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GegenbauerC[n,m,x]

用来给出 Gegenbauer 多项式 TemplateBox[{n, m, x}, GegenbauerC].

GegenbauerC[n,x]

用来给出重正规化形式 TemplateBox[{{TemplateBox[{n, m, x}, GegenbauerC], /, m}, m, 0}, Limit2Arg].

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按以下格式引用：

GegenbauerC

GegenbauerC[n,m,x]

用来给出 Gegenbauer 多项式 TemplateBox[{n, m, x}, GegenbauerC].

GegenbauerC[n,x]

用来给出重正规化形式 TemplateBox[{{TemplateBox[{n, m, x}, GegenbauerC], /, m}, m, 0}, Limit2Arg].

更多信息

  • 数学函数， 同时适合符号和数值运算.
  • 对于整数 n 和任意 m 给出显式表达的多项式.
  • TemplateBox[{n, m, x}, GegenbauerC] 满足微分方程 .
  • 加上权函数 ，Gegenbauer 多项式在区间 上正交.
  • 对某些特定变量值，GegenbauerC 自动运算出精确值.
  • GegenbauerC 可计算到任意数值精度.
  • GegenbauerC 自动逐项作用于列表.
  • GegenbauerC[n,0,x] 总为零.
  • GegenbauerC[n,m,z] 在复平面 z 上从 到 的有一个不连续分支切割.
  • GegenbauerC 可与 Interval 和 CenteredInterval 对象一起使用. »

范例

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基本范例  (7)

数值化计算：

Wolfram Language code: N[GegenbauerC[3, 1 / 2, 7]]

计算 10 阶 Gegenbauer 多项式：

Wolfram Language code: GegenbauerC[10, 1, x]

计算 10 阶重正规化的 Gegenbauer 多项式：

Wolfram Language code: GegenbauerC[10, x]

在实数的子集上绘制 ：

Wolfram Language code: Plot[GegenbauerC[10, x], {x, -1, 1}]

在复数的子集上绘图：

Wolfram Language code: ComplexPlot3D[GegenbauerC[5, z], {z, -2 - 2I, 2 + 2I}, PlotLegends -> Automatic]

在原点的级数展开：

Wolfram Language code: Series[GegenbauerC[5, x], {x, 0, 5}]

在 Infinity 的级数展开：

Wolfram Language code: Series[GegenbauerC[5, x], {x, ∞, 3}]//FullSimplify

在奇点处的渐近展开式：

Wolfram Language code: Series[GegenbauerC[5, x], {x, -1, 3}]//FullSimplify

范围  (44)

数值计算  (6)

数值化计算：

Wolfram Language code: GegenbauerC[5, 1 / 8, 7.]
Wolfram Language code: GegenbauerC[2, 0.5]

高精度计算：

Wolfram Language code: N[GegenbauerC[1 / 6, 1 / 8, 7], 50]

输出的精度与输入的精度一致：

Wolfram Language code: GegenbauerC[0.333333333333333333, 7, 1]

复数输入：

Wolfram Language code: N[GegenbauerC[2 / 7, 5 - I, 2]]

高精度的高效计算：

Wolfram Language code: GegenbauerC[2 / 49, 5, 1`100]//Timing
Wolfram Language code: GegenbauerC[89 / 49, 3, 5`1000];//Timing

用 Interval 和 CenteredInterval 对象计算最坏情况下的区间：

Wolfram Language code: GegenbauerC[3 / 4, 4 / 5, Interval[{1.9, 2.1}]]
Wolfram Language code: GegenbauerC[3 / 4, 4 / 5, CenteredInterval[5, 1 / 100]]

或用 Around 计算一般情况下的统计区间：

Wolfram Language code: GegenbauerC[1 / 2, Around[.9, 0.1]]

计算数组中每个元素的值：

Wolfram Language code: GegenbauerC[3, {{2, 0}, {1 / 2, -2}}]

或用 MatrixFunction 计算矩阵形式的 GegenbauerC 函数：

Wolfram Language code: MatrixFunction[GegenbauerC[3, #]&, {{2, 0}, {1 / 2, -2}}]

特殊值  (8)

在固定点的 GegenbauerC 的值：

Wolfram Language code: Table[GegenbauerC[10, x ], {x, 1, 5}]

简单情况给出精确符号结果：

Wolfram Language code: GegenbauerC[{1 / 3, 1 / 2}, 1 / 6, 0]

符号 n 的 GegenbauerC:

Wolfram Language code: GegenbauerC[n, 0]
Wolfram Language code: GegenbauerC[n, 1 / 2, x]
Wolfram Language code: GegenbauerC[n, 1, x]
Wolfram Language code: GegenbauerC[n, x]
Wolfram Language code: Table[GegenbauerC[n, m, x], {x, 0, 1}, {m, 0, 1}]

