AsymptoticEquivalent

AsymptoticEquivalent[f,g,xx*]

给出当 xx* 时 的条件.

AsymptoticEquivalent[f,g,{x1,…,xn}{,…,}]

给出当 {x1,…,xn}{,…,} 时 的条件.

更多信息和选项

  • 渐近等价也被表示为 f 渐近于 g，f 渐近等价于 g. 经常从上下文中估计点 x*.
  • 渐近等价是一种等价关系，意味着对于所有常数 ，当 x 靠近 x* 时， TemplateBox[{{{f, (, x, )}, -, {g, (, x, )}}}, Abs]<=cTemplateBox[{{g, (, x, )}}, Abs]. 它是比 AsymptoticEqual 更精细的一种渐近等价关系.
  • 典型的用途包括函数和序列在一些点附近的简单表达式. 它常被用于方程的渐近解.
  • 对于有限极限点 x* 和 {,…,}：
  • AsymptoticEquivalent[f[x],g[x],xx*]对于所有的 ，存在 使得 0<TemplateBox[{{x, -, {x, ^, *}}}, Abs]<delta(c,x^*) 意味着 TemplateBox[{{{f, (, x, )}, -, {g, (, x, )}}}, Abs]<=cTemplateBox[{{g, (, x, )}}, Abs] 成立
    AsymptoticEquivalent[f[x1,…,xn],g[x1,…,xn],{x1,…,xn}{,…,}]对于所有的 ，存在 使得0<TemplateBox[{{{, {{{x, _, 1}, -, {x, _, {(, 1, )}, ^, *}}, ,, ..., ,, {{x, _, n}, -, {x, _, {(, n, )}, ^, *}}}, }}}, Norm]<delta(epsilon,x^*)意味着 TemplateBox[{{{f, (, {{x, _, 1}, ,, ..., ,, {x, _, n}}, )}, -, {g, (, {{x, _, 1}, ,, ..., ,, {x, _, n}}, )}}}, Abs]<=cTemplateBox[{{g, (, x, )}}, Abs] 成立
  • 对于无限极限点：
  • AsymptoticEquivalent[f[x],g[x],x∞]对于所有的 ，存在 使得 意味着 TemplateBox[{{{{f, (, x, )}, /, {g, (, x, )}}, -, 1}}, Abs]<=c 成立
    AsymptoticEquivalent[f[x1,…,xn],g[x1,…,xn],{x1,…,xn}{∞,…,∞}]对于所有的 ，存在 使得 意味着 TemplateBox[{{{{f, (, {{x, _, 1}, ,, ..., ,, {x, _, n}}, )}, /, {g, (, {{x, _, 1}, ,, ..., ,, {x, _, n}}, )}}, -, 1}}, Abs]<=c 成立
  • 在 x* 附近 g[x] 的值不为无限个零时，当且仅当 Limit[f[x]/g[x],xx*]1 成立时，AsymptoticEquivalent[f[x],g[x],xx*] 才存在.
  • 可以给出下列选项：
  • Assumptions $Assumptions对参数的设定
    Direction Reals趋近极限点的方向
    GenerateConditions Automatic对参数生成条件
    MethodAutomatic所使用的方法
    PerformanceGoal"Quality"优化目标
  • Direction 的可能设置包括：
  • Reals or "TwoSided"从两个实方向
    "FromAbove" or -1从上面或较大的值
    "FromBelow" or +1从下面或较小的值
    Complexes从所有复方向
    Exp[ θ]从方向
    {dir1,…,dirn}对变量 xi 分别使用方向 diri
  • 在 x* 处的 DirectionExp[ θ] 表示接近极限点 x* 的曲线的方向切线.
  • GenerateConditions 的可能设置包括：
  • Automatic只给出非通用条件
    True所有条件
    False不给出条件
    None如果需要条件则不经计算直接返回
  • PerformanceGoal 的可能设置包括 $PerformanceGoal、"Quality" 和 "Speed". 当设置为 "Quality" 时，AsymptoticEquivalent 通常可以解出更多的问题或者产生更简单的结果，但是可能会耗费更多的时间和内存.

范例

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基本范例  (2)

验证当 时， ：

当 时函数的比值趋近于 ：

验证当 时，：

当 和 的值较大时函数的比值趋近于 ：

范围  (10)

比较不是严格为正 (positive) 的函数:

证明在原点处 发散的速度和程度与 相同：

答案可能是布尔表达式，而不是明确的 True 或 False：

当比较有参数的函数时，可能会针对结果给出条件：

缺省情况下，在两个方向上对函数进行比较：

当比较较大的 值时， 与 x^2(1-cos(x)) TemplateBox[{{x}}, UnitStepSeq] 减小的速率相同：

但对于较小的 值，这种关系不再成立：

可视化两个函数的比值，显示它从上方趋近于 1，但从下方则不然：

像 Sqrt 这样的函数可能在负实数的两个实数方向上具有相同的关系：

如果从复平面的上方接近，可以看到同样的关系：

然而，如果从复平面的下方接近会得到不同的结果：

这是由于在与坐标轴相交时 Sqrt 的虚部的符号发生了反转：

因而，总的来说，这种关系在复平面上不成立：

可视化从四个主要复方向逼近时定义渐近等价的量：

比较多变量函数：

可视化两个函数的范数：

在无穷大处比较多变量函数：

在比较多变量函数时使用参数：

选项  (9)

Assumptions  (1)

用 Assumptions 为参数指定条件：

不同的假设给出不同的结果：

Direction  (5)

