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GegenbauerC[n,m,x]

ゲーゲンバウア(Gegenbauer)多項式 TemplateBox[{n, m, x}, GegenbauerC]を与える．

GegenbauerC[n,x]

くりこみ形式TemplateBox[{{TemplateBox[{n, m, x}, GegenbauerC], /, m}, m, 0}, Limit2Arg] を与える．

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GegenbauerC

GegenbauerC[n,m,x]

ゲーゲンバウア(Gegenbauer)多項式 TemplateBox[{n, m, x}, GegenbauerC]を与える．

GegenbauerC[n,x]

くりこみ形式TemplateBox[{{TemplateBox[{n, m, x}, GegenbauerC], /, m}, m, 0}, Limit2Arg] を与える．

詳細

  • 記号操作・数値操作の両方に適した数学関数である．
  • 整数 n や m について明示的な多項式が与えられる．
  • TemplateBox[{n, m, x}, GegenbauerC]は微分方程式を満たす．
  • ゲーゲンバウアの多項式は，単位超球においての積分に対応する，重みの関数とともに，の区間において直交である．
  • 特別な引数の場合，GegenbauerCは，自動的に厳密値を計算する．
  • GegenbauerCは任意の数値精度で評価できる．
  • GegenbauerCは自動的にリストに縫い込まれる．
  • GegenbauerC[n,0,x]は常に0である．
  • GegenbauerC[n,m,z]は，複素 z 平面上，〜 の範囲で不連続な分枝切断線を持つ．
  • GegenbauerCはIntervalオブジェクトおよびCenteredIntervalオブジェクトに使うことができる． »

例題

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例  (7)

数値的に評価する：

Wolfram Language code: N[GegenbauerC[3, 1 / 2, 7]]

十次のゲーゲンバウア多項式を計算する：

Wolfram Language code: GegenbauerC[10, 1, x]

十次の再正規化されたゲーゲンバウア多項式を計算する：

Wolfram Language code: GegenbauerC[10, x]

実数の部分集合上でをプロットする：

Wolfram Language code: Plot[GegenbauerC[10, x], {x, -1, 1}]

複素数の部分集合上でプロットする：

Wolfram Language code: ComplexPlot3D[GegenbauerC[5, z], {z, -2 - 2I, 2 + 2I}, PlotLegends -> Automatic]

原点における級数展開：

Wolfram Language code: Series[GegenbauerC[5, x], {x, 0, 5}]

Infinityにおける漸近展開：

Wolfram Language code: Series[GegenbauerC[5, x], {x, ∞, 3}]//FullSimplify

特異点における漸近展開：

Wolfram Language code: Series[GegenbauerC[5, x], {x, -1, 3}]//FullSimplify

スコープ  (44)

数値評価  (6)

数値的に評価する：

Wolfram Language code: GegenbauerC[5, 1 / 8, 7.]
Wolfram Language code: GegenbauerC[2, 0.5]

高精度で評価する：

Wolfram Language code: N[GegenbauerC[1 / 6, 1 / 8, 7], 50]

出力精度は入力精度に従う：

Wolfram Language code: GegenbauerC[0.333333333333333333, 7, 1]

複素数入力：

Wolfram Language code: N[GegenbauerC[2 / 7, 5 - I, 2]]

高精度で効率よく評価する：

Wolfram Language code: GegenbauerC[2 / 49, 5, 1`100]//Timing
Wolfram Language code: GegenbauerC[89 / 49, 3, 5`1000];//Timing

IntervalオブジェクトとCenteredIntervalオブジェクトを使って最悪の場合に保証される区間を計算する：

Wolfram Language code: GegenbauerC[3 / 4, 4 / 5, Interval[{1.9, 2.1}]]
Wolfram Language code: GegenbauerC[3 / 4, 4 / 5, CenteredInterval[5, 1 / 100]]

Aroundを使って平均的な場合の統計区間を計算することもできる：

Wolfram Language code: GegenbauerC[1 / 2, Around[.9, 0.1]]

