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FunctionBijective[f,x]

测试对于每一个 y∈Reals，是否只有一个解 x∈Reals.

FunctionBijective[f,x,dom]

测试对于每一个 y∈dom，是否只有一个解 x∈dom.

FunctionBijective[{f₁,f₂,…},{x₁,x₂,…},dom]

测试对于每一个 y₁,y₂,…∈dom，是否只有一个解 x₁,x₂,…∈dom.

FunctionBijective[{funs,xcons,ycons},xvars,yvars,dom]

测试对于每一个受约束条件 ycons 限制的 yvars∈dom，是否只有一个受约束条件 xcons 限制的解 xvars∈dom.

FunctionBijective

FunctionBijective[f,x]

测试对于每一个 y∈Reals，是否只有一个解 x∈Reals.

FunctionBijective[f,x,dom]

测试对于每一个 y∈dom，是否只有一个解 x∈dom.

FunctionBijective[{f₁,f₂,…},{x₁,x₂,…},dom]

测试对于每一个 y₁,y₂,…∈dom，是否只有一个解 x₁,x₂,…∈dom.

FunctionBijective[{funs,xcons,ycons},xvars,yvars,dom]

测试对于每一个受约束条件 ycons 限制的 yvars∈dom，是否只有一个受约束条件 xcons 限制的解 xvars∈dom.

范例

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基本范例 (4)

在实数上测试单变量函数的双射性：

Wolfram Language code: FunctionBijective[Sinh[x], x]

在复数上测试双射性：

Wolfram Language code: FunctionBijective[Sinh[x], x, Complexes]

在实数上测试多项式映射的双射性：

Wolfram Language code: FunctionBijective[{x + y ^ 3, y - x ^ 5}, {x, y}]

测试含有符号系数的多项式的双射性：

Wolfram Language code: FunctionBijective[x ^ 3 + a x + b, x]

范围 (10)

实数上的双射性：

Wolfram Language code: FunctionBijective[x ^ 3 - x, x]

一些值被取了不止一次：

Wolfram Language code: Plot[{x ^ 3 - x, 1 / 4}, {x, -2, 2}]

实数子集间的双射性：

Wolfram Language code: FunctionBijective[{x ^ 3 - x, x > 1, y > 0}, x, y]

对于，每个正值只被取了一次：

Wolfram Language code: Plot[{x ^ 3 - x, 10}, {x, 1, 3}]

复数上的双射性：

Wolfram Language code: FunctionBijective[Log[x], x, Complexes]

有些值没有被取到：

Wolfram Language code: Reduce[Log[x] == y, x]

对数是到的双射函数：

Wolfram Language code: FunctionBijective[{Log[x], True, -Pi < Im[y] ≤ Pi}, x, y, Complexes]

复数子集上的双射性：

Wolfram Language code: FunctionBijective[{x ^ 4, Re[x] ≥ 0 && Im[x] > 0 || x == 0}, x, Complexes]

在整个复平面上不是双射的：

Wolfram Language code: FunctionBijective[x ^ 4, x, Complexes]

一些值被取了不止一次：

Wolfram Language code: Reduce[x ^ 4 == 1, x]

整数上的双射性：

Wolfram Language code: FunctionBijective[{x + 1, Element[x, Integers], Element[y, Integers]}, x, y]

线性映射的双射性：

Wolfram Language code: A = {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}};

Wolfram Language code: FunctionBijective[A.{x, y, z}, {x, y, z}]

Wolfram Language code: B = {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 0}};

Wolfram Language code: FunctionBijective[B.{x, y, z}, {x, y, z}]

当且仅当线性映射的矩阵是方阵且具有最大秩，线性映射才是双射的：

Wolfram Language code: {MatrixRank[A], MatrixRank[B]}

多项式映射的双射性：

Wolfram Language code: FunctionBijective[{x ^ 3 - 3x y ^ 2, 3x ^ 2y - y ^ 3}, {x, y}]

限制映射 $TemplateBox[{}, NonNegativeReals]^2->TemplateBox[{}, Reals]^2\(TemplateBox[{}, PositiveReals]xTemplateBox[{}, NegativeReals])$ （等于的实部和虚部）是双射的：

Wolfram Language code: FunctionBijective[{{x ^ 3 - 3x y ^ 2, 3x ^ 2y - y ^ 3}, x ≥ 0 && y ≥ 0, u ≤ 0 || v ≥ 0}, {x, y}, {u, v}]

