WOLFRAM

Wolfram 语言与系统参考资料中心

DivisorSum[n,form]

对于可以整除 n 的所有 i，给出 form[i] 的和.

DivisorSum[n,form,cond]

仅包含 cond[i] 为 True 的除数.

更多信息
Details and Options Details and Options
范例  
基本范例  
范围  
数值运算
符号运算  
应用  
基本应用  
数论  
属性和关系  
可能存在的问题  
参见
相关指南
历史
按以下格式引用：

DivisorSum

DivisorSum[n,form]

对于可以整除 n 的所有 i，给出 form[i] 的和.

DivisorSum[n,form,cond]

仅包含 cond[i] 为 True 的除数.

更多信息

  • 整数数学函数，适合符号和数值运算.
  • n 可以是符号或一个正整数.
  • form 和 cond 必须是 Function 对象.
  • 对于正数 n，DivisorSum[n,form] 等价于 Sum[form[d],{d,Divisors[n]}].
  • 当 n 是一个正整数时，DivisorSum[n,form,cond] 自动化简.
  • 当 form 是一个多项式函数时，DivisorSum[n,form] 自动化简.

范例

打开所有单元 关闭所有单元

基本范例  (2)

求 的因数的和：

Wolfram Language code: DivisorSum[30, #&]

绘制前 50 个数字的因数的和：

Wolfram Language code: DiscretePlot[DivisorSum[n, #&], {n, 50}]

范围  (12)

数值运算 (5)

DivisorSum 适用于形式表达式：

Wolfram Language code: DivisorSum[20, f]

对正整数计算出精确值：

Wolfram Language code: DivisorSum[20, #&]

可以对除数设定条件：

Wolfram Language code: DivisorSum[20, #&, # < 5&]
Wolfram Language code: DivisorSum[20, f, PrimeQ]

对大数进行计算：

Wolfram Language code: DivisorSum[10 ^ 50 + 1, #&]

DivisorSum 逐项作用于列表的各个元素：

Wolfram Language code: DivisorSum[{2, 5, 10}, # ^ 2&]

符号运算  (7)

TraditionalForm 格式：

Wolfram Language code: DivisorSum[x, f]//TraditionalForm

对于多项式函数，DivisorSum 自动进行化简：

Wolfram Language code: DivisorSum[n, # ^ 2 + 2# + 5&]

约简表达式：

Wolfram Language code: Reduce[DivisorSum[n, #&] == 2n - 4 && 0 < n < 40, n, Integers]

解方程：

Wolfram Language code: Solve[DivisorSum[n, EulerPhi] < DivisorSum[n - 1, #&] && 1 < n < 10, n, Integers]

化简表达式：

Wolfram Language code: FullSimplify[DivisorSum[2 ^ (p - 1)(2 ^ p - 1), #&], Element[2 ^ p - 1, Primes]]

符号式求和：

Wolfram Language code: DivisorSum[x, MangoldtLambda]
Wolfram Language code: DivisorSum[n, MoebiusMu]
Wolfram Language code: DivisorSum[n, MoebiusMu[n / #] Log[#] &]

母函数：

Wolfram Language code: GeneratingFunction[DivisorSum[n, Function[m, EulerPhi[m]]], n, x]

应用  (8)

基本应用  (3)

绘制前 100 个数字的因数的和：

Wolfram Language code: DiscretePlot[DivisorSum[n, #&], {n, 100}]

经典恒等式：

Wolfram Language code: 4DivisorSum[n, (-1)^(# - 1) / 2&, OddQ]
Wolfram Language code: 4DivisorSum[n, Sin[(π #/2)]&]
Wolfram Language code: 8DivisorSum[n, #&, Mod[#, 4] ≠ 0&]
Wolfram Language code: 16DivisorSum[n, (-1)^n + ##^3&]

幂的和：

Wolfram Language code: DivisorSum[n, 1&]
Wolfram Language code: DivisorSum[n, # ^ k&]

数论  (5)

