ChebyshevU

ChebyshevU[n,x]

第2種チェビシェフ(Chebyshev)多項式 TemplateBox[{n, x}, ChebyshevU]を与える．

詳細

  • 記号操作・数値操作の両方に適した数学関数である．
  • 整数 n について具体的な多項式が与えられる．
  • TemplateBox[{n, {cos, (, theta, )}}, ChebyshevU]=sin[(n+1)theta]/sin theta
  • 特別な引数の場合，ChebyshevUは，自動的に厳密値を計算する．
  • ChebyshevUは任意の数値精度で評価できる．
  • ChebyshevUは自動的にリストに縫い込まれる．
  • ChebyshevU[n,z]は，非整数nについて複素 z 平面上，〜の範囲で不連続な分枝切断線を持つ．
  • ChebyshevUはIntervalオブジェクトおよびCenteredIntervalオブジェクトに使うことができる． »

例題

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例  (7)

数値的に評価する：

十次のChebyshevU多項式を計算する：

実数の部分集合上でプロットする：

複素数の部分集合上でプロットする：

原点における級数展開：

Infinityにおける漸近展開：

特異点における漸近展開：

スコープ  (44)

数値評価  (6)

数値的に評価する：

高精度で評価する：

出力精度は入力精度に従う：

複素数入力：

高精度で効率的に評価する：

IntervalオブジェクトとCenteredIntervalオブジェクトを使って最悪のケースにおける補償区間を計算する：

Aroundを使って平均的なケースの統計区間を計算することもできる：

配列の要素単位の値を計算する：

MatrixFunctionを使って行列のChebyshevU関数を計算することもできる：

特定の値  (7)

固定点におけるChebyshevUの値：

記号的な n についてのChebyshevU：

ゼロにおける値：

無限大における値：

ChebyshevU[5,x]の最初の正の最大値を求める：

陪多項式ChebyshevU[7,x]を計算する：

半整数 n について陪多項式ChebyshevU[1/2,x]を計算する：

可視化  (3)

ChebyshevU関数をさまざまな次数で計算する：

TemplateBox[{3, z}, ChebyshevU]の実部をプロットする：

TemplateBox[{3, z}, ChebyshevU]の虚部をプロットする：

チェビシェフ多項式と2変数の関数としてプロットする：

関数の特性  (14)

ChebyshevUは，区間[-1,∞]からのすべての実数値について定義される：

ChebyshevUは，以外のすべての複素値について定義される：

TemplateBox[{1, x}, ChebyshevU]はすべての実数と複素数に達する：

TemplateBox[{2, x}, ChebyshevU]の実数領域：

これは，すべての複素数に達する：

奇次数のチェビシェフ多項式は奇多項式である：

偶次数のチェビシェフ多項式は偶多項式である：

ChebyshevUは要素単位でリストに縫い込まれる：

チェビシェフ多項式は解析的である：

一般に，ChebyshevUは解析的でも有理型でもない：

TemplateBox[{2, x}, ChebyshevU]は非減少でも非増加でもない：

TemplateBox[{2, x}, ChebyshevU]は単射ではない：

TemplateBox[{1, x}, ChebyshevU]は単射である：

TemplateBox[{2, x}, ChebyshevU]は全射ではない：

TemplateBox[{1, x}, ChebyshevU]は全射である：

TemplateBox[{2, x}, ChebyshevU]は非負でも非正でもない：

TemplateBox[{n, x}, ChebyshevU]は，で が整数ではないとき，特異点と不連続点を持つ：

TemplateBox[{2, x}, ChebyshevU]は凸である：

TraditionalFormによる表示：

微分  (3)

x についての一次導関数：

x についての高次導関数：

n=5のときの x についての高次導関数をプロットする：

x についての 次導関数の式：

積分  (4)

Integrateを使って不定積分を計算する：

不定積分を確認する：

定積分：

奇整数についての1周期のChebyshevUの定積分は0である：

その他の積分例：

級数展開  (3)

Seriesを使ってテイラー(Taylor)展開を求める：

の周りの最初の3つの近似のプロット：

SeriesCoefficientを使った級数展開における一般項：

生成点におけるテイラー展開：

関数の恒等式と簡約  (4)

ChebyshevUは，以下の三角恒等式を通して定義される：

ChebyshevUの通常の母関数：

ChebyshevUの指数型母関数：

漸化式：

一般化と拡張  (2)

ChebyshevUはベキ級数に適用できる：

ChebyshevUはIntervalに適用できる：

アプリケーション  (7)

区間で関数を近似する：

指定した点を通る曲線を構築する：

層のガラスを通る低振幅のトランスミッション：

テプリッツ(Toeplitz)三重対角行列を定義する：

4×4の場合を表示する：

テプリッツ行列の特性多項式はChebyshevUによって表すことができる：

最初のいくつかのケースを確認する：

Kac–Murdock–Szegő (KMS)行列（対称テプリッツ行列）を定義する：

KMS行列は一次元自己回帰過程（AR(1)過程）の相関行列である：

KMS行列の固有多項式はChebyshevUによって表すことができる：

ChebyshevU関数を不均一部分として微分方程式を解く：

チェビシェフ多項式をその母関数から求める：

特性と関係  (7)

ChebyshevU多項式中の係数のリストを得る：

FunctionExpandを使って三角関数を通して展開する：

についてのChebyshevUの導関数：

ChebyshevUはDifferenceRootとして表すことができる：

ChebyshevUの級数展開における一般項：

ChebyshevUの母関数：

ChebyshevUの指数母関数：

考えられる問題  (1)

多項式の簡約により結果が不正確になることがある：

関数を直接評価する：

Wolfram Research (1988), ChebyshevU, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/ChebyshevU.html （2022年に更新）.

テキスト

Wolfram Research (1988), ChebyshevU, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/ChebyshevU.html （2022年に更新）.

CMS

Wolfram Language. 1988. "ChebyshevU." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. Last Modified 2022. https://reference.wolfram.com/language/ref/ChebyshevU.html.

APA

Wolfram Language. (1988). ChebyshevU. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/ChebyshevU.html

BibTeX

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