AsymptoticLess

AsymptoticLess[f,g,xx^*]

给出当 xx^* 时或的条件.

AsymptoticLess[f,g,{x₁,…,x_n}{,…,}]

给出当 {x₁,…,x_n}{,…,} 时或的条件.

更多信息和选项

渐近小于也被表示为 f 是 g 的小写的 o，f 的大小小于 g，f 比 g 增长得慢，g 强于 f. 经常从上下文中估计点 x^*.
渐近小于是一种排序关系，意味着对于所有常数，当 x 靠近 x^* 时，.
典型的用途包括表示函数和序列在一些点附近的简单严格上界. 它经常用于方程的解，并给出计算复杂度的简单严格上界.
对于有限极限点 x^* 和 {,…,}：

	AsymptoticLess[f[x],g[x],xx^*]	对于所有的，存在使得 $0<TemplateBox[{{x, -, {x, ^, }}}, Abs]<delta(c,x^)$ 意味着成立
	AsymptoticLess[f[x₁,…,x_n],g[x₁,…,x_n],{x₁,…,x_n}{,…,}]	对于所有的，存在使得 $0<TemplateBox[{{{, {{{x, _, 1}, -, {x, _, {(, 1, )}, ^, }}, ,, ..., ,, {{x, _, n}, -, {x, _, {(, n, )}, ^, }}}, }}}, Norm]<delta(epsilon,x^*)$ 意味着 $TemplateBox[{{f, (, {{x, _, 1}, ,, ..., ,, {x, _, n}}, )}}, Abs]<=c TemplateBox[{{g, (, {{x, _, 1}, ,, ..., ,, {x, _, n}}, )}}, Abs]$ 成立

对于无限极限点：

	AsymptoticLess[f[x],g[x],x∞]	对于所有的，存在使得意味着成立
	AsymptoticLess[f[x₁,…,x_n],g[x₁,…,x_n],{x₁,…,x_n}{∞,…,∞}]	对于所有的，存在使得意味着 $TemplateBox[{{f, (, {{x, _, 1}, ,, ..., ,, {x, _, n}}, )}}, Abs]<=c TemplateBox[{{g, (, {{x, _, 1}, ,, ..., ,, {x, _, n}}, )}}, Abs]$ 成立

在 x^* 附近 g[x] 的值不为无限个零时，当且仅当 Limit[Abs[f[x]/g[x]],xx^*]0 成立时， AsymptoticLess[f[x],g[x],xx^*] 才存在.
可以给出下列选项：

Assumptions	$Assumptions	对参数的设定
Direction	Reals	趋近极限点的方向
GenerateConditions	Automatic	对参数生成条件
Method	Automatic	所使用的方法
PerformanceGoal	"Quality"	优化目标

Direction 的可能设置包括：

	Reals or "TwoSided"	从两个实方向
	"FromAbove" or -1	从上面或较大的值
	"FromBelow" or +1	从下面或较小的值
	Complexes	从所有复方向
	Exp[ θ]	从方向
	{dir₁,…,dir_n}	对变量 x_i 分别使用方向 dir_i

在 x^* 处的 DirectionExp[ θ] 表示接近极限点 x^* 的曲线的方向切线.

GenerateConditions 的可能设置包括：
Automatic 只给出非通用条件

True 所有条件

False 不给出条件

None 如果需要条件则不经计算直接返回
PerformanceGoal 的可能设置包括 $PerformanceGoal、"Quality" 和 "Speed". 当设置为 "Quality" 时，AsymptoticLess 通常可以解出更多的问题或者产生更简单的结果，但是可能会耗费更多的时间和内存.

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例 (2)

验证当时，：

可视化两个函数：

验证当时，：

可视化两个函数：

范围 (9)

比较不是严格为正 (positive) 的函数:

证明在原点处比发散得慢：

答案可能是布尔表达式，而不是明确的 True 或 False：

当比较有参数的函数时，可能会针对结果给出条件：

缺省情况下，在两个方向上对函数进行比较：

当比较较大的值时，实际上小于 $x^2 TemplateBox[{{x}}, UnitStepSeq]$ ：

但对于较小的值，这种关系不再成立：

可视化两个函数：

像 Sqrt 这样的函数可能在负实数的两个实数方向上具有相同的关系：

如果从复平面的上方接近，可以看到同样的关系：

然而，如果从复平面的下方接近会得到不同的结果：

这是由于在与坐标轴相交时 Sqrt 的虚部的符号发生了反转：

因而，总的来说，这种关系在复平面上不成立：

可视化从四个实方向和虚方向上逼近时函数的相对大小：

比较多变量函数：

可视化两个函数的范数：

在无穷大处比较多变量函数：

在比较多变量函数时使用参数：

选项 (10)

Assumptions (1)

用 Assumptions 为参数指定条件：

不同的假设给出不同的结果：

Direction (5)

