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CylindricalDecomposition

CylindricalDecomposition[expr,{x₁,x₂,…}]

将由语句 expr 表示的区域分解为圆柱分量，其方向依次对应于 x_i.

CylindricalDecomposition[expr,{x₁,x₂,…},op]

求对由语句 expr 表示的区域应用拓扑运算的结果的分解.

CylindricalDecomposition[expr,{x₁,x₂,…},"Function"]

将结果表示为 CylindricalDecompositionFunction[…][x₁,x₂,…]，以便有效运用于以后的计算中.

更多信息和选项

语句 expr 可以是以下内容的逻辑组合：

	lhs==rhs	等式
	lhs!=rhs	非等式
	lhs>rhs 或 lhs>=rhs	不等式
	CylindricalDecompositionFunction[…][x,y,…]	圆柱代数公式
	ForAll[x,cond,expr]	通用量词
	Exists[x,cond,expr]	存在量词

等式和不等式可涉及多项式、有理函数或实代数函数.
CylindricalDecomposition 假定所有的变量都是实数.
CylindricalDecomposition 返回不等式，其边界通常包含代数函数.
拓扑运算 op 可以是下列任何一种：

	"Boundary"	解集的边界
	"Closure"	解集的闭包
	"Interior"	解集的内部
	"Exterior"	解集的外部
	"ClosureOfInterior"	解集内部的闭包
	"InteriorOfClosure"	解集闭包的内部
	"Components"	解集的连通分量

CylindricalDecompositionFunction 对象提供半代数集的显式紧凑表示，可有效运用于以后的计算中.
CylindricalDecompositionFunction 对象通常用于半代数集的重复计算，包括计算集合的布尔组合，用附加条件限制集合，消除一些变量或优化集合.
含有 x₁,…,x_n 的圆柱代数公式的形式为，其中 . 每个的形式为或，其中和是在解集上定义并连续的代数函数. 中的的解集被称为 cell. 当时，cell 和在上的投影要么不相交，要么相同.
如果没有指定 "Function"，CylindricalDecomposition 返回以等式或不等式的布尔组合给出的圆柱代数公式.
CylindricalDecompositionFunction 给出圆柱代数公式的压缩 (encapsulated) 表示，当用于 CylindricalDecomposition 的输入时，或用于如 Reduce、Resolve、FindInstance、Solve 或 Minimize 这样的求解器时会更加高效.
Normal 将 CylindricalDecompositionFunction 对象转换成等式或不等式的布尔组合.
可将拓扑运算的指定和输出格式组合在一起，如 CylindricalDecomposition[ineqs,{x₁,x₂,…},"BoundaryFunction"] 给出了解集的边界，并将解集 ineqs 表示为 CylindricalDecompositionFunction 对象.

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例 (2)

找出单位盘的柱形分解：

找到单位圆盘边界的圆柱分解：

范围 (14)

基本用途 (9)

对于单变量多项式结果由区间组成：

通常会出现单点：

这也可以是任何逻辑组合的形式：

对于多变量多项式，结果为柱形 :

通常将生成若干柱形:

利用 RegionPlot 绘制各个柱形：

通过变换变量的顺序，柱形采取形式：

绘制各个柱形：

这里维数为 0、2 和 1 的柱形出现在结果中：

三维和四维分解：

CylindricalDecomposition 接受量化的公式：

系数可以包括实代数数：

系数可以包括精确的超越实数：

函数可以是实代数的：

拓扑运算 (5)

求解的区域及其边界的分解：

求解的区域及其闭包的分解：

求解的区域及其内部的分解：

求解的区域及其外部的分解：

求解的区域及其连通分量的分解；

选项 (1)

WorkingPrecision (1)

由于包含的代数数的高次方，这项计算将需要较长时间：

下面用 WorkingPrecision->1000, 得出一个分解，但结果可能是不正确的：

应用 (2)

求代数曲线的连接分量：

求区域的连通分量：

属性和关系 (8)

利用 RegionPlot 图形显示二维半代数集：

利用 RegionPlot3D 图形显示三维半代数集：

Resolve 完成量词消去，并且可以避免计算柱形分解:

Reduce 也处理不同的定义域和超越函数：

利用 FindInstance 得出满足方程式和不等式的点：

SemialgebraicComponentInstances 将给出每一个柱体中的样本点：

CylindricalDecomposition 合并若干柱体以得到更紧凑的表达式：

GenericCylindricalDecomposition 将仅仅计算全维数部分:

输出和输入作为集合是相等的：

点同时出现在集合内或集合外：

可能存在的问题 (2)

CylindricalDecomposition 需要精确的、无限精度的输入：

Rationalize 将不精确的数字转换为精确的数字：

通常输出可以是更紧凑的嵌套形式:

把结果展平成析取范式而不分离不等式：

巧妙范例 (1)

半代数集是相当普通的:

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