多项式映射的双射性：

Wolfram Language code: FunctionBijective[{x + y ^ 3, y - x ^ 5}, {x, y}, Complexes]

双射型复多项式映射的雅可比行列式必须是常数：

Wolfram Language code: Det[D[{x + y ^ 3, y - x ^ 5}, {{x, y}}]]

雅可比猜想指出逆命题是正确的：

Wolfram Language code: Det[D[{x - (x + y / 27) ^ 3, y + (3 x + y / 9) ^ 3}, {{x, y}}]]

事实上，下面的雅可比行列式为常数的多项式映射是双射的：

Wolfram Language code: FunctionBijective[{x - (x + y / 27) ^ 3, y + (3 x + y / 9) ^ 3}, {x, y}, Complexes]

含有符号参数的实多项式的双射性：

Wolfram Language code: FunctionBijective[x ^ 3 + a x ^ 2 + b x + c, x]

含有符号参数的实多项式映射的双射性：

Wolfram Language code: FunctionBijective[{x + a y ^ 3, y + b x ^ 3}, {x, y}]

选项 (4)

Assumptions (1)

此处，FunctionBijective 给出有条件的答案：

Wolfram Language code: FunctionBijective[{x + a y ^ 3, y + 2 x ^ 3}, {x, y}]

下面检查取其他实值时的双射性：

Wolfram Language code: FunctionBijective[{x + a y ^ 3, y + 2 x ^ 3}, {x, y}, Assumptions -> a > 0]

GenerateConditions (2)

默认情况下，FunctionBijective 可能会对符号参数生成条件：

Wolfram Language code: FunctionBijective[x ^ 3 + a x ^ 2 + b x + c, x]

如果设置 GenerateConditions->None，FunctionBijective 会失败，而不是给出有条件的结果：

Wolfram Language code: FunctionBijective[x ^ 3 + a x ^ 2 + b x + c, x, GenerateConditions -> None]

下面返回有条件的有效结果，但没有给出条件：

Wolfram Language code: FunctionBijective[x ^ 3 + a x ^ 2 + b x + c, x, GenerateConditions -> False]

默认情况下，报告所有的条件：

Wolfram Language code: FunctionBijective[a x, x, Complexes]

如果设置 GenerateConditions->Automatic，不报告通常为真的条件：

Wolfram Language code: FunctionBijective[a x, x, Complexes, GenerateConditions -> Automatic]

PerformanceGoal (1)

用 PerformanceGoal 避免潜在费时的计算：

Wolfram Language code: FunctionBijective[x ^ 5 + a x ^ 4 + b x ^ 3 + c x ^ 2 + d x, x, PerformanceGoal -> "Speed"]

默认设置则尝试利用所有可用的技术来给出结果：

Wolfram Language code: FunctionBijective[x ^ 5 + a x ^ 4 + b x ^ 3 + c x ^ 2 + d x, x]

应用 (11)

基本应用 (8)

查看的双射性：

Wolfram Language code: FunctionBijective[x ^ 3, x]

每个值只取一次：

Wolfram Language code: Plot[{x ^ 3, -3, 3}, {x, -2, 2}]

不是双射的：

Wolfram Language code: FunctionBijective[x ^ 3 - x, x]

某些值（如）被取了不止一次：

Wolfram Language code: Plot[{x ^ 3 - x, 1 / 4}, {x, -2, 2}]

不是双射的：

Wolfram Language code: FunctionBijective[ArcTan[x], x]

某些值（如）没有被取到：

Wolfram Language code: Plot[{ArcTan[x], 2}, {x, -5, 5}]

在实定义域内是双射的：

Wolfram Language code: FunctionBijective[Log[x], x]

每个值只取一次：

Wolfram Language code: Plot[{Log[x], -1, 1}, {x, 0, 5}]

证明是双射的：

Wolfram Language code: FunctionBijective[SinhIntegral[x], x]

Wolfram Language code: Plot[SinhIntegral[x], {x, -5, 5}]

证明不是双射的：

Wolfram Language code: FunctionBijective[Hyperfactorial[x], x]

Wolfram Language code: Plot[Hyperfactorial[x], {x, -1, 2}]

当且仅当函数既是单射又是满射的，函数才是双射的：

Wolfram Language code: FunctionInjective[x ^ 3 / (x ^ 2 + 1), x]

Wolfram Language code: FunctionSurjective[x ^ 3 / (x ^ 2 + 1), x]

Wolfram Language code: FunctionBijective[x ^ 3 / (x ^ 2 + 1), x]