零处的值：

Wolfram Language code: GegenbauerC[1, 0]
Wolfram Language code: GegenbauerC[0, 1, 1]

求 GegenbauerC[10,x ] 的第一个正极大值：

Wolfram Language code: xmax = x /. Solve[D[GegenbauerC[10, x ], x] == 0 && 0 < x < 5, x][[1]]
Wolfram Language code: Plot[GegenbauerC[10, x ], {x, -1, 1}, Epilog -> Style[Point[{xmax, GegenbauerC[10, xmax ]}], PointSize[Large], Red]]

计算相关的 GegenbauerC[7,x] 多项式：

Wolfram Language code: GegenbauerC[7, x]

计算半整数 n 的关联 GegenbauerC[1/2,x] 多项式:

Wolfram Language code: GegenbauerC[1 / 2, x]

不同的 GegenbauerC 类型给出不同的符号形式：

Wolfram Language code: Table[GegenbauerC[n, m, x], {n, 0, 3}, {m, 0, 1}]

可视化  (4)

绘制各阶 GegenbauerC 函数：

Wolfram Language code: Plot[{GegenbauerC[1, x], GegenbauerC[2, x], GegenbauerC[3, x], GegenbauerC[4, x]}, {x, -.7, .7}]

绘制 实部：

Wolfram Language code: ComplexContourPlot[Re[GegenbauerC[3, 1, z]], {z, -3 - 3 I, 3 + 3 I}, IconizedObject[«PlotOptions»]]

绘制 虚部：

Wolfram Language code: ComplexContourPlot[Im[GegenbauerC[3, 1, z]], {z, -3 - 3 I, 3 + 3 I}, IconizedObject[«PlotOptions»]]

绘制两个变化参数的实部：

Wolfram Language code: Plot3D[Re[GegenbauerC[n, 1, z]], {n, 0, 5}, {z, -1, 1}]

GegenbauerC 函数的类型 2 和 3 有不同的分支切割结构：

Wolfram Language code: Plot3D[Im[GegenbauerC[2, x + I y]], {x, -1.5, 1.5}, {y, -0.5, 0.5}, Exclusions -> {{y == 0, Abs[x] > 1}}]
Wolfram Language code: Plot3D[Im[GegenbauerC[3, x + I y]], {x, -1.5, 1.5}, {y, -0.5, 0.5}, Exclusions -> {{y == 0, -1 < x < 1}}, PlotRange -> All]

函数属性  (14)

整数阶的 GegenbauerC 的域：

Wolfram Language code: {FunctionDomain[GegenbauerC[1, z], z], FunctionDomain[GegenbauerC[2, z], z]}
Wolfram Language code: {FunctionDomain[GegenbauerC[1, z], z, Complexes], FunctionDomain[GegenbauerC[2, z], z, Complexes]}

整数阶的 GegenbauerC 的范围：

Wolfram Language code: {FunctionRange[GegenbauerC[1, x], x, y], FunctionRange[GegenbauerC[2, x], x, y]}

复值的范围是整个平面：

Wolfram Language code: {FunctionRange[GegenbauerC[1, z], z, y, Complexes], FunctionRange[GegenbauerC[2, z], z, y, Complexes]}

奇阶的 Gegenbauer 多项式是奇数：

Wolfram Language code: GegenbauerC[1, -x] == -GegenbauerC[1, x]

偶阶的 Gegenbauer 多项式是偶数：

Wolfram Language code: GegenbauerC[2, -x] == GegenbauerC[2, x]

GegenbauerC 按元素线性作用于列表：

Wolfram Language code: GegenbauerC[{1, 2, 3}, m, x]

GegenbauerC 具有镜像属性 ：

Wolfram Language code: {GegenbauerC[1, Conjugate[z]] == Conjugate[GegenbauerC[1, z]], GegenbauerC[2, Conjugate[z]] == Conjugate[GegenbauerC[2, z]]}

Gegenbauer 多项式为解析函数：

Wolfram Language code: FunctionAnalytic[GegenbauerC[n, x], x, Assumptions -> n∈ℤ && n ≠ 0]

然而，对于非整数参数而言 GegenbauerC 函数一般不是解析函数：

Wolfram Language code: FunctionAnalytic[GegenbauerC[1 / 2, x], x]
Wolfram Language code: FunctionAnalytic[GegenbauerC[1 / 2, 1, x], x]

也不是亚纯函数：

Wolfram Language code: FunctionMeromorphic[GegenbauerC[1 / 2, x], x]
Wolfram Language code: FunctionMeromorphic[GegenbauerC[1 / 2, 1, x], x]

TemplateBox[{2, x}, GegenbauerC2] 既不是非递增，也不是非递减：

Wolfram Language code: FunctionMonotonicity[GegenbauerC[2, x], x]

