin[x^i], {i, -Infinity, Infinity}], 10, ActivateResult -> False]
Wolfram Language code: Activate[%]

截断下限为 –∞ 的和：

Wolfram Language code: TruncateSum[Inactive[Sum][Cos[n + x], {n, -Infinity, 0}], 5]

截断有无限和系数的多项式：

Wolfram Language code: pol = x^2 Inactive[Sum][Sin[i], {i, 1, Infinity}] + x Inactive[Sum][Cos[j], {j, 1, Infinity}] + Inactive[Sum][E^(-k), {k, 1, Infinity}];
Wolfram Language code: N[TruncateSum[pol, 4]]

多项和  (2)

截断双无限和：

Wolfram Language code: expr = Inactive[Sum][Sin[i*j], {i, 1, Infinity}, {j, 1, Infinity}];
Wolfram Language code: TruncateSum[expr, 5]

指定每个和最多包含多少项：

Wolfram Language code: TruncateSum[expr, {3, 4}]

只对第一个和进行截断：

Wolfram Language code: TruncateSum[expr, {4, All}]

只对第二个和进行截断：

Wolfram Language code: TruncateSum[expr, {All, 4}]

截断两个和：

Wolfram Language code: dsum = Underoverscript[∑, i = 1, ∞]Underoverscript[∑, j = 1, 10](i^2 + j^3);
Wolfram Language code: TruncateSum[dsum, 5]

指定每个和最多包含多少项：

Wolfram Language code: TruncateSum[dsum, {3, 4}]

处于未激活状态的和  (1)

对于未激活的和，TruncateSum 尝试计算截断和：

Wolfram Language code: expr = Inactive[Sum][i^2, {i, 1, Infinity}]
Wolfram Language code: TruncateSum[expr, n]

用 ActivateResultFalse 避免激活处于未激活状态的和：

Wolfram Language code: TruncateSum[expr, n, ActivateResult -> False]

激活结果：

Wolfram Language code: Activate[%]

选项  (2)

WorkingPrecision  (1)

截断两个和：

Wolfram Language code: sum = Sum[x Cos[x y], {x, 1, Infinity}, {y, 1, 10}]
Wolfram Language code: TruncateSum[sum, 10]//N

使用 20 位精度的算术计算截断和：

Wolfram Language code: TruncateSum[sum, 10, WorkingPrecision -> 20]

ActivateResult  (1)

Truncate an Inactive sum:

Wolfram Language code: expr = Inactive[Sum][i^2, {i, 1, Infinity}]
Wolfram Language code: TruncateSum[expr, n]

Use ActivateResult→False to avoid activating the truncated sum:

Wolfram Language code: TruncateSum[expr, n, ActivateResult -> False]

应用  (10)

微分方程  (4)

求解有限区间上波动方程的狄利克雷问题：

Wolfram Language code: weqn = D[u[x, t], {t, 2}] == D[u[x, t], {x, 2}]; ic = {u[x, 0] == x ^ 2(Pi - x), Derivative[0, 1][u][x, 0] == 0}; bc = {u[0, t] == 0, u[Pi, t] == 0};

解是一个无穷三角级数：

Wolfram Language code: sol = DSolveValue[{weqn, ic, bc}, u[x, t], {x, t}]

从 Inactive 和中提取前三项：

Wolfram Language code: asol = TruncateSum[sol, 3]
Wolfram Language code: Plot3D[asol, {x, 0, Pi}, {t, 0, 4Pi}, ColorFunction -> Hue]

求解矩形内波动方程的狄利克雷问题：

Wolfram Language code: weqn = D[u[x, y, t], {t, 2}] == Laplacian[u[x, y, t], {x, y}];
Wolfram Language code: ic = {u[x, y, 0] == (1 / 10)(x - x ^ 2)(2y - y ^ 2), Derivative[0, 0, 1][u][x, y, 0] == 0};
Wolfram Language code: bc = {u[x, 0, t] == 0, u[0, y, t] == 0, u[1, y, t] == 0, u[x, 2, t] == 0};

解是一个双无穷三角级数：

Wolfram Language code: (sol = FullSimplify[DSolveValue[{weqn, ic, bc}, u[x, y, t], {x, y, t}], K[1]∈Integers && K[3]∈Integers && K[1] ≥ 1 && K[3] ≥ 1])//TraditionalForm

从 Inactive 和中提取前几项：

Wolfram Language code: h[x_, y_, t_] = TruncateSum[sol, 5]
Wolfram Language code: Animate[Plot3D[h[x, y, t], {x, 0, 1}, {y, 0, 2}, Ticks -> False, PlotRange -> {-1 / 36, 1 / 36}, MeshStyle -> Red, PerformanceGoal -> "Quality"], {t, 0, 8}, SaveDefinitions -> True, DefaultDuration -> 12, AnimationRepetitions -> 1]

求解有限区间上热方程的狄利克雷问题：

Wolfram Language code: heqn = D[u[x, t], t] == D[u[x, t], {x, 2}]; ic = u[x, 0] == x(3 - x) ^ 2; bc = {u[0, t] == 0, u[3, t] == 0};

解是傅立叶正弦级数：

Wolfram Language code: sol = DSolveValue[{heqn, ic, bc }, u[x, t], {x, t}]

截断 Inactive 和：

Wolfram Language code: asol = TruncateSum[sol, 3]
Wolfram Language code: Plot3D[asol//Evaluate, {x, 0, 3}, {t, 0, 3 / 2}, Exclusions -> None, PlotRange -> All]

