GroupOrbits
GroupOrbits
GroupOrbits[group,{p1,…}]
在群 group 的元素作用下，返回点 pi 的轨道.
GroupOrbits[group,{p1,…},f]
求在由函数 f 给出的群作用下的轨道.
更多信息
- 两个点在 group 作用下属于同一个轨道，如果在 group 中存在一个元素 g 使得在 g 作用下一个点的像是另一个点.
- 如果点 p 由 group 中的所有元素作用下不动，则它形成一个轨道 {p}.
- GroupOrbits[group] 给出 group 作用的自然域中的所有轨道.
- 轨道以有序列表的形式给出.
- 假定实际函数 f 的 f[p,g] 计算，给定 group 的点 p 和置换 g，返回另一个点 p'.
- 对于置换群，默认的群作用取为 PermutationReplace.
范例
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范围 (4)
GroupOrbits[PermutationGroup[{Cycles[{{1, 2}}], Cycles[{{2, 3, 4, 5, 6}}]}], {4}]GroupOrbits[PermutationGroup[{Cycles[{{1, 4}}]}]]GroupOrbits[PermutationGroup[{}], {2, 3}]R[a_, b_, c_, d_] := R[b, a, c, d] /; a > b
R[a_, b_, c_, d_] := R[a, b, d, c] /; c > dMatrixForm[tensor = Array[R, {2, 2, 2, 2}]]group = PermutationGroup[{Cycles[{{1, 2}}], Cycles[{{1, 3}, {2, 4}}]}]GroupOrder[group]Map[MatrixForm, GroupOrbits[group, {tensor}, Transpose], {2}]应用 (3)
如果一个域中的所有点属于同一个轨道，那么这个群在这个域中的作用是可迁的：
transitivePermutationGroupQ[group_, domain_] := GroupOrbits[group, domain] === {domain};transitivePermutationGroupQ[PermutationGroup[{Cycles[{{1, 2}}], Cycles[{{1, 3}, {2, 4}}]}], {1, 2, 3, 4}]transitivePermutationGroupQ[PermutationGroup[{Cycles[{{1, 2}}], Cycles[{{3, 4}}]}], {1, 2, 3, 4}]GroupOrbits[SymmetricGroup[5], {Cycles[{{1, 2}, {3, 4, 5}}]}]DistanceTransitiveGraphQ[g_Graph] := With[{dm = GraphDistanceMatrix[g], pg = GraphAutomorphismGroup[g]},
AllTrue[Range[Max[dm]], distanceTransitiveGraphQ[g, dm, pg, #]&]]
distanceTransitiveGraphQ[g_, dm_, pg_, d_] := With[{dom = Position[dm, d]}, GroupOrbits[pg, dom] === {dom}]DistanceTransitiveGraphQ[GraphData["DodecahedralGraph"]]DistanceTransitiveGraphQ[GraphData["HeawoodGraph"]]DistanceTransitiveGraphQ[GraphData["ShrikhandeGraph"]]DistanceTransitiveGraphQ[GraphData["Tutte12Cage"]]属性和关系 (8)
根据轨道计数引理，一个置换群的轨道数等于它的元素的固定点的平均数：
fix[g_, n_] := Complement[Range[n], PermutationSupport[g]]fix[Cycles[{{2, 3}}], 6]group = PermutationGroup[{Cycles[{{1, 2}}], Cycles[{{3, 4}}], Cycles[{{5, 6}}]}]GroupOrbits[group]list = GroupElements[group]Length /@ (fix[#, 6]& /@ list)Mean[%]GroupOrbits[PermutationGroup[{}], Range[5]]GroupOrbits[PermutationGroup[{}]]GroupOrbits[PermutationGroup[{Cycles[{{1, 3}}], Cycles[{{1, 2, 3}}]}], {}]group = PermutationGroup[{Cycles[{{1, 2}, {4, 5}}], Cycles[{{1, 7, 2}, {3, 12}, {4, 10}, {5, 6, 9, 11, 13, 14, 8, 15}}]}];GroupOrbits[group]Length /@ %GroupOrder[group]//FactorInteger如果生成元含有大小相差很多的支撑，那么通常存在一个大的轨道和若干个小的轨道：
group = PermutationGroup[{RandomPermutation[100], RandomPermutation[10000]}];Length /@ GroupOrbits[group]group = PermutationGroup[{Cycles[{{1, 2}, {3, 4}}], Cycles[{{2, 4}}]}];
GroupOrbits[group, {1}]在群元素上对 PermutationReplace 折叠并不能求出所有轨道点：
FoldList[PermutationReplace, 1, GroupElements[group]]对于一个一般表达式，在 Permute 作用下的一个轨道等价于所有群元素的作用：
GroupOrbits[AlternatingGroup[4], {F[a, b, c, d]}, Permute]Permute[F[a, b, c, d], AlternatingGroup[4]] === First[%]然而，如果这个表达式有重复元素，那么 GroupOrbits 将只返回互不相同的结果：
GroupOrbits[AlternatingGroup[4], {F[a, a, b, b]}, Permute]Permute[F[a, a, b, b], AlternatingGroup[4]] === First[%]因为这两个表达式属于不同的轨道，所以它们不能通过一个群元素相关联：
GroupOrbits[AlternatingGroup[4], {F[a, c, b, d], F[c, d, a, b]}, Permute]Map[Signature, %, {2}]
Wolfram Research (2010)，GroupOrbits，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/GroupOrbits.html.
文本
Wolfram Research (2010)，GroupOrbits，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/GroupOrbits.html.
CMS
Wolfram 语言. 2010. "GroupOrbits." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. https://reference.wolfram.com/language/ref/GroupOrbits.html.
APA
Wolfram 语言. (2010). GroupOrbits. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/GroupOrbits.html 年