TemplateBox[{2, x}, GegenbauerC2] 不是单射函数：

Wolfram Language code: FunctionInjective[GegenbauerC[2, x], x]
Wolfram Language code: Plot[{GegenbauerC[2, x], 2}, {x, -2, 2}]

TemplateBox[{2, x}, GegenbauerC2] 不是满射函数：

Wolfram Language code: FunctionSurjective[GegenbauerC[2, x], x]
Wolfram Language code: Plot[{GegenbauerC[2, x], -2}, {x, -2, 2}]

TemplateBox[{2, x}, GegenbauerC2] 既不是非负，也不是非正：

Wolfram Language code: FunctionSign[GegenbauerC[2, x], x]

当 非整数且 时，TemplateBox[{n, x}, GegenbauerC2] 有奇点和断点：

Wolfram Language code: FunctionSingularities[GegenbauerC[n, x], x]
Wolfram Language code: FunctionDiscontinuities[GegenbauerC[n, x], x]

当 为非整数时，TemplateBox[{n, m, x}, GegenbauerC] 有额外的奇点：

Wolfram Language code: FunctionSingularities[GegenbauerC[n, m, x], x]
Wolfram Language code: FunctionDiscontinuities[GegenbauerC[n, m, x], x]

TemplateBox[{2, x}, GegenbauerC2] 是凸函数：

Wolfram Language code: FunctionConvexity[GegenbauerC[2, x], x]

TraditionalForm 格式化：

Wolfram Language code: GegenbauerC[n, λ, x]//TraditionalForm
Wolfram Language code: GegenbauerC[n, m]//HoldForm//TraditionalForm

微分  (3)

关于 x 的一阶导：

Wolfram Language code: D[GegenbauerC[n, m, x], x]
Wolfram Language code: D[GegenbauerC[n, x], x]

关于 x 的高阶导：

Wolfram Language code: Table[D[GegenbauerC[n, m, x], {x, k}], {k, 1, 3}]//FullSimplify

绘制 n=10，m=1/3 时关于 x 的高阶导数：

Wolfram Language code: Plot[Evaluate[% /. { n -> 10, m -> 1 / 3}], {x, -3, 3}, PlotLegends -> {"First Derivative", "Second Derivative", "Third Derivative"}]

关于 x 的 阶导数的公式：

Wolfram Language code: D[GegenbauerC[n, m, x], {x, k}]// FullSimplify

积分  (3)

使用 Integrate 计算不定积分：

Wolfram Language code: Integrate[GegenbauerC[n, m, x], x]

验证反导数：

Wolfram Language code: FullSimplify[D[%, x]]

定积分：

Wolfram Language code: Integrate[GegenbauerC[n, m, x], {x, 0, 4}]

更多积分：

Wolfram Language code: Integrate[Exp[x] GegenbauerC[2, x], x]//FullSimplify
Wolfram Language code: Integrate[ x GegenbauerC[1, x^2], {x, 0, 3}]//FullSimplify

级数展开  (2)

使用 Series 求泰勒展开：

Wolfram Language code: Series[GegenbauerC[n, x], {x, 0, 3}]

绘制 附近的前三个近似：

Wolfram Language code: terms = Normal@Table[Series[GegenbauerC[10, x], {x, 0, m}], {m, 1, 5, 2}]; Plot[{GegenbauerC[10, x], terms}, {x, -1, 1}]

普通点的泰勒展开：

Wolfram Language code: Series[GegenbauerC[n, x], {x, x0, 2}]// Normal//FullSimplify

函数恒等与简化  (4)

GegenbauerC 是 JacobiP 的特殊情况：

Wolfram Language code: GegenbauerC[n, m, x] == (Pochhammer[2m, n]/Pochhammer[m + 1 / 2, n]) JacobiP[n, m - 1 / 2, m - 1 / 2, x]//FullSimplify

GegenbauerC 的导数恒等：

Wolfram Language code: D[GegenbauerC[n, m, x], x] == 2 m GegenbauerC[n - 1, m + 1, x]

Gegenbauer 多项式的生成函数：

Wolfram Language code: GeneratingFunction[GegenbauerC[n, m, x], n, t]

递推关系：

Wolfram Language code: GegenbauerC[n, m, x] == (2 (m + n + 1)x/2 m + n) GegenbauerC[n + 1, m, x] - ( n + 2/2 m + n) GegenbauerC[n + 2, m, x] //FullSimplify
Wolfram Language code: GegenbauerC[n, m, x] == (2 (m + n - 1)x/n) GegenbauerC[n - 1, m, x] - (2 m + n - 2/n) GegenbauerC[n - 2, m, x] //FullSimplify

推广和延伸  (2)

将 GegenbauerC 应用到一个幂级数：

Wolfram Language code: GegenbauerC[5, Sin[x] + O[x] ^ 4]

