ChebyshevU

ChebyshevU[n,x]

给出了第二类切比雪夫多项式 TemplateBox[{n, x}, ChebyshevU].

更多信息

  • 数学函数，适宜于符号和数值计算.
  • 对于整数 n 给出了显式多项式.
  • TemplateBox[{n, {cos, (, theta, )}}, ChebyshevU]=sin[(n+1)theta]/sin theta.
  • 对于某些特殊参数，ChebyshevU 自动计算出精确值.
  • ChebyshevU 可以计算到任意数值精度.
  • ChebyshevU 自动逐项作用于列表的各个元素.
  • 对于非整数 n，ChebyshevU[n,z] 在复平面 z 上有分支切割，从 到 .
  • ChebyshevU 可与 Interval 和 CenteredInterval 对象一起使用. »

范例

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基本范例  (7)

数值化计算：

计算10次的 ChebyshevU 多项式：

在实数的子集上绘图：

在复数的子集上绘图：

在原点处的级数展开式：

在 Infinity 处的渐近展开式：

在奇点处的渐近展开式：

范围  (44)

数值计算  (6)

数值化计算：

高精度计算：

输出的精度与输入的精度一致：

复数输入：

高精度的高效计算：

用 Interval 和 CenteredInterval 对象计算最坏情况下的区间：

或用 Around 计算一般情况下的统计区间：

计算数组中每个元素的值：

或用 MatrixFunction 计算矩阵形式的 ChebyshevU 函数：

特殊值  (7)

在固定点的 ChebyshevU 的值：

符号 n 的 ChebyshevU:

零处的值：

无穷处的值：

求 ChebyshevU[5,x] 的第一个正极大值：

计算相关的 ChebyshevU[7,x] 多项式：

计算 n 为半整数的 ChebyshevU[1/2,x] 多项式：

可视化  (3)

绘制各个阶数的 ChebyshevU 函数：

绘制 TemplateBox[{3, z}, ChebyshevU] 实部：

绘制 TemplateBox[{3, z}, ChebyshevU] 虚部：

将切比雪夫多项式绘制成两个变量的函数：

函数的属性  (14)

ChebyshevU 对区间 [-1,∞] 内的所有实数有定义：

ChebyshevU 对除 外的所有复数都有定义：

TemplateBox[{1, x}, ChebyshevU] 的值域是所有实数和复数：

TemplateBox[{2, x}, ChebyshevU] 的实数值域：

值域也包括所有复数：

奇数阶的 Chebyshev 多项式是奇函数：

偶数阶的 Chebyshev 多项式是偶函数：

ChebyshevU 逐项作用于列表的各个元素：

Chebyshev 多项式是解析的：

通常情况下，ChebyshevU 既不是解析函数也不是亚纯函数：

TemplateBox[{2, x}, ChebyshevU] 既不是非递增，也不是非递减：

TemplateBox[{2, x}, ChebyshevU] 不是单射函数：

TemplateBox[{1, x}, ChebyshevU] 是单射函数：

TemplateBox[{2, x}, ChebyshevU] 不是满射函数：

TemplateBox[{1, x}, ChebyshevU] 是满射函数：

TemplateBox[{2, x}, ChebyshevU] 既不是非负，也不是非正：

不是整数时，对于 ，TemplateBox[{n, x}, ChebyshevT] 有奇点和断点：

TemplateBox[{2, x}, ChebyshevU] 是凸函数：

TraditionalForm 格式：

微分  (3)

关于 x 的一阶导数：

关于 x 的高阶导数：

绘制 n=5 时关于 x 的高阶导数：

关于 x 的 阶导数的公式：

积分  (4)

使用 Integrate 计算不定积分：

验证反导数：

定积分：

奇整数阶数的 ChebyshevU 在一个周期内的定积分是 0：

更多积分：

级数展开  (3)

使用 Series 求泰勒展开：

绘制 附近的前三个近似：

用 SeriesCoefficient 给出级数展开式的通项：

普通点的泰勒展开：

函数恒等式与简化  (4)

ChebyshevU 是通过以下三角恒等式定义的：

ChebyshevU 的普通母函数：

ChebyshevU 的指数母函数：

递归关系：

推广和延伸  (2)

可将 ChebyshevU 应用于幂级数：

ChebyshevU 可用于 Interval：

应用  (7)

在区间 上近似函数：

构建一条通过给定点的曲线：

光穿过 层玻璃的幅值变化：

定义一个Toeplitz 三对角矩阵：

展示 4×4 的情况：

Toeplitz 三对角矩阵的特征多项式可以用 ChebyshevU 来表示：

验证前几种情况：

定义 Kac–Murdock–Szegő (KMS) 矩阵，它是一个对称的托普利兹矩阵：

KMS 矩阵是一阶自回归过程（即 AR(1) 过程）的相关矩阵：

KMS 矩阵的特征多项式可以用 ChebyshevU 表示：

用 ChebyshevU 函数作为非齐次部分，解微分方程：

从其生成函数中求得切比雪夫多项式：

属性和关系  (7)

给出 ChebyshevU 多项式中的系数列表：

利用 FunctionExpand 展开三角函数：

ChebyshevU 相对于 的导数：

可以用 DifferenceRoot 来表示ChebyshevU：

ChebyshevU 级数展开式中的一般项：

ChebyshevU 的母函数：

ChebyshevU 的指数母函数：

可能存在的问题  (1)

多项式形式的相约可能导致不准确的数值结果：

直接计算函数：

Wolfram Research (1988)，ChebyshevU，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/ChebyshevU.html （更新于 2022 年）.

文本

Wolfram Research (1988)，ChebyshevU，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/ChebyshevU.html （更新于 2022 年）.

CMS

Wolfram 语言. 1988. "ChebyshevU." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2022. https://reference.wolfram.com/language/ref/ChebyshevU.html.

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Wolfram 语言. (1988). ChebyshevU. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/ChebyshevU.html 年

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