DSolveChangeVariables

DSolveChangeVariables[dsolve,u,t,trans]

使用变换 trans 将 dsolve 中的解函数更改为 .

DSolveChangeVariables[dsolve,{u1,u2,…},t,trans]

将系统中的解函数更改为 .

DSolveChangeVariables[dsolve,u,{t1,…,tn},trans]

将偏微分方程中的解函数更改为 .

更多信息和选项

  • 变量的更改通常用于简化微分表达式中的系数或在更合适的坐标系（例如极坐标）中表示它，以利用问题中的对称性.
  • DSolveChangeVariables 可用于在没有初始或边界条件的情况下，对单个常微分方程或偏微分方程执行变量的更改.
  • 变量的更改使用链式法则
  • 在区间 或
  • 在区域 上（其中 表示函数 关于其参数的雅可比行列式）执行.
  • dsolve 的可能形式是 DSolve 支持的形式：
  • DSolve[deq,y,x]常微分方程
    DSolve[{deq1,…,deqn},{y1,…,yn},x]微分方程组
    DSolve[deq,z,{x,y,…}]偏微分方程
  • 可以使用未运算的 DSolve[…] 或 Inactive[DSolve][…]. 确保 dsolve 不运算非常重要，因此安全的方法是使用 Inactive[DSolve][…]，它可以通过 Inactivate[dsolve,DSolve] 生成.
  • DSolveChangeVariables 返回形式为 Inactive[DSolve][…] 的结果. 使用 Activate 求解新坐标中的微分方程. »
  • 转换 trans 可以有以下形式：
  • t==ϕ[x]由 t 替换 ϕ[x]
    {u==ϕ[x,y,…],v=ψ[x,y,…],…}由 u 替换 ϕ[x,y,…]，由 v 替换 ψ[x,y,…]，等等
    chart1chart2来自 CoordinateChartData 的命名坐标系
  • 假设变换 在其定义域上是可微的.
  • 使用命名坐标系时，可以以 CoordinateTransformData 接受的任何形式输入变换，包括 {oldsys,metric,dim}{newsys,metric,dim}、{oldsysnewsys,metric,dim} 及各种缩写形式.
  • 可以使用 Assumptions 指定对微分表达式中变量和参数域的限制.

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例  (4)

将变量更改 应用于线性微分方程：

求解微分方程：

将变量更改 应用于非线性微分方程：

将二维拉普拉斯方程从笛卡尔坐标系转换为极坐标系：

将变量更改 应用于线性常微分方程：

求解得到的微分方程并代回原始变量：

将结果与原常微分方程的解进行比较：

范围  (18)

常微分方程  (6)

化简一个变量更改的二阶线性微分方程：

通过变量更改 ，将非线性 Riccati 方程转换为线性 ODE：

将三角变换 应用于常微分方程：

将复值变换 和 应用于常微分方程：

将变量更改 应用于微分方程：

使用 将可变系数非线性 ODE 简化为常系数方程：

偏微分方程  (5)

将 维波动方程转换为空坐标：

应用相同的变换，但用新坐标表示旧坐标：

将变量更改 应用于热方程：

将变量更改 和 应用于偏微分方程：

将变量更改 和 应用于偏微分方程：

对偏微分方程进行纯符号变换：

偏微分方程和命名坐标系  (7)

将三维泊松方程从笛卡尔坐标系转换为柱坐标系：

将三维波动方程从笛卡尔坐标系转换为柱坐标系：

将三维双调和方程从笛卡尔坐标系转换为球坐标系：

将球坐标中的三维热方程转换回笛卡尔坐标：

将球坐标中的三维薛定谔变换为柱坐标：

用超球面坐标表示四维拉普拉斯方程：

将球面上的泊松方程从标准角坐标转换为立体坐标：

应用  (6)

在量子力学中，算子 是 方向角动量的倍数. 通过将方程 转换为极坐标来证明这一点：

考虑柯西-欧拉方程 . 通过应用变量更改 ，可以将此 ODE 转换为具有常数系数的方程：

将变换 应用于线性二阶常微分方程 ：

将变换后的方程除以 可以得到一个显著简化的微分方程：

热方程 (partialf)/(partialt)=TemplateBox[{f, }, Laplacian] 在三维中的球对称解可以化简为线性 ODE. 首先，写出球坐标方程：

然后更改为结合空间和时间坐标的单个变量 的函数：

在热质传递问题中，方程采用形式 TemplateBox[{H, }, Laplacian]=u (((1-mu^2) )/r(partialH(r,mu))/(partialmu)+mu (partialH(r,mu))/(partialr))，其中 为常数， 为到原点的距离， 是极角的修改. 从标准球坐标出发，用局部坐标表示这个方程，然后证明它可以化简为泊松方程. 将 TemplateBox[{H, }, Laplacian] 设置为等于一个常数，并使用 DSolveChangeVariables 改变极角的表达方式：

创建一个运算符，以在这些坐标中表示拉普拉斯算子：

使用 更改为新的自变量：

除以指数，并将无导数的项从右手边分离出来：

左手侧是修正球坐标中的拉普拉斯算子，确认这是泊松方程：

将变量分离变换应用于热方程型的偏微分方程：

除以 后，可以看到变量被分离了：

属性和关系  (2)

结果总是有一个不活动的头部，不管输入的形式如何：

DSolveChangeVariables 有效使用 CoordinateTransformData 的 "Mapping" 属性：

可能存在的问题  (1)

DSolveChangeVariables 变换微分算子，这里给出 ：

线性微分算子可以转换为向量场，尽管 TransformedField 将用正交基表示结果，这里给出 ：

Wolfram Research (2022)，DSolveChangeVariables，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/DSolveChangeVariables.html.

文本

Wolfram Research (2022)，DSolveChangeVariables，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/DSolveChangeVariables.html.

CMS

Wolfram 语言. 2022. "DSolveChangeVariables." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/DSolveChangeVariables.html.

APA

Wolfram 语言. (2022). DSolveChangeVariables. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/DSolveChangeVariables.html 年

BibTeX

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