直交座標でのベクトル場の回転：

円柱座標でのベクトル場の回転：

2次元の回転：

del で ∇ を， で下付き文字にした変数のリストを，cross で  を入力する：

delx でテンプレート ∇_ を入力し，変数を記入し， を押してして関数を入力する：

極座標での回転：

曲線座標系では，一定の要素を持つベクトルであっても回転が零であることがある：

階数2のテンソルの回転：

測定基準，座標系，パラメータを指定する回転：

Curlはより高階の配列を作ることができる：

これは4階の配列である：

Curlは曲がった空間に使うことができる：

ベクトル場は，回転が零である場合，無回転または保存的であると呼ばれる：

これは，視覚的には，ベクトル場の流線が小さい閉じたループを形成しない傾向にあることを意味する：

これは，解析的には，ベクトル場がスカラー関数の勾配として表せることを意味する．この関数は，原点から任意の点{x,y}までの回転をパラメータ化することで求められる：

スカラー関数は回転に沿った v の線積分を使って求めることができる：

結果を確かめる：

ベクトル場は，球対称でラジアル成分のみを持つ場合は，中心的であると呼ばれる：

すべての中心ベクトル場は保存的である，または回転が無い：

これは，v が勾配場であることを意味する．v には径方向依存性しかないので，u ポテンシャルの線積分は単純な一次元積分に簡約される：

結果を確かめる：

発散のないベクトル場はベクトルポテンシャルの回転として表すことができる：

ベクトルポテンシャルを求めたければ，まず劣決定系を解かなければならない：

と が定数であれば最初の2つの方程式が満たされる．その場合，3番目の方程式には という明らかな解がある：

Curlは完全に反対称の配列を作る：

勾配の回転は零である：

非スカラー入力の場合でさえも，結果は0である：

この恒等式はGradのInactive形によって順守される：

次元 では，Curlは階数が より低いテンソルについてのみ定義される：

Curlは，反対称化されたGradにHodgeDualへの呼出しが続いたものに比例する：

比例定数はである．ただし，r は f の階数である：

デカルト座標に変換して計算し，再びデカルト座標から変換し直すことで，ユークリッド座標グラフ c でCurlを計算する：

結果は直接Curl[f,{x₁,…,x_n},c]を計算したものと同じである：

次元 では，スカラーの回転は階数 のテンソルである．したがって， の結果は階数2のテンソルである：

階数 のテンソルの回転はスカラーである：

スカラー場の二重回転はそのスカラーのラプラシアンである．二次元では次のようになる：

三次元でも同じ結果になる：

ベクトル関数の回転についての式をさまざまな座標系で見る：