FunctionInjective

FunctionInjective[f,x]

测试对于每一个 y， 是否最多只有一个解 x∈Reals.

FunctionInjective[f,x,dom]

测试 是否最多只有一个解 x∈dom.

FunctionInjective[{f1,f2,…},{x1,x2,…},dom]

测试 是否最多只有一个解 x1,x2,…∈dom.

FunctionInjective[{funs,xcons,ycons},xvars,yvars,dom]

测试对于每一个受约束条件 ycons 限制的 yvars∈dom， 是否最多只有一个受约束条件 xcons 限制的解 xvars∈dom.

更多信息和选项

  • 单射函数也被称为一一映射 (one-to-one).
  • 如果对于每个 ，最多存在一个 ，使得 ，则函数 是单射的.
  • 如果映射 是单射，则 FunctionInjective[{funs,xcons,ycons},xvars,yvars,dom] 返回 True，其中 是 xcons 的解集， 是 ycons 的解集.
  • 如果 funs 含有除 xvars 之外的参数，则结果通常为 ConditionalExpression.
  • dom 的可能的值为 Reals 和 Complexes. 如果 dom 是 Reals，则所有变量、参数、常数和函数值都必须为实数.
  • funs 的定义域受 FunctionDomain 给定的条件限制.
  • xcons 和 ycons 可含有等式、不等式或它们的逻辑组合.
  • 可给出以下选项：
  • Assumptions $Assumptions对参数的设定
    GenerateConditions True是否生成关于参数的条件
    PerformanceGoal $PerformanceGoal优先考虑速度还是质量
  • GenerateConditions 的可能的设置包括：
  • Automatic只给出非通用条件
    True给出所有条件
    False不给出条件
    None如果需要条件则不经计算直接返回
  • PerformanceGoal 的可能设置为 "Speed" 和 "Quality".

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例  (4)

在实数上测试单变量函数的单射性：

在复数上测试单射性：

在实数上测试多项式映射的单射性：

测试含有符号系数的多项式的单射性：

范围  (12)

实数上的单射性：

一些值被取了不止一次：

实数子集上的单射性：

对于 ，每个值最多只被取了一次：

实数子集的逆像上的单射性：

每个 的 值最多只被取了一次：

复数上的单射性：

每个值最多只被取了一次：

复数子集上的单射性：

在整个复平面上不是单射的：

一些值被取了不止一次：

整数上的单射性：

线性映射的单射性：

当且仅当线性映射的矩阵的秩等于其定义域的维度，线性映射才是单射的：

多项式映射 的单射性：

每个值最多只被取了一次：

下面的映射不是单射的：

一些值被取了不止一次：

多项式映射 的单射性：

在非负象限该映射（等于 的实部和虚部）是单射的：

多项式映射 的单射性：

单射型复多项式映射的雅可比行列式必须是常数：

雅可比猜想指出逆命题是正确的：

事实上，下面的雅可比行列式为常数的多项式映射是单射的：

含有符号参数的实多项式的单射性：

含有符号参数的实多项式映射的单射性：

选项  (4)

Assumptions  (1)

FunctionInjective 无法确定 取任意值时 TemplateBox[{n, x}, BesselI] 的单射性：

如果假设 为奇整数，FunctionInjective 即可确定函数的单射性：

GenerateConditions  (2)

默认情况下，FunctionInjective 可能会对符号参数生成条件：

如果设置 GenerateConditionsNone，FunctionInjective 会失败，而不是给出有条件的结果：

下面返回有条件的有效结果，但没有给出条件：

默认情况下，报告所有的条件：

如果设置 GenerateConditionsAutomatic，不报告通常为真的条件：

PerformanceGoal  (1)

用 PerformanceGoal 避免潜在费时的计算：

默认设置则尝试利用所有可用的技术来给出结果：

应用  (17)

基本应用  (8)