配列の要素ごとの値を計算する：

Wolfram Language code: GegenbauerC[3, {{2, 0}, {1 / 2, -2}}]

MatrixFunctionを使って行列のGegenbauerC関数を計算することもできる：

Wolfram Language code: MatrixFunction[GegenbauerC[3, #]&, {{2, 0}, {1 / 2, -2}}]

特定の値  (8)

固定点におけるGegenbauerCの値：

Wolfram Language code: Table[GegenbauerC[10, x ], {x, 1, 5}]

単純な場合は厳密な記号結果が与えられる：

Wolfram Language code: GegenbauerC[{1 / 3, 1 / 2}, 1 / 6, 0]

記号的な n のGegenbauerC：

Wolfram Language code: GegenbauerC[n, 0]
Wolfram Language code: GegenbauerC[n, 1 / 2, x]
Wolfram Language code: GegenbauerC[n, 1, x]
Wolfram Language code: GegenbauerC[n, x]
Wolfram Language code: Table[GegenbauerC[n, m, x], {x, 0, 1}, {m, 0, 1}]

ゼロにおける値：

Wolfram Language code: GegenbauerC[1, 0]
Wolfram Language code: GegenbauerC[0, 1, 1]

GegenbauerC[10,x ]の最初の正の最大値を求める：

Wolfram Language code: xmax = x /. Solve[D[GegenbauerC[10, x ], x] == 0 && 0 < x < 5, x][[1]]
Wolfram Language code: Plot[GegenbauerC[10, x ], {x, -1, 1}, Epilog -> Style[Point[{xmax, GegenbauerC[10, xmax ]}], PointSize[Large], Red]]

陪多項式GegenbauerC[7,x]を計算する：

Wolfram Language code: GegenbauerC[7, x]

半整数 n について陪多項式GegenbauerC[1/2,x]を計算する：

Wolfram Language code: GegenbauerC[1 / 2, x]

異なるタイプのGegenbauerCは異なる記号形式を与える：

Wolfram Language code: Table[GegenbauerC[n, m, x], {n, 0, 3}, {m, 0, 1}]

可視化  (4)

GegenbauerC関数をさまざまな次数でプロットする：

Wolfram Language code: Plot[{GegenbauerC[1, x], GegenbauerC[2, x], GegenbauerC[3, x], GegenbauerC[4, x]}, {x, -.7, .7}]

の実部をプロットする：

Wolfram Language code: ComplexContourPlot[Re[GegenbauerC[3, 1, z]], {z, -3 - 3 I, 3 + 3 I}, IconizedObject[«PlotOptions»]]

の虚部をプロットする：

Wolfram Language code: ComplexContourPlot[Im[GegenbauerC[3, 1, z]], {z, -3 - 3 I, 3 + 3 I}, IconizedObject[«PlotOptions»]]

2つのパラメータの実部が変化する様子をプロットする：

Wolfram Language code: Plot3D[Re[GegenbauerC[n, 1, z]], {n, 0, 5}, {z, -1, 1}]

第2種と第3種のGegenbauerC関数の分岐構造は異なる：

Wolfram Language code: Plot3D[Im[GegenbauerC[2, x + I y]], {x, -1.5, 1.5}, {y, -0.5, 0.5}, Exclusions -> {{y == 0, Abs[x] > 1}}]
Wolfram Language code: Plot3D[Im[GegenbauerC[3, x + I y]], {x, -1.5, 1.5}, {y, -0.5, 0.5}, Exclusions -> {{y == 0, -1 < x < 1}}, PlotRange -> All]

関数の特性  (14)

整数次数の GegenbauerCの定義域：

Wolfram Language code: {FunctionDomain[GegenbauerC[1, z], z], FunctionDomain[GegenbauerC[2, z], z]}
Wolfram Language code: {FunctionDomain[GegenbauerC[1, z], z, Complexes], FunctionDomain[GegenbauerC[2, z], z, Complexes]}