Wolfram Language code: Plot[x ^ 3 / (x ^ 2 + 1), {x, -1, 1}]

不是双射的，因为它不是单射的：

Wolfram Language code: FunctionInjective[x Sin[x], x]

Wolfram Language code: FunctionBijective[x Sin[x], x]

Wolfram Language code: Plot[x Sin[x], {x, -20, 20}]

不是双射的，因为它不是满射的：

Wolfram Language code: FunctionSurjective[Erf[x], x]

Wolfram Language code: FunctionBijective[Erf[x], x]

Wolfram Language code: Plot[Erf[x], {x, -5, 5}]

如果任何一条水平线与曲线只相交一次，则该函数是双射的：

Wolfram Language code: f = (3x ^ 7 + 3x ^ 2 + x ^ 3) / (x ^ 6 + 2x ^ 2);

Wolfram Language code: FunctionBijective[f, x]

Wolfram Language code: Manipulate[Plot[{f, a}, ...], {{a, 1.5}, -5, 5}]

不是双射的：

Wolfram Language code: FunctionBijective[SinIntegral[x], x]

一些水平线与曲线相交不止一次; 而另一些则根本不相交：

Wolfram Language code: Manipulate[Plot[{SinIntegral[x], a}, ...], {{a, 1.5}, -3, 3}]

双射函数的复合函数是双射的：

Wolfram Language code: FunctionBijective[x ^ 3, x]

Wolfram Language code: FunctionBijective[Sinh[x], x]

Wolfram Language code: FunctionBijective[#, x]& /@ {Sinh[x ^ 3], Sinh[x] ^ 3}

如果的秩等于，则由给定的仿射映射 $TemplateBox[{}, Reals]^n->TemplateBox[{}, Reals]^n$ 是双射的：

Wolfram Language code: Subscript[A, 1] = {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 0}};

Wolfram Language code: MatrixRank[Subscript[A, 1]]

Wolfram Language code: FunctionBijective[Subscript[A, 1].{x, y, z} + {1, 2, 3}, {x, y, z}]

Wolfram Language code: Subscript[A, 2] = {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}};

Wolfram Language code: MatrixRank[Subscript[A, 2]]

Wolfram Language code: FunctionBijective[Subscript[A, 2].{x, y, z} + {1, 2, 3}, {x, y, z}]

概率 (1)

PDF 严格为正的分布的 CDF 是到的双射函数：

Wolfram Language code: pdf = PDF[NormalDistribution[], x]

Wolfram Language code: FunctionSign[pdf, x]

Wolfram Language code: Plot[pdf, {x, -5, 5}]

Wolfram Language code: cdf = CDF[NormalDistribution[], x]

Wolfram Language code: FunctionBijective[{cdf, True, 0 < y < 1}, x, y]

Wolfram Language code: Plot[cdf, {x, -3, 3}]

SurvivalFunction 也是到的双射函数：

Wolfram Language code: sf = SurvivalFunction[NormalDistribution[], x]

Wolfram Language code: FunctionBijective[{sf, True, 0 < y < 1}, x, y]

Wolfram Language code: Plot[sf, {x, -5, 5}]

Quantile 是到实数的双射函数：

Wolfram Language code: qf = Quantile[NormalDistribution[], x]

Wolfram Language code: FunctionBijective[qf, x]

Wolfram Language code: Plot[qf, {x, 0, 1}]

微积分 (2)

通过更改变量计算：

Wolfram Language code: e = Exp[-(x ^ 3 + y ^ 2) ^ 2] / (y ^ 6 + 1)x ^ 2y ^ 2;

如果是双射映射，则 $int_Uf(g(u)) TemplateBox[{TemplateBox[{{{(, {partial, g}, )}, /, {(, {partial, u}, )}}}, Det]}, Abs]du=int_Vf(v)dv$ ：

Wolfram Language code: f[{u_, v_}] := 1 / 9Exp[-u ^ 2] / (v ^ 2 + 1)

Wolfram Language code: g = {x ^ 3 + y ^ 2, y ^ 3};

Wolfram Language code: f[g]Det[D[g, {{x, y}}]] === e

确认是双射映射 $TemplateBox[{}, Reals]^2->TemplateBox[{}, Reals]^2$ ：

Wolfram Language code: FunctionBijective[g, {x, y}]

计算积分：

Wolfram Language code: Integrate[f[{u, v}], {u, -Infinity, Infinity}, {v, -Infinity, Infinity}]

直接计算原来的积分：

Wolfram Language code: Integrate[e, {x, -Infinity, Infinity}, {y, -Infinity, Infinity}]

使用有理参数化计算半径为的球的表面积：

Wolfram Language code: f = {(2 r (1 - t^2) u/(1 + t^2) (1 + u^2)), (4 r t u/(1 + t^2) (1 + u^2)), (r (1 - u^2)/1 + u^2)};

Wolfram Language code: ParametricPlot3D[Evaluate[f /. r -> 1], {t, -50, 50}, {u, 0, 50}, ...]