查看 的单射性：

不是单射的， 被取了不止一次：

查看 的单射性：

每个值最多只被取了一次：

查看 在实定义域上的单射性：

在实定义域 () 上是单射的：

查看 Clip[x] 在所有实数上的单射性：

和 在 [-∞,-1] 和 [1, ∞] 上被取了不止一次：

限制在区间 [-1, 1] 上的 Clip[x] 是单射的：

如果任何一条水平线与曲线最多只相交一次，则该函数是单射的：

如果水平线与曲线相交超过一次，则该函数不是单射的：

周期函数不是单射的：

用 FunctionPeriod 查看函数是否是周期函数：

周期函数可取一个值无数次：

导数的正负固定不变的函数为单射函数：

用 FunctionSign 求导数的正负性：

函数严格递增，因此是单射的：

正负性固定的函数的积分是单射的：

参数值限定于 [0,2]，对正分段函数进行积分：

对于 0≤x≤2，积分是单射的：

单射函数不必是连续的或单调的：

连续的单射函数不必是单调的：

该函数是连续的，但其定义域不是连通的集合：

查看映射 的单射性：

部分 ParametricPlot 被覆盖了两次：

对于正的 和 ，映射是单射的：

ParametricPlot 的每个点只被覆盖了一次：

此处，很明显，点 {0,0} 被覆盖了多次：

下面是映射到 {0,0} 的所有 和 ：

除去这些点，映射是单射的：

解方程与不等式  (4)

如果对于任何 值，方程 最多只有一个 解，则 是单射的：

有一个解：

没有解：

最多只有一个解：

映射 不是单射的：

方程 有两个解：

将 限制到 时函数是单射的：

方程 在 时最多只有一个解：

任何单射函数 都有反函数：

反函数的定义域是 的值域：

在连通的集合上定义的具有非零导数的可微函数是单射的：

对于 ， 的导数是正的：

对于 ， 是单射的：

的反函数满足方程 ：

确认结果确实是 的反函数（ 时）：

概率与统计  (2)

PDF 严格为正的分布的 CDF 是单射的：

SurvivalFunction 和 Quantile 也是单射的：

微积分  (3)

通过更改变量计算 ：

如果 是单射映射，则 int_Uf(g(u)) TemplateBox[{TemplateBox[{{{(, {partial, g}, )}, /, {(, {partial, u}, )}}}, Det]}, Abs]du=int_(g(U))f(v)dv：

求 的值域以确定积分界限：

计算积分：

直接计算原来的积分：

使用有理参数化计算半径为 的球的表面积：

确认参数化是单射的：

表面积等于 的 Gram 行列式的平方根的积分：

用有理参数化在 "eight surface" 上对 进行积分：

确认在一维集合之外参数化是单射的：

计算 g(f(t,u))sqrt(TemplateBox[{{TemplateBox[{{(, {{(, {partial, f}, )}, /, {(, {partial, {{, {t, ,, u}, }}}, )}}, )}}, Transpose], ., {(, {{(, {partial, f}, )}, /, {(, {partial, {{, {t, ,, u}, }}}, )}}, )}}}, Det]) 的积分：

与使用 "eight surface" 的隐式描述计算的值进行比较：

属性和关系  (3)

当且仅当方程 对于每个 最多只有一个解， 才是单射的：

用 Solve 求出解：

连通集合上的实单变量连续函数是单射的，当且仅当它是单调的：

用 FunctionMonotonicity 确定函数的单调性：

当且仅当复多项式映射有多项式逆元 (polynomial inverse)，它才是单射的：

用 Solve 求多项式的逆元：

验证 是 的双边逆元：

可能存在的问题  (1)

FunctionInjective 用 FunctionDomain 确定函数的实定义域：

在 FunctionDomain 给出的实定义域上， 是单射的：

是实值函数，在所有实数上不是单射函数：

的所有子表达式需为实值，该点才属于 的实定义域：

Wolfram Research (2020)，FunctionInjective，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/FunctionInjective.html.

文本

Wolfram Research (2020)，FunctionInjective，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/FunctionInjective.html.

CMS

Wolfram 语言. 2020. "FunctionInjective." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/FunctionInjective.html.

APA

Wolfram 语言. (2020). FunctionInjective. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/FunctionInjective.html 年

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