整数次数のGegenbauerCの値域：

Wolfram Language code: {FunctionRange[GegenbauerC[1, x], x, y], FunctionRange[GegenbauerC[2, x], x, y]}

複素値の範囲は平面全体である：

Wolfram Language code: {FunctionRange[GegenbauerC[1, z], z, y, Complexes], FunctionRange[GegenbauerC[2, z], z, y, Complexes]}

奇次数のゲーゲンバウア多項式は奇多項式である：

Wolfram Language code: GegenbauerC[1, -x] == -GegenbauerC[1, x]

偶次数のゲーゲンバウア多項式は偶数多項式である：

Wolfram Language code: GegenbauerC[2, -x] == GegenbauerC[2, x]

GegenbauerCは要素単位でリストに縫い込まれる：

Wolfram Language code: GegenbauerC[{1, 2, 3}, m, x]

GegenbauerCは鏡特性 を持つ：

Wolfram Language code: {GegenbauerC[1, Conjugate[z]] == Conjugate[GegenbauerC[1, z]], GegenbauerC[2, Conjugate[z]] == Conjugate[GegenbauerC[2, z]]}

ゲーゲンバウア多項式は解析的である：

Wolfram Language code: FunctionAnalytic[GegenbauerC[n, x], x, Assumptions -> n∈ℤ && n ≠ 0]

しかし，GegenbauerC関数は，一般に，非整数パラメータについては解析的ではない：

Wolfram Language code: FunctionAnalytic[GegenbauerC[1 / 2, x], x]
Wolfram Language code: FunctionAnalytic[GegenbauerC[1 / 2, 1, x], x]

有理型でもない：

Wolfram Language code: FunctionMeromorphic[GegenbauerC[1 / 2, x], x]
Wolfram Language code: FunctionMeromorphic[GegenbauerC[1 / 2, 1, x], x]

TemplateBox[{2, x}, GegenbauerC2]は非減少でも非増加でもない：

Wolfram Language code: FunctionMonotonicity[GegenbauerC[2, x], x]

TemplateBox[{2, x}, GegenbauerC2]は単射ではない：

Wolfram Language code: FunctionInjective[GegenbauerC[2, x], x]
Wolfram Language code: Plot[{GegenbauerC[2, x], 2}, {x, -2, 2}]

TemplateBox[{2, x}, GegenbauerC2]は全射ではない：

Wolfram Language code: FunctionSurjective[GegenbauerC[2, x], x]
Wolfram Language code: Plot[{GegenbauerC[2, x], -2}, {x, -2, 2}]

TemplateBox[{2, x}, GegenbauerC2]は非負でも非正でもない：

Wolfram Language code: FunctionSign[GegenbauerC[2, x], x]

TemplateBox[{n, x}, GegenbauerC2]は， が整数ではなく のとき特異点または不連続点を持つ：

Wolfram Language code: FunctionSingularities[GegenbauerC[n, x], x]
Wolfram Language code: FunctionDiscontinuities[GegenbauerC[n, x], x]

TemplateBox[{n, m, x}, GegenbauerC]は， が非整数のときも特異点を持つ：

Wolfram Language code: FunctionSingularities[GegenbauerC[n, m, x], x]
Wolfram Language code: FunctionDiscontinuities[GegenbauerC[n, m, x], x]

TemplateBox[{2, x}, GegenbauerC2]は凸である：

Wolfram Language code: FunctionConvexity[GegenbauerC[2, x], x]

TraditionalFormによる表示：

Wolfram Language code: GegenbauerC[n, λ, x]//TraditionalForm
Wolfram Language code: GegenbauerC[n, m]//HoldForm//TraditionalForm