从下方测试函数之间的关系：

等价于：

从上方测试函数之间的关系：

等价于：

测试分段不连续处的关系：

由于在一个方向上不成立，两个方向上同样不成立：

可视化两个函数及它们的比值：

在极点处的关系与逼近的方向无关：

测试分支切割处的关系：

从不同象限逼近，计算函数之间的关系：

从第一象限逼近原点：

等价于：

从第二象限逼近原点：

从右半平面逼近原点：

从下半平面逼近原点：

可视化函数的比值，在靠近原点时变得较小，除了上的值：

GenerateConditions (3)

返回结果，不给出条件：

只有在 n>0 时结果才有效：

如果结果取决于参数的值，不计算，直接返回：

缺省情况下，对能给出结果的情况产生条件：

缺省情况下，如果结果只在特殊值的时候才无效，不给出条件：

当 GenerateConditions->True 时，非通用条件也要报告：

PerformanceGoal (1)

用 PerformanceGoal 来避免潜在的巨量计算：

默认设置使用所有可用技术来尝试给出结果：

应用 (18)

基本应用 (4)

证明在 0 处：

用符号方式证明：

可视化函数：

这种关系对所有实数幂都成立：

可视化指数为分数和负数的函数：

证明在 ∞ 处：

用符号方式证明：

用对数图可视化这种关系：

这种关系对所有实数幂都成立：

可视化指数为分数和负数的函数：

证明在 0 处：

可从 $TemplateBox[{{{x, ^, 2}, , {sin, (, {1, /, x}, )}}}, Abs]<=x^2$ 推导出上述关系：

证明在 ∞ 处：

绝对误差和相对误差 (2)

当时，如果，则函数以较小的绝对误差逼近 . 证明当时，以较小的绝对误差逼近：

证明当时，也以较小的绝对误差逼近：

证明当时，以较小的绝对误差逼近：

当时，如果，则函数以较小的相对误差逼近 . 证明当时，以较小的相对误差逼近：

证明当时，以较小的相对误差逼近：

但上述近似的绝对误差并不小：

同样，时，用 Stirling 公式近似相对误差较小：

但绝对误差较大：

渐近近似 (6)

设为一个函数，在靠近时逼近 . 如果在处，则逼近是渐近的. 换句话说，余数或误差渐近地小于近似值. 证明是在处的渐近近似：

证明是在处的渐近近似：

证明不是在处的渐近近似：

证明 Stirling 公式是在时的渐近近似：

证明是在时的渐近近似：

Series 可以生成基本函数和特殊函数的渐近近似. 例如，生成在处的 10 次 (degree-10) 近似：

证明级数是渐近的：

给出 Cot[x] 在 0 处的渐近级数：

证明 Gamma[x] 的级数在 -1 处是渐近级数：

求在 0 处的渐近逼近：

当要近似的函数在近似点的每个邻域中无限多次逼近于零时，渐近近似可能会有微妙的变化. 作为一个例子，我们来考虑在附近的渐近展开式：

近似不是渐近的，因为在贝塞尔函数的每个零点上近似值都不是零：

尽管总的来说比值是接近于零的，但无数次地不成立：

另一方面，我们来考虑永远非零的 Hankel 函数的近似：

近似是渐近的：

第二类 Hankel 函数的近似也是渐近的：

由于，作为两个这种近似的和，它的近似可以理解为几乎是渐近的：

或者，来考虑在附近的渐近近似：

这是真正的渐近近似：

近似与函数的比值的极限始终接近于：

用 AsymptoticIntegrate 生成定积分的渐近近似. 例如，求当时的渐近近似，并与精确值相比较：

用更少的项给出渐近近似：

上述近似渐近逼近于精确积分和第一个近似：

用 AsymptoticIntegrate 来生成不定积分的渐近近似，尽管要考虑积分常数. 求在时的近似：

证明近似是渐近的：

然而，在扩展点匹配值后，近似是渐进的：

计算在时两个不同的渐近近似：

没有符号结果可供比较，但可以证明过程是渐近的：

用 AsymptoticDSolveValue 生成微分方程的渐近逼近：

没有精确的结果可供比较，但过程可以显示出是渐近的：

与使用 NDSolveValue 获得的数值解相比较：

渐近尺度和级数 (2)

当且仅当在处时，函数序列为处的渐近尺度. 编写一个函数，查看一个有限的函数列表是否为渐近尺度：

整数幂给出处的渐近尺度，时 $TemplateBox[{≻, "≻", {1, /, {(, {x, ^, 3}, )}}, {1, /, {(, {x, ^, 2}, )}}, {1, /, x}, 1, x, {x, ^, 2}, {x, ^, 3}}, RowWithSeparators]$ :

它们也形成了处的渐近尺度，但是顺序相反：

的幂形成了渐近尺度，时 $TemplateBox[{≻, "≻", 1, {1, /, {(, {log, (, x, )}, )}}, {1, /, {(, {{log, ^, 2}, (, x, )}, )}}, {1, /, {(, {{log, ^, 3}, (, x, )}, )}}}, RowWithSeparators]$ :

用和形成一个渐近尺度，时 $TemplateBox[{≻, "≻", 1, x, {{x, ^, 2}, , {log, (, x, )}}, {x, ^, 2}, {{x, ^, 3}, , {log, (, x, )}}, {x, ^, 3}, {{x, ^, 4}, , {log, (, x, )}}}, RowWithSeparators]$ :