AsymptoticEquivalent

AsymptoticEquivalent[f,g,xx^*]

xx^*のときにとなる条件を与える．

AsymptoticEquivalent[f,g,{x₁,…,x_n}{,…,}]

{x₁,…,x_n}{,…,}のときにとなる条件を与える．

詳細とオプション

「漸近的に等価」は，f は g に漸近する，あるいは，f は g と漸近的に等価である，としても表現される．点 x^*はコンテキストから推測されることが多い．
「漸近的に等価」は同値関係で，であるすべての定数について，x が x^*の近くにあるときにであることを意味する．これは，AsymptoticEqualよりもきめ細かい同値関係である．
点の近くの関数や級数の単純な表現のため，また，方程式の漸近解のためにしばしば用いられる．
有限極限点の x^*および{,…,}については以下のようになる．

	AsymptoticEquivalent[f[x],g[x],xx^*]	すべてのについて， $0<TemplateBox[{{x, -, {x, ^, }}}, Abs]<delta(c,x^)$ がを意味するが存在する
	AsymptoticEquivalent[f[x₁,…,x_n],g[x₁,…,x_n],{x₁,…,x_n}{,…,}]	すべてのについて， $0<TemplateBox[{{{, {{{x, _, 1}, -, {x, _, {(, 1, )}, ^, }}, ,, ..., ,, {{x, _, n}, -, {x, _, {(, n, )}, ^, }}}, }}}, Norm]<delta(epsilon,x^*)$ が $TemplateBox[{{{f, (, {{x, _, 1}, ,, ..., ,, {x, _, n}}, )}, -, {g, (, {{x, _, 1}, ,, ..., ,, {x, _, n}}, )}}}, Abs]<=cTemplateBox[{{g, (, x, )}}, Abs]$ を意味するが存在する

無限極限点については以下のようになる．

	AsymptoticEquivalent[f[x],g[x],x∞]	すべてのについて，がを意味するが存在する
	AsymptoticEquivalent[f[x₁,…,x_n],g[x₁,…,x_n],{x₁,…,x_n}{∞,…,∞}]	すべてのについて，が $TemplateBox[{{{{f, (, {{x, _, 1}, ,, ..., ,, {x, _, n}}, )}, /, {g, (, {{x, _, 1}, ,, ..., ,, {x, _, n}}, )}}, -, 1}}, Abs]<=c$ を意味するが存在する

g[x]が x^*付近に0の無限集合を持たない場合，AsymptoticEquivalent[f[x],g[x],xx^*]は，Limit[f[x]/g[x],xx^*]1のときかつそのときに限り存在する．
次は，使用可能なオプションである．

Assumptions	$Assumptions	パラメータについての仮定
Direction	Reals	極限点に近付く方向
GenerateConditions	Automatic	パラメータについての条件を生成する
Method	Automatic	使用するメソッド
PerformanceGoal	"Quality"	何を最適化するか

次は，Directionの可能な設定である．

	Reals または "TwoSided"	両実数方向から
	"FromAbove" または -1	上，つまり大きい値から
	"FromBelow" または +1	下，つまり小さい値から
	Complexes	すべての複素方向から
	Exp[ θ]	の方向
	{dir₁,…,dir_n}	変数 x_iに方向 dir_iを使う

x^*におけるDirectionExp[ θ]は，曲線の接線が極限点 x^*に近付く方向を示す．

次は，GenerateConditionsの可能な設定である．
Automatic 一般的ではない条件のみ

True すべての条件

False 条件なし

None 条件が必要な場合には未評価で返す
PerformanceGoalの可能な設定には，$PerformanceGoal，"Quality"，"Speed"がある．"Quality"設定のとき，Limitはより多くの問題を解いたりより簡単な結果を与えたりすることが多いが，より多くの時間とメモリが必要になる可能性がある．

例題

すべて開くすべて閉じる

例 (2)

のときにであることを検証する：

のときにに近付く関数の比：

のときにであることを検証する：

とが徐々に大きくなるときに，に近付く関数の比：

スコープ (10)

厳密には正ではない関数を比較する：

がと同じ割合，同じスケールで，原点で発散することを示す：

答は明示的なTrueまたはFalseではなく，ブール式かもしれない：

パラメータを含む関数を比較する場合は，結果についての条件が生成されることがある：

デフォルトで，関数の両側比較が行われる：

のより大きい値を比較する場合は，は $x^2(1-cos(x)) TemplateBox[{{x}}, UnitStepSeq]$ と同じ割合で消失する：

この関係は，のより小さい値については成り立たない：

2つの関数の比を，上から1に近付くところは表示するが下から近付くところは表示せずに可視化する：

Sqrtのような関数は，負の実数に沿って両方の実数方向で同じ関係があるかもしれない：

複素平面で上から近付く場合には，同じ関係が見られる：

しかし，複素平面で下から近付く場合は異なる結果になる：

これは，軸が交差するときにSqrtの虚部の符号が逆になるところで分枝切断されているためである：

したがって，この関係は，一般に，複素平面では成り立たない：

近似的等価を定義する数量が，4つの主に複素方向から近付く場合を可視化する：

多変量関数を比較する：

2つの関数のノルムを可視化する：

多変量関数を無限大で比較する：

多変量関数を比較する際にパラメータを使用する：

オプション (9)