微分  (3)

x についての一次導関数：

Wolfram Language code: D[GegenbauerC[n, m, x], x]
Wolfram Language code: D[GegenbauerC[n, x], x]

x についての高次導関数：

Wolfram Language code: Table[D[GegenbauerC[n, m, x], {x, k}], {k, 1, 3}]//FullSimplify

n=10かつ m=1/3のとき，x について高次導関数をプロットする：

Wolfram Language code: Plot[Evaluate[% /. { n -> 10, m -> 1 / 3}], {x, -3, 3}, PlotLegends -> {"First Derivative", "Second Derivative", "Third Derivative"}]

x についての 次導関数の式：

Wolfram Language code: D[GegenbauerC[n, m, x], {x, k}]// FullSimplify

積分  (3)

Integrateを使って不定積分を計算する：

Wolfram Language code: Integrate[GegenbauerC[n, m, x], x]

不定積分を確かめる：

Wolfram Language code: FullSimplify[D[%, x]]

定積分：

Wolfram Language code: Integrate[GegenbauerC[n, m, x], {x, 0, 4}]

その他の積分例：

Wolfram Language code: Integrate[Exp[x] GegenbauerC[2, x], x]//FullSimplify
Wolfram Language code: Integrate[ x GegenbauerC[1, x^2], {x, 0, 3}]//FullSimplify

級数展開  (2)

Seriesを使ってテイラー(Taylor)展開を求める：

Wolfram Language code: Series[GegenbauerC[n, x], {x, 0, 3}]

の周りの最初の3つの近似のプロット：

Wolfram Language code: terms = Normal@Table[Series[GegenbauerC[10, x], {x, 0, m}], {m, 1, 5, 2}]; Plot[{GegenbauerC[10, x], terms}, {x, -1, 1}]

生成点におけるテイラー展開：

Wolfram Language code: Series[GegenbauerC[n, x], {x, x0, 2}]// Normal//FullSimplify

関数の恒等式と簡約  (4)

GegenbauerCはJacobiPの特殊ケースである：

Wolfram Language code: GegenbauerC[n, m, x] == (Pochhammer[2m, n]/Pochhammer[m + 1 / 2, n]) JacobiP[n, m - 1 / 2, m - 1 / 2, x]//FullSimplify

GegenbauerCの恒等式を微分する：

Wolfram Language code: D[GegenbauerC[n, m, x], x] == 2 m GegenbauerC[n - 1, m + 1, x]

ゲーゲンバウア多項式の母関数：

Wolfram Language code: GeneratingFunction[GegenbauerC[n, m, x], n, t]

漸化式：

Wolfram Language code: GegenbauerC[n, m, x] == (2 (m + n + 1)x/2 m + n) GegenbauerC[n + 1, m, x] - ( n + 2/2 m + n) GegenbauerC[n + 2, m, x] //FullSimplify
Wolfram Language code: GegenbauerC[n, m, x] == (2 (m + n - 1)x/n) GegenbauerC[n - 1, m, x] - (2 m + n - 2/n) GegenbauerC[n - 2, m, x] //FullSimplify

一般化と拡張  (2)

GegenbauerCをベキ級数に適用する：

Wolfram Language code: GegenbauerC[5, Sin[x] + O[x] ^ 4]

GegenbauerCは実数値区間を扱うことができる：

Wolfram Language code: GegenbauerC[4, Interval[{-1, 1}]]

アプリケーション  (3)

四次元ラプラス演算子の角部分の固有関数：

Wolfram Language code: Δ = ((1/Sin[θ]^2)D[ Sin[θ]^2D[#, θ], θ] + (1/Sin[θ]^2Sin[χ])D[Sin[χ]D[#, χ], χ] + (1/Sin[θ]^2Sin[χ]^2)D[#, ϕ, ϕ])&;
Wolfram Language code: With[{f = GegenbauerC[ n, 1, Cos[θ]]}, FullSimplify[Δ[ f ] / f]]