GegenbauerC 可以处理实数区间：

Wolfram Language code: GegenbauerC[4, Interval[{-1, 1}]]

应用  (3)

四维拉普拉斯算符的角部分的特征函数：

Wolfram Language code: Δ = ((1/Sin[θ]^2)D[ Sin[θ]^2D[#, θ], θ] + (1/Sin[θ]^2Sin[χ])D[Sin[χ]D[#, χ], χ] + (1/Sin[θ]^2Sin[χ]^2)D[#, ϕ, ϕ])&;
Wolfram Language code: With[{f = GegenbauerC[ n, 1, Cos[θ]]}, FullSimplify[Δ[ f ] / f]]

动量空间表示的氢原子特征函数的径向部分：

Wolfram Language code: ψ[{n_, l_, m_}, p_] := (2^ll!/n^2)Sqrt[((n - l - 1)!/(n + l)!)]((p / n)^l/(p^2 + n^-2)^2 + l)GegenbauerC[n - l - 1, l + 1, (1 - n^2p^2/1 + n^2p^2)]
Wolfram Language code: Table[Plot[ψ[{4, l, 0}, p] ^ 2, {p, 0, 0.4}], {l, 0, 3}]

在 n 点 Gauss–Lobatto 求积规则中，两个极端节点的值是固定的，而另外 n-2 个节点是通过某个特定的Gegenbauer 多项式的根来计算的. 计算 n 点 Gauss–Lobatto 求积规则的节点和权重：

Wolfram Language code: n = 10; tmp = x /. NSolve[GegenbauerC[n - 2, 3 / 2, x], x]; lobattoNodes = Join[{N[-1]}, tmp, {N[1]}]
Wolfram Language code: w1 = x |-> (2/n(n - 1)GegenbauerC[n - 1, 1 / 2, x]^2); lobattoWeights = ArrayPad[w1[tmp], 1, N[(2/n(n - 1))]]

使用 n 点 Gauss–Lobatto 求积规则来数值计算一个积分：

Wolfram Language code: fun[x_] := (1/1 / 100  + (x - 3 / 10)^2) + (1/1 / 25  + (x - 9 / 10)^2) - 6
Wolfram Language code: a = 1 / 2;b = 1; est1 = ((b - a/2)lobattoWeights).Map[fun, Rescale[lobattoNodes, {-1, 1}, {a, b}]]

将 Gauss–Lobatto 求积的结果与 NIntegrate 函数的结果进行比较：

Wolfram Language code: est1 - NIntegrate[fun[x], {x, a, b}]

属性和关系  (5)

用 FunctionExpand 将 GegenbauerC 展开成其它函数：

Wolfram Language code: FunctionExpand[GegenbauerC[1 / 2, -1 / 2, x]]
Wolfram Language code: FunctionExpand[GegenbauerC[n, m, 1]]

GegenbauerC 可以被表示为 DifferenceRoot：

Wolfram Language code: DifferenceRootReduce[GegenbauerC[k, z, y], k]
Wolfram Language code: DifferenceRootReduce[GegenbauerC[1, 2, k], k]

GegenbauerC 的级数展开的通项

Wolfram Language code: SeriesCoefficient[GegenbauerC[a, x], {x, 0, n}]

GegenbauerC 的生成函数：

Wolfram Language code: GeneratingFunction[GegenbauerC[n, a, b], n, x]

使用 Integrate 定义一个关于函数的内积：

Wolfram Language code: dot[f_, g_] := 2 / π Subsuperscript[∫, -1, 1]Conjugate[f]gSqrt[1 - x^2]ⅆx

使用 Orthogonalize 构建一个正态基：

Wolfram Language code: Orthogonalize[{1, x, x ^ 2, x ^ 3, x ^ 4}, dot] // Expand

该内积生成了 GegenbauerC 多项式：

Wolfram Language code: Table[GegenbauerC[n, 1, x], {n, 0, 4}]

可能存在的问题  (1)

多项式形式的抵消可能导致不准确的数值结果：

Wolfram Language code: GegenbauerC[60, x] /. {x -> N[2 / 3, 17]}

直接计算函数：

Wolfram Language code: GegenbauerC[60, N[2 / 3, 17] ]
Wolfram Research (1988)，GegenbauerC，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/GegenbauerC.html （更新于 2022 年）.

文本

Wolfram Research (1988)，GegenbauerC，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/GegenbauerC.html （更新于 2022 年）.

CMS

Wolfram 语言. 1988. "GegenbauerC." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2022. https://reference.wolfram.com/language/ref/GegenbauerC.html.

APA

Wolfram 语言. (1988). GegenbauerC. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/GegenbauerC.html 年

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2026_gegenbauerc, author="Wolfram Research", title="{GegenbauerC}", year="2022", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/GegenbauerC.html}", note=[Accessed: 01-July-2026]}

BibLaTeX

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