检查参数化是到球上的双射，而不是低维集合：

Wolfram Language code:

FunctionBijective[{f, u > 0, x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 == r ^ 2 && (y ≠ 0 || x > 0)}, {t, u}, {x, y, z}, Assumptions -> r > 0]

表面积等于的 Gram 行列式的平方根的积分：

Wolfram Language code: df = D[f, {{t, u}}];

Wolfram Language code: Integrate[Sqrt[Det[Transpose[df].df]], {u, 0, ∞}, {t, -∞, ∞}, Assumptions -> r > 0]

属性和关系 (3)

当且仅当方程对于每个只有一个解，才是双射的：

Wolfram Language code: FunctionBijective[x ^ 2 + x + 1, x]

Wolfram Language code: FunctionBijective[x ^ 3 + x + 1, x]

用 Solve 求出解：

Wolfram Language code: Solve[x ^ 2 + x + 1 == y, x, Reals]

Wolfram Language code: Solve[x ^ 3 + x + 1 == y, x, Reals]

一个在区间上连续的实函数是双射的，当且仅当它是单调的并且在端点处的极限是和：

Wolfram Language code: FunctionBijective[{Sec[x], -Pi / 2 < x < Pi / 2}, x]

Wolfram Language code: FunctionBijective[{Tan[x], -Pi / 2 < x < Pi / 2}, x]

Wolfram Language code: Plot[{Sec[x], Tan[x]}, {x, -Pi / 2, Pi / 2}]

用 FunctionMonotonicity 确定函数的单调性：

Wolfram Language code: FunctionMonotonicity[{Sec[x], -Pi / 2 < x < Pi / 2}, x]

Wolfram Language code: FunctionMonotonicity[{Tan[x], -Pi / 2 < x < Pi / 2}, x]

用 Limit 计算极限：

Wolfram Language code: Limit[{Sec[x], Tan[x]}, x -> -Pi / 2, Direction -> "FromAbove"]

Wolfram Language code: Limit[{Sec[x], Tan[x]}, x -> Pi / 2, Direction -> "FromBelow"]

当且仅当复多项式映射有多项式逆元 (polynomial inverse)，它才是双射的：

Wolfram Language code: F = {x - (x + y / 27) ^ 3, y + (3 x + y / 9) ^ 3};

Wolfram Language code: FunctionBijective[F, {x, y}, Complexes]

用 Solve 求多项式的逆元：

Wolfram Language code: G = {x, y} /. Solve[{u, v} == {x - (x + y / 27) ^ 3, y + (3 x + y / 9) ^ 3}, {x, y}][[1]]

验证是的双边逆元：

Wolfram Language code: Expand[G /. Thread[{u, v} -> F]]

Wolfram Language code: Expand[F /. Thread[{x, y} -> G]]

可能存在的问题 (2)

FunctionBijective 用 FunctionDomain 确定函数的实定义域：

Wolfram Language code: FunctionBijective[{Cosh[Sqrt[x]], True, y ≥ 1}, x, y]//Quiet

在 FunctionDomain 给出的实定义域上，是到的双射函数：

Wolfram Language code: FunctionDomain[Cosh[Sqrt[x]], x]

Wolfram Language code: Plot[{Cosh[Sqrt[x]], 7}, {x, 0, 10}]

是实值函数，在所有实数上不是到的双射函数：

Wolfram Language code: Plot[{Cosh[Sqrt[x]], -1 / 2}, {x, -20, 10}]

的所有子表达式需为实值，该点才属于的实定义域：

Wolfram Language code: Refine[Element[Sqrt[x], Reals], x < 0]

FunctionBijective 将定义域限制为 ycons 的解集的逆像：

Wolfram Language code: FunctionBijective[{x / 2, Element[x, Integers], Element[y, Integers]}, x, y]

除以 2 是偶数整数（整数的逆像）和整数之间的双射函数.

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Assumptions	$Assumptions	对参数的设定
GenerateConditions	True	是否生成关于参数的条件
PerformanceGoal	$PerformanceGoal	优先考虑速度还是质量

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