计算 Euler 总计函数的 Lambert 级数：

Wolfram Language code: GeneratingFunction[DivisorSum[n, Function[m, EulerPhi[m]]], n, x]

计算 Jordan 总计函数： [更多信息]

Wolfram Language code: jordanTotient[n_, k_] := DivisorSum[n, # ^ k MoebiusMu[n / #]&];

当 时，等价于 Euler 总计函数：

Wolfram Language code: AllTrue[Range[100], jordanTotient[#, 1] == EulerPhi[#]&]
Wolfram Language code: jordanTotient[#, 2]& /@ Range[20]

计算 twisted divisor sum：

Wolfram Language code: twistedDivisorSum[s_, k_, j_, n_] := DivisorSum[n, DirichletCharacter[k, j, #] * # ^ s&];
Wolfram Language code: Table[twistedDivisorSum[s, 6, 2, m], {m, 1, 10}]

定义 unitary convolution：

Wolfram Language code: unitaryConvolution[f_, g_, n_, m_] := DivisorSum[m, Evaluate[(f /. n -> #)(g /. n -> (m / #))]&, CoprimeQ[#, m / #]&];
Wolfram Language code: Table[unitaryConvolution[n, 1 / n, n, m], {m, 1, 10}]

在 上计算不可约的 n 次多项式的数目：

Wolfram Language code: polynomialCount[p_, n_] := DivisorSum[n, MoebiusMu[n / #]p ^ #&] / n;

模 5 不可约多项式：

Wolfram Language code: Table[polynomialCount[5, n], {n, 1, 20}]

模 5 不可约多项式的分布：

Wolfram Language code: DiscretePlot[polynomialCount[5, n] / 5 ^ n, {n, 20}, PlotRange -> All]

时数量的对数图：

Wolfram Language code: DiscretePlot[{polynomialCount[2, n], polynomialCount[3, n], polynomialCount[5, n]}, {n, 20}, ScalingFunctions -> "Log", PlotLegends -> {"p=2", "p=3", "p=5"}]

属性和关系  (4)

用 Divisors 计算 DivisorSum：

Wolfram Language code: Total[Divisors[1000] ^ 2]
Wolfram Language code: DivisorSum[1000, # ^ 2&]

DivisorSigma 给出整数的因数的幂的和：

Wolfram Language code: DivisorSigma[4, 15]
Wolfram Language code: DivisorSum[15, # ^ 4&]

对于正的 n，DivisorSum[n,form] 等价于 Sum[form[d],{d,Divisors[n]}]：

Wolfram Language code: n = 28; form = # ^ 2 + 2#&;
Wolfram Language code: DivisorSum[n, form]
Wolfram Language code: Sum[form[d], {d, Divisors[n]}]

素数的素因数的和给出原来的数：

Wolfram Language code: PrimeQ[11]
Wolfram Language code: DivisorSum[11, #&, PrimeQ]

可能存在的问题  (2)

DivisorSum 的参数不受 N 的影响：

Wolfram Language code: N[DivisorSum[n, 1 / (# + 1)&]]

计算后，结果可能受到 N 的影响：

Wolfram Language code: N[DivisorSum[9, 1 / (# + 1)&]]

只使用对条件明确给出 True 的因数：

Wolfram Language code: DivisorSum[10, f, g]
Wolfram Research (2008)，DivisorSum，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/DivisorSum.html.

文本

Wolfram Research (2008)，DivisorSum，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/DivisorSum.html.

CMS

Wolfram 语言. 2008. "DivisorSum." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/DivisorSum.html.

APA

Wolfram 语言. (2008). DivisorSum. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/DivisorSum.html 年

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2026_divisorsum, author="Wolfram Research", title="{DivisorSum}", year="2008", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/DivisorSum.html}", note=[Accessed: 18-June-2026]}

BibLaTeX

@online{reference.wolfram_2026_divisorsum, organization={Wolfram Research}, title={DivisorSum}, year={2008}, url={https://reference.wolfram.com/language/ref/DivisorSum.html}, note=[Accessed: 18-June-2026]}