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Grad

Grad[f,{x₁,…,x_n}]

给出梯度 .

Grad[f,{x₁,x₂,…},chart]

给出坐标 chart 中的梯度.

更多信息

Grad 亦称为 raised covariant derivative（协变导数）.
Grad[f,x] 可以作为 ∇_xf. 输入. 符号 ∇ 可以通过键入 del 或 \[Del]输入. 变量列表 x 作为下标输入.
空模板 ∇_ 可以通过键入 grad 得到，用将光标从下标移动到主部.
所有没有显式依赖于给定变量的数量具有零偏导数.
如果 f 是维度为 {n₁,…,n_k} 的数组，那么 Grad[f,{x₁,…,x_m}] 产生维度为 {n₁,…,n_k,m} 的数组.
如果 f 是一个标量，Grad[f,{x₁,x₂,…,x_n},chart] 返回与 chart 相关联的以标准正交基表示的向量.
对于欧几里得空间上的坐标系，可通过将 f 转换至直角坐标系来计算 Grad[f,{x₁,…,x_n},chart]，算出梯度后再转换回 chart. »
Grad 的主要属性是如果 chart 是用度规 g 定义的，以正交形式表示，则 Grad[g,{x₁,…,x_n]},chart] 给出零. »
在 Grad[f,{x₁,…,x_n},chart] 中，如果 f 是一个数组，它必须具有维度 {n,…,n}. f 的分量使用与 chart 相关联的标准正交基解释.
可用三元组 {coordsys,metric, dim}（与 CoordinateChartData 的第一个参数相同的方式）指定 Grad 的第三个参数中的坐标系. 可以使用忽略了 dim 的简短形式.
Grad[f,VectorSymbol[…]] 计算相对于向量符号的梯度. »
Grad 适用于 SparseArray 和结构化数组对象.

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例 (4)

三维笛卡尔坐标中的梯度：

使用三维圆柱形坐标中的正交基的梯度：

二维空间中的梯度：

使用 del 输入 ∇ 并用输入带有下标的变量列表：

使用 grad 输入模板 ∇_；按键在输入间移动：

范围 (8)

在笛卡尔坐标中，向量场的梯度，雅克比矩阵：

计算标量函数的 Hessian：

在曲线坐标系统中，具有常分量的向量可能有非零梯度：

指定特性、坐标系统和参数的梯度：

Grad 适用于弯曲空间：

范数相对于的梯度是方向上的单位向量：

相对于自身的梯度是 SymbolicIdentityArray[{n}]：

坐标相对于自身的梯度：

结果是 n 维单位矩阵：

n 维范数的梯度：

三维结果：

应用 (4)

从势函数计算力：

求两个变量的函数的拐点：

计算的符号和 Hessian 行列式：

通过二阶导数测试，前两个点（图中的红点和蓝点）为最小值，第三个点（图中的绿点）为鞍点：

求三个变量的函数的拐点：

计算 f 的 Hessian 矩阵：

当拐点的特征值都具有相同的符号时，则该点是局部极值；如果有正有负，则是一个鞍点：

由于第三和第四个点的特征值都为正，它们是局部最小值，可以通过在这两点计算 f 的值来确定全局最小值：

对于该函数，任何三个拐点都是线性相关的，因此它们都位于一个平面中：

计算该平面的法线：

可视化函数，用绿点表示最小值，用红色表示非极值拐点：

计算向量值函数在原点的梯度，直到 6 阶：

查看函数的值和在原点的前三阶导数：

手算 f 的三阶 Maclaurin 级数：

用程序计算六阶 Maclaurin 级数：

属性和关系 (6)

Grad[f,vars] 事实上等价于 D[f,{vars}]：

Grad 在最后添加了一个新的张量位置，对应于新的最里层的维度：

若要在开头添加新的位置，使用 Transpose 来交换第一个和最后一个位置：

当使用数组的方向导数时，这是相关的：

通过转换为直角坐标然后再转换回来，计算欧几里得坐标系 c 中的 Grad：

与直接计算 Grad[f,{x₁,…,x_n},c] 的结果一样：

数组的梯度只等于笛卡尔坐标中的分量的梯度：

如果 chart 是用度规 g 定义的，以正交形式表示，则 Grad[g,{x₁,…,x_n]},chart] 给出零：

Grad 保留 StructuredArray 对象的结构：

梯度有一个额外的维度，但具有与输入同样的对称性：

互动范例 (2)

函数的层次等高线的法线向量等于函数的正则化梯度：

创建互动等高线，把法线显示为一个点：

查看标量函数的梯度在不同坐标系统中的表达式：

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