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Curl

Curl[{f₁,f₂},{x₁,x₂}]

给出旋度 .

Curl[{f₁,f₂,f₃},{x₁,x₂,x₃}]

给出旋度 .

Curl[f,{x₁,…,x_n}]

给出 ××…× 数组 f 关于维向量 {x₁,…,x_n} 的旋度.

Curl[f,x,chart]

给出坐标 chart 中的旋度.

更多信息

Curl 也成为 rot、rotational 和环量密度.
Curl[f,x] 可以作为 ∇_xf 输入. 符号 ∇ 可通过键入 del 或 \[Del] 得到，符号  可通过键入 cross 或 \[Cross] 得到. 变量列表 x 可以作为下标输入.
空模板 ∇_ 可通过键入 delx得到，并用将光标从下标移动到主体部分.
所有不显式依赖于给定变量的数量具有零偏导数.
在 Curl[f,{x₁,…,x_n}] 中，如果 f 是深度为 k<n 的数组，它的维度必须是 {n,…,n}，而所得旋度是维度为 {n,…,n}、深度为 n-k-1 的数组.
如果 f 是一个标量，Curl[f,{x₁,…,x_n},chart] 在与 chart 相关联的标准正交基中返回深度为 n-1 的数组.
在 Curl[f,{x₁,…,x_n},chart] 中，如果 f 是一个数组，那么 f 的分量被解释为位于与 chart 相关联的标准正交基中.
对于欧几里得空间上的坐标系，可通过将 f 转换至直角坐标系来计算 Curl[f,{x₁,…,x_n},chart]，算出旋度后再转换回 chart. »
可用三元组 {coordsys,metric, dim}（与 CoordinateChartData 的第一个参数相同的方式）指定 Curl 的第三个参数中的坐标系. 可以使用忽略了 dim 的简短形式式.
Curl 适用于 SparseArray 和结构化数组对象.

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例 (4)

直角坐标中的向量场的旋度：

圆柱坐标中的向量场的旋度：

在两个维度上可旋转：

使用 del 输入 ∇，用输入带有下标的变量列表，用 cross 输入 ：

使用 delx 输入模板 ∇_，填入变量，按键，填入函数：

范围 (6)

在极坐标中可旋转：

在曲线坐标系中，甚至具有常量分量的向量可能具有非零旋度：

阶数为 2 的张量的旋度：

指定特性、坐标系统和参数的旋度：

Curl 可产生高阶数组：

这是一个阶数为 4 的数组：

Curl 适用于曲面空间：

应用 (3)

如果向量场的旋度为零，则称其为无旋场或保守场：

这意味着向量场的流线不会形成小的闭合环路：

解析意义上讲，它意味着向量场可以被表示为一个标量函数的梯度. 为了找到这个函数，把一条从原点到任意点 {x,y} 的曲线参数化：

可以用 v 沿曲线的线积分来找到该函数：

验证结果：

如果向量场是球形对称的且只有一个径向分量，称该向量场为中心场：

所有中心向量场都是保守场或无旋场：

这表明 v 是一个梯度场. 因为 v 只依赖于径向分量，电势 u 的线积分简化为一个简单的一维积分：

验证结果：

一个不发散的向量场可以表示为向量势函数的旋度：

若要查找向量势函数，必须求解不定系统：

如果和是常量，则前两个方程成立. 第三个方程具有明显的解：

属性和关系 (7)

Curl 产生完全反对称的数组：

梯度的旋度是零：

即使对于非标量输入，结果也是零：

此标识被 Grad 的 Inactive 形式认可：

维情况下，Curl 只对阶数少于的张量有定义：

Curl 与反对称 Grad 成比例，随后是一个对 HodgeDual 的调用：

成比例常数是，其中 r 是 f 的秩：

通过转换为直角坐标然后再转换回来，计算欧几里得坐标系 c 中的 Curl：

结果与直接计算 Curl[f,{x₁,…,x_n},c] 相同：

维度为时，标量的旋度是秩为的张量. 因此，对于，结果是一个秩为 2 的张量：

秩为的张量的旋度是一个标量：

标量场的双旋度是该标量的拉普拉斯变换. 在二维空间中：

同样的结果对于三维空间也成立：

互动范例 (1)

查看向量函数的旋度在不同坐标系中的表达式：

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