運動量表示における水素原子固有関数のラジアル部分：

Wolfram Language code: ψ[{n_, l_, m_}, p_] := (2^ll!/n^2)Sqrt[((n - l - 1)!/(n + l)!)]((p / n)^l/(p^2 + n^-2)^2 + l)GegenbauerC[n - l - 1, l + 1, (1 - n^2p^2/1 + n^2p^2)]
Wolfram Language code: Table[Plot[ψ[{4, l, 0}, p] ^ 2, {p, 0, 0.4}], {l, 0, 3}]

n 点のGauss–Lobatto求積法では，極端な2つのノードの値が固定され，他の n-2個のノードは特定のゲーゲンバウア多項式の根から計算される．n 点Gauss–Lobatto求積法のノードと重みを比較する：

Wolfram Language code: n = 10; tmp = x /. NSolve[GegenbauerC[n - 2, 3 / 2, x], x]; lobattoNodes = Join[{N[-1]}, tmp, {N[1]}]
Wolfram Language code: w1 = x |-> (2/n(n - 1)GegenbauerC[n - 1, 1 / 2, x]^2); lobattoWeights = ArrayPad[w1[tmp], 1, N[(2/n(n - 1))]]

n 点Gauss–Lobatto求積法を使って積分を数値的に評価する：

Wolfram Language code: fun[x_] := (1/1 / 100  + (x - 3 / 10)^2) + (1/1 / 25  + (x - 9 / 10)^2) - 6
Wolfram Language code: a = 1 / 2;b = 1; est1 = ((b - a/2)lobattoWeights).Map[fun, Rescale[lobattoNodes, {-1, 1}, {a, b}]]

Gauss–Lobatto求積法の結果をNIntegrateの結果と比較する：

Wolfram Language code: est1 - NIntegrate[fun[x], {x, a, b}]

特性と関係  (5)

FunctionExpandを使ってGegenbauerCを他の関数に展開する：

Wolfram Language code: FunctionExpand[GegenbauerC[1 / 2, -1 / 2, x]]
Wolfram Language code: FunctionExpand[GegenbauerC[n, m, 1]]

GegenbauerCはDifferenceRootとして表すことができる：

Wolfram Language code: DifferenceRootReduce[GegenbauerC[k, z, y], k]
Wolfram Language code: DifferenceRootReduce[GegenbauerC[1, 2, k], k]

GegenbauerCの級数展開における一般項：

Wolfram Language code: SeriesCoefficient[GegenbauerC[a, x], {x, 0, n}]

GegenbauerCの母関数：

Wolfram Language code: GeneratingFunction[GegenbauerC[n, a, b], n, x]

Integrateを使って関数の内積を定義する：

Wolfram Language code: dot[f_, g_] := 2 / π Subsuperscript[∫, -1, 1]Conjugate[f]gSqrt[1 - x^2]ⅆx

Orthogonalizeを使って正規直交基底を構築する：

Wolfram Language code: Orthogonalize[{1, x, x ^ 2, x ^ 3, x ^ 4}, dot] // Expand

この内積はGegenbauerC多項式を生成する：

Wolfram Language code: Table[GegenbauerC[n, 1, x], {n, 0, 4}]

考えられる問題  (1)

多項式の形における約分によって数値結果が不正確になることがある：

Wolfram Language code: GegenbauerC[60, x] /. {x -> N[2 / 3, 17]}

関数を直接評価する：

Wolfram Language code: GegenbauerC[60, N[2 / 3, 17] ]
Wolfram Research (1988), GegenbauerC, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/GegenbauerC.html （2022年に更新）.

テキスト

Wolfram Research (1988), GegenbauerC, Wolfram言語関数， https://reference.wolfram.com/language/ref/GegenbauerC.html （2022年に更新）.

CMS

Wolfram Language. 1988. "GegenbauerC." Wolfram Language & System Documentation Center. Wolfram Research. Last Modified 2022. https://reference.wolfram.com/language/ref/GegenbauerC.html.

APA

Wolfram Language. (1988). GegenbauerC. Wolfram Language & System Documentation Center. Retrieved from https://reference.wolfram.com/language/ref/GegenbauerC.html

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2026_gegenbauerc, author="Wolfram Research", title="{GegenbauerC}", year="2022", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/GegenbauerC.html}", note=[Accessed: 30-October-2026]}

BibLaTeX

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