求解具有狄利克雷边界条件的薛定谔方程的初值问题：

Wolfram Language code: eqn = I D[ψ[x, t], t] == -2 D[ψ[x, t], {x, 2}]; f[x_] := -350 + 155 x - 22 x^2 + x^3 sol = DSolveValue[{eqn, ψ[5, t] == 0, ψ[10, t] == 0, ψ[x, 2] == f[x]}, ψ, {x, t}]

定义解的一族部分和：

Wolfram Language code: u[k_Integer] = TruncateSum[sol, k]

对于每个 k，uk 满足微分方程：

Wolfram Language code: Table[eqn /. ψ -> u[k], {k, 4}]//Simplify

也满足边界条件：

Wolfram Language code: Table[{u[k][5, t] == 0, u[k][10, t] == 0}, {k, 4}]

只有 u∞ 的情况下满足初始条件，但在 t==2 时快速收敛：

Wolfram Language code: Grid@Partition[Table[Plot[{u[k][x, 2], f[x]}, {x, 5, 10}, ImageSize -> 200], {k, 4}], 2]

差分方程  (1)

求解差分方程：

Wolfram Language code: sol = RSolveValue[y[k + 1] - y[k] == Sin[k^2], y[k], k]

提取 时的解：

Wolfram Language code: TruncateSum[sol, 10]

渐近  (3)

计算 在 0 附近的幂级数展开式：

Wolfram Language code: pse = Asymptotic[Sin[x], {x, 0, Infinity}]

获取级数中的前七个非零项：

Wolfram Language code: TruncateSum[pse, 7]

计算 在 1 附近的幂级数展开式：

Wolfram Language code: Asymptotic[E ^ x, {x, 1, Infinity}]

获取级数中的前五项：

Wolfram Language code: TruncateSum[%, 5]

截断 Hypergeometric1F1 函数的级数：

Wolfram Language code: h1f1[a_, b_, z_] = Inactive[Sum][(Pochhammer[a, i]z^i/Pochhammer[b, i]i!), {i, 0, Infinity}]
Wolfram Language code: f[a_, b_, z_, n_] = TruncateSum[h1f1[a, b, z], n + 1]

与内置的 Hypergeometric1F1 函数相比较：

Wolfram Language code: Table[(Hypergeometric1F1[a, b, z] - f[a, b, z, n]) /. {a -> 1.1, b -> 1.2, z -> 2.3}, {n, 5, 20, 5}]
Wolfram Language code: Plot[{Hypergeometric1F1[-1.1, 2, z], f[-1.1, 2, z, 5], f[-1.1, 2, z, 10], f[-1.1, 2, z, 15]}, {z, 0, 17}, PlotLegends -> {"Exact", "n=5", "n=10", "n=15"}]

逆拉普拉斯变换  (2)

计算函数的逆拉普拉斯变换：

Wolfram Language code: ilt = InverseLaplaceTransform[1 / (s Sinh[3 s] Sinh[5 s]), s, t]

截断和并绘制结果：

Wolfram Language code: Plot[TruncateSum[ilt, 45], {t, 0, 60}]

以下函数的逆拉普拉斯变换是分段函数：

Wolfram Language code: ilt = InverseLaplaceTransform[((Exp[s] - 1) Sin[π / 5]) / (s (Exp[2 s] - 2 Exp[s] Cos[π / 5] + 1)), s, t]

截断并绘制结果：

Wolfram Language code: Plot[TruncateSum[ilt, 6], {t, 0, 15}]

属性和关系  (4)

TruncateSum[expr,n] 将表达式中的每个和截断为最多包含 n 项：

Wolfram Language code: TruncateSum[Underoverscript[∑, i = 1, ∞]f[i] + Underoverscript[∑, j = 1, ∞]g[j], 4]

TruncateSum 截断双无限和的两个极限：

Wolfram Language code: TruncateSum[Underoverscript[∑, i = -∞, ∞]f[i], 4]

TruncateSum 只将和的下限从 –∞ 截断为有限值：

Wolfram Language code: TruncateSum[Underoverscript[∑, i = -∞, 0]f[i], 4]

TruncateSum 激活表达式中所有处于未激活状态的和：

Wolfram Language code: expr = Inactive[Sum][f[i], {i, 1, 100}]
Wolfram Language code: TruncateSum[expr, 5]

ActivateResult False 可用于避免激活：

Wolfram Language code: TruncateSum[expr, 5, ActivateResult -> False]

可能存在的问题  (1)

假定截断和中的项数为整数：

Wolfram Language code: TruncateSum[Inactive[Sum][x^(-i), {i, 1, Infinity}], 10.5]
Wolfram Language code: TruncateSum[Inactive[Sum][x^(-i), {i, 1, Infinity}], 10]
Wolfram Research (2024)，TruncateSum，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/TruncateSum.html.

文本

Wolfram Research (2024)，TruncateSum，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/TruncateSum.html.

CMS

Wolfram 语言. 2024. "TruncateSum." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/TruncateSum.html.

APA

Wolfram 语言. (2024). TruncateSum. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/TruncateSum.html 年

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2026_truncatesum, author="Wolfram Research", title="{TruncateSum}", year="2024", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/TruncateSum.html}", note=[Accessed: 02-November-2026]}

BibLaTeX

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