Assumptions (1)

Assumptionsを使ってパラメータについての条件を指定する：

仮定が異なると結果も異なるかもしれない：

Direction (5)

下から等価：

あるいは：

上から等価：

あるいは：

区分ごとの不連続点における等価性：

片方の方向でうまくいかないので，両方からもうまくいかない：

2関数とその比を可視化する：

極における等価性は接近方向とは無関係である：

分枝切断線における等価性：

異なる象限から近付く際の，等価性を判定する：

第1象限から原点に近付く：

同様に：

第2象限から原点に近付く：

右半平面から原点に近付く：

下半平面から原点に近付く：

関数の比を可視化する：

GenerateConditions (3)

条件を述べずに結果を返す：

この結果は n>0のときにのみ有効である：

結果がパラメータの値に依存するときは，未評価で返される：

デフォルトで，一意的な結果を返す条件が生成される：

デフォルトで，特殊な値でしか結果が無効にならない場合は，条件は生成されない：

GenerateConditions->Trueのときは，これらの一般的ではない条件も報告される：

アプリケーション (12)

基本的なアプリケーション (5)

無限大において等しい2つの単項式のベキと係数は等しいことを示す：

このことを使って，等価である2つの多項式が同じ先頭単項式を持つことを示す：

漸近的に等しい3対の多項式を可視化する：

無限大において等しい中の2つの単項式のベキと係数が等しいことを示す：

これを使って，中の等価である2つの多項式が同じ先頭単項式を持つことを示す：

漸近的に等しい中の3対の多項式を可視化する：

たとえでも0においてであることを示す：

関数を可視化する：

たとえ両者が無限に等しくても，は一貫して1から遠ざかる：

たとえでもにおいてであることを示す：

たとえ両者が無限に等しくても，は一貫して1から遠ざかる：

においてであることを示す：

漸近近似 (7)

のときになら，関数はのときに小さい相対誤差でを近似する．のとき，小さい相対誤差でがを近似することを示す：

のとき，小さい相対誤差でがを近似することを示す：

しかし，上記近似の絶対誤差は小さくはない：

同様に，スターリング(Stirling)の公式は，のとき，小さい相対誤差でを近似する：

しかし，絶対誤差は小さくはない：

が関数であり，は付近におけるの近似であるとすると，においてなら，この近似は漸近的である．言い換えるなら，近似の相対誤差は小さい．がにおいての漸近的な近似であることを示す：

はにおけるの漸近近似であることを示す：

はにおけるの漸近近似ではないことを示す：

スターリングの公式はのときの漸近近似を与える：

はのときの漸近近似であることを示す：

で与えられる別の漸近近似：

Seriesは，初等関数および特殊関数の漸近近似を生成する．例えば，におけるの次数-10の近似を生成する：

この級数が漸近的であることを示す：

0におけるCot[x]の漸近級数を求める：

Gamma[x]の級数が-1において漸近的であることを示す：

0におけるの漸近近似を求める：

近似される関数が近似点のすべての近傍で0に無限回近付く場合は，漸近近似が微妙になるかもしれない．例として，近くにおけるの漸近展開について考える：

この近似が漸近的であるとは示せない：

問題は，ベッセル関数のすべての零点において近似が完全に0ではない点である：

一般的に1に近付く割合にもかかわらず，は無限回侵害される：

一方，決して0にならないハンケル関数の近似について考える：

この近似は漸近的である：

第2種ハンケル関数の近似も漸近的である：

なので，そのような近似2つの和であるこの近似はほぼ漸近的であると理解できる：

あるいは，近くにおけるの漸近近似について考える：

これは，真に漸近的な近似である：

近似の比の限界と関数が一定してに近付く：

AsymptoticIntegrateを使って定積分の漸近近似を生成する．例えば，のときのの漸近近似を求め，厳密値と比較する：

より少ない項数で漸近近似を行う：

この近似は，厳密積分についても第1近似についても漸近的である：

積分定数について説明する必要があるが，AsymptoticIntegrateを使って不定積分の漸近近似を生成する．のときのの近似について考える：

この近似が漸近的であることを示す：

のときのの異なる2つの漸近近似を計算する：

比較すべき記号結果はないが，この過程が漸近的であると示すことはできる：

AsymptoticDSolveValueを使って微分方程式の漸近近似を生成する：

比較すべき厳密な結果はないが，この過程が漸近的であると示すことはできる：

NDSolveValueを使って得られた数値解の値と比較する：

特性と関係 (4)

AsymptoticEquivalentは同値関係，つまり，反射的な関係の(である：

推移関係でもある．つまり，かつならということになる：

対称関係でもある．つまり，ならということになる：

Limit[f[x]/g[x],xx₀]1のときかつそのときに限りAsymptoticEquivalent[f[x],g[x],xx₀]である：

特に，極限がIndeterminateならである：

ならである：

逆は偽であるので，AsymptoticEquivalentはAsymptoticEqualよりきめ細かい：

のときかつそのときに限りである：

同様に，のときかつそのときに限りである：

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