Factorial2

n!!

n の二重階乗を求める．

詳細

  • 記号操作・数値操作の両方に適した数学関数である．
  • n!!は，偶数 n に対し偶数の積を，または，奇数 n に対し奇数の積を与える．
  • Factorial2は任意の数値精度で評価できる．
  • Factorial2は自動的にリストに縫い込まれる．
  • Factorial2はIntervalオブジェクトおよびCenteredIntervalオブジェクトに使うことができる． »

例題

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例  (7)

整数値で評価する：

実数値で評価する：

実数の部分集合上でプロットする：

複素数の部分集合上でプロットする：

原点における級数展開：

Infinityにおける級数展開：

特異点における級数展開：

スコープ  (30)

数値評価  (6)

数値的に評価する：

高精度で評価する：

出力精度は入力精度に従う：

複素数入力：

高精度で効率的に評価する：

IntervalオブジェクトとCenteredIntervalオブジェクトを使って最悪の場合に保証される区間を計算する：

Aroundを使って平均的な場合の統計区間を計算することもできる：

配列の要素ごとの値を計算する：

MatrixFunctionを使って行列のFactorial2関数を計算することもできる：

特定の値  (3)

固定点におけるFactorial2の値：

ゼロにおける値：

Factorial2[x]の最初の正の最大値を求める：

可視化  (2)

Factorial2関数をプロットする：

の実部をプロットする：

の虚部をプロットする：

関数の特性  (10)

二重階乗の実領域：

複素領域：

二重階乗は鏡特性を持つ：

Factorial2は要素単位でリストに縫い込まれる：

Factorial2は解析関数ではない：

しかし，有理型ではある：

Factorial2は非減少でも非増加でもない：

Factorial2は単射ではない：

Factorial2は全射ではない：

Factorial2は非負でも非正でもない：

Factorial2は z≤-2のとき特異点と不連続点の両方を持つ：

Factorial2は凸でも凹でもない：

微分  (2)

n についての一次導関数：

z についての高次導関数：

z についての高次導関数をプロットする：

級数展開  (4)

Seriesを使ってテイラー(Taylor)展開を求める：

の周りの最初の2つの近似をプロットする：

Infinityにおける級数展開を求める：

任意の記号方向 についての級数展開を求める：

生成点における級数展開：

関数の恒等式と簡約  (3)

関数の恒等式：

漸化式：

整数上のFactorialとFactorial2の関係：

一般化と拡張  (3)

無限大の引数は記号的な結果を返す：

極における級数展開：

無限大における級数展開（一般化されたスターリング(Stirling)近似）：

アプリケーション  (5)

複素平面における二重階乗の絶対値のプロット：

階乗および二重階乗に関する の無限級数：

この級数を使って の最初の30桁を計算する：

Piを数値評価したものと比較する：

二重階乗についてカタラン数の式を確認する：

が奇数の素数のとき，ウィルソン(Wilson)の定理の一般化ではTemplateBox[{{{{(, {p, -, 1}, )}, !!}, =, {G, (, {p, +, 1}, )}}, p}, Mod] となる．最初のいくつかの奇数の素数を確認する：

奇数の二重階乗の行列式表現：

特性と関係  (8)

FunctionExpandを使って二重階乗をGamma関数で表す：

FullSimplifyを使って二重階乗を含む式を簡約する：

Factorial2を含む総和：

母関数：

もとのベキ級数を復元する：

二重階乗を含む積：

Factorial2はDifferenceRootとして表すことができる：

FindSequenceFunctionはFactorial2数列を認識する：

Factorial2の指数母関数：

考えられる問題  (3)

大きい引数は，たとえ近似的にでも明示的に計算するのには大きすぎる結果を与えることがある：

もっと小さい値だとうまくいく：

機械数の入力で高精度の結果が得られることがある：

階乗の繰り返しを計算する場合には ではなくを使う：

おもしろい例題  (3)

Factorial2を無限大でプロットする：

10000!!における0から9までの桁数を求める：

階乗の階乗を二重階乗で割った比をプロットする：

Wolfram Research (1988), Factorial2, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/Factorial2.html （2022年に更新）.

テキスト

Wolfram Research (1988), Factorial2, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/Factorial2.html （2022年に更新）.

CMS

Wolfram Language. 1988. "Factorial2." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. Last Modified 2022. https://reference.wolfram.com/language/ref/Factorial2.html.

APA

Wolfram Language. (1988). Factorial2. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/Factorial2.html

BibTeX

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BibLaTeX

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