从下方比较等价性：

或者是：

从上方比较等价性：

或者是：

在分段不连续处的等价性：

由于在一个方向上不成立，两个方向上同样不成立：

可视化两个函数及它们的比值：

在极点处的等价性与逼近的方向无关：

在分支切割处的等价性：

从不同象限逼近，计算等价性：

从第一象限逼近原点：

等价于：

从第二象限逼近原点：

从右半平面逼近原点：

从下半平面逼近原点：

可视化函数的比值：

GenerateConditions  (3)

返回结果，不给出条件：

只有在 n>0 时结果才有效：

如果结果取决于参数的值，不计算，直接返回：

缺省情况下，返回给出唯一结果的条件：

缺省情况下，如果结果只在特殊值的时候才无效，不给出条件：

当 GenerateConditions->True 时，非通用条件也要报告：

应用  (12)

基本应用  (5)

证明在无穷远处等价的两个单项式具有相同的幂和系数：

用上式证明等价的两个多项式有相同的首项单项式：

可视化三对渐近等价多项式：

证明在无穷远处等价的两个形为 的单项式具有相同的幂和系数：

用上式来证明两个形为 的等价多项式的首项单项式相同：

可视化三对形为 的渐近等价多项式：

证明在 0 处 ，尽管 ：

可视化该函数：

尽管它们无限次地相等， 始终偏离 1：

证明在 处 ，尽管 ：

尽管它们无限次地相等， 始终偏离 1：

证明在 处 ：

渐近近似  (7)

如果 时 ，则函数 在 时近似于 ，且具有较小的相对误差. 证明 时 近似于 ，且具有较小的相对误差：

证明 时 近似于 ，且具有较小的相对误差：

但上述近似的绝对误差并不小：

同样地，Stirling 公式 对 在 时的近似也具有较小的相对误差：

但绝对误差并不小：

如果 是一个函数， 是 在 附近的近似值，如果在 处 ，则近似是渐近的. 换句话说，近似具有较小的相对误差. 证明 是 在 处的渐近近似值：

证明 是 在 处的渐近近似：

但是， 不是 在 处的渐近近似：

Stirling 公式 给出了 在 时的渐近近似：

证明 是 TemplateBox[{x}, PrimePi] 在 时的渐近近似：

另一个渐近近似由 TemplateBox[{x}, LogIntegral] 给出：

Series 可以生成基本函数和特殊函数的渐近近似. 例如，生成 在 处的 10 次 (degree-10) 近似：

证明级数是渐近的：

给出 Cot[x] 在 0 处的渐近级数：

证明 Gamma[x] 的级数在 -1 处是渐近级数：

求 在 0 处的渐近近似：

当要近似的函数在近似点的每个邻域中无限多次逼近于零时，渐近近似可能会有微妙的变化. 作为一个例子，我们来考虑 TemplateBox[{1, x}, BesselJ] 在 附近的渐近展开式：

无法证明近似值为渐近的：

问题是在贝塞尔函数的每个零点上近似值都不是零：

尽管总的来说比值是接近于 1 的，但 TemplateBox[{{{J, (, {1, ,, x}, )}, -, besselJ}}, Abs]<=c TemplateBox[{{J, (, {1, ,, x}, )}}, Abs] 无数次地不成立：

另一方面，我们来考虑永远非零的 Hankel 函数 TemplateBox[{1, x}, HankelH1] 的近似：

近似是渐近的：

第二类 Hankel 函数 TemplateBox[{1, x}, HankelH2] 的近似也是渐近的：

由于 TemplateBox[{1, x}, BesselJ]=1/2 (TemplateBox[{1, x}, HankelH1]+TemplateBox[{1, x}, HankelH2])，作为两个这种近似的和，它的近似可以理解为几乎是渐近的：

或者，来考虑 1+TemplateBox[{1, x}, BesselJ] 在 附近的渐近近似：

这是真正的渐近近似：

近似与函数的比值的极限始终接近于 ：

用 AsymptoticIntegrate 来生成定积分的渐近近似. 例如，求 在 时的渐近近似，并与精确值进行比较：

用更少的项给出渐近近似：

上述近似渐近逼近于精确积分和第一个近似：

用 AsymptoticIntegrate 来生成不定积分的渐近近似，尽管要考虑积分常数. 求 在 时的近似：

证明近似是渐近的：

计算 在 时两个不同的渐近近似：

没有符号结果可供比较，但可以证明过程是渐近的：

用 AsymptoticDSolveValue 生成微分方程的渐近近似：

没有精确结果可供比较，但可以证明过程是渐近的：

与通过 NDSolveValue 获得的数值解进行比较：

属性和关系  (4)

AsymptoticEquivalent 是一种等价关系，意味着它是自反的（即 ）：

还是一种传递关系（即若 和 成立，则有 ）：

也是对称的（即 意味着 ）：

当且仅当 Limit[f[x]/g[x],xx0]1 时，AsymptoticEquivalent[f[x],g[x],xx0] 的结果为：

具体来讲，如果极限为 Indeterminate，则 ：

如果 ，则 ：

反过来不成立，所以 AsymptoticEquivalent 比 AsymptoticEqual 更严格：

当且仅当 时，：

同样的，当且仅当 时，：

Wolfram Research (2018)，AsymptoticEquivalent，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/AsymptoticEquivalent.html.

文本

Wolfram Research (2018)，AsymptoticEquivalent，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/AsymptoticEquivalent.html.

CMS

Wolfram 语言. 2018. "AsymptoticEquivalent." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/AsymptoticEquivalent.html.

APA

Wolfram 语言. (2018). AsymptoticEquivalent. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/AsymptoticEquivalent.html 年

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