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JacobiAmplitude
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JacobiAmplitude

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给出雅可比 (Jacobi) 椭圆函数的幅值 TemplateBox[{u, m}, JacobiAmplitude].

更多信息

  • 数学函数，同时适合符号和数值运算.
  • JacobiAmplitude[u,m] 把一个椭圆函数的自变量 u 转换成振幅 ϕ.
  • JacobiAmplitude 是第一类型的椭圆积分的逆运算. 如果 u=TemplateBox[{phi, m}, EllipticF]，则 phi=TemplateBox[{u, m}, JacobiAmplitude].
  • 对于每对整数 和 ，JacobiAmplitude[u,m] 在复平面 u 上有一个分支切割断点，从 2 s TemplateBox[{m}, EllipticK]+ⅈ (4 t+1) TemplateBox[{{1, -, m}}, EllipticK] 到 2 s TemplateBox[{m}, EllipticK]+ⅈ (4 t+3) TemplateBox[{{1, -, m}}, EllipticK].
  • 对某些特定变量值，JacobiAmplitude 自动运算出精确值.
  • JacobiAmplitude 可计算到任意数值精度.
  • JacobiAmplitude 自动逐项作用于列表.

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例  (4)常见实例总结

数值运算：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-kzd066
Out[1]=1

在实数的子集上绘图：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-wm2qg
Out[1]=1

在复数的子集上绘图：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-rpl8dc
Out[1]=1

在原点的级数展开：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-n1ltu7
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-eurjnp
Out[2]=2

范围  (26)标准用法实例范围调查

数值运算  (5)

高精度运算：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-caez0p
Out[1]=1

输出精度与输入精度一致：

In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-idcd3s
Out[2]=2

对复变量求值：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-debjig
Out[1]=1

用高精度高效评估 JacobiAmplitude：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-di5gcr
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-bq2c6r
Out[2]=2

使用 Around 计算平均值统计区间：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-zogpxw
Out[1]=1

计算数组的元素值：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-ls2oe2
Out[1]=1

或使用 MatrixFunction 计算矩阵 JacobiAmplitude 函数：

In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-4we4ma
Out[2]=2

特殊值  (4)

自动产生简化的精确答案：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-dfty6e
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-kedmi
Out[2]=2
In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-crwrl3
Out[3]=3

某些特殊情况无穷处的值：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-cw39qs
Out[1]=1

求 TemplateBox[{x, {-, 3}}, JacobiAmplitude]⩵1 的根：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-f2hrld
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-ghcykx
Out[2]=2

自动应用奇偶校验：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-hvgb9s
Out[1]=1

可视化  (3)

绘制各种参数值 的 JacobiAmplitude 函数：

In[5]:=5
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-ecj8m7
Out[5]=5

按照参数 的函数绘制 JacobiAmplitude：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-du62z6
Out[1]=1

绘制 TemplateBox[{z, 2}, JacobiAmplitude] 的实部：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-c38j55
Out[1]=1

绘制 TemplateBox[{z, 2}, JacobiAmplitude] 的虚部：

In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-nsyj87
Out[2]=2

函数属性  (5)

TemplateBox[{x, {2, /, 3}}, JacobiAmplitude] 是 x 的解析函数：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-b66emn
Out[1]=1

该函数没有奇点也没有断点：

In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-w6vmsi
Out[2]=2
In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-019l1x
Out[3]=3

TemplateBox[{x, {2, /, 3}}, JacobiAmplitude] 为单射函数：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-xn3e9m
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-1fp4w3
Out[2]=2

TemplateBox[{x, {2, /, 3}}, JacobiAmplitude] 是满射函数：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-jgnj9c
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-5sgkde
Out[2]=2

JacobiAmplitude 不是非负也不是非正函数：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-tblqsv
Out[1]=1

JacobiAmplitude 不是凸函数也不是凹函数：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-raoxzk
Out[1]=1

微分  (3)

一阶导数：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-mmas49
Out[1]=1

高阶导数：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-nfbe0l
Out[1]=1

绘制 时的高阶导数：

In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-fxwmfc
Out[2]=2

关于 的导数：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-clw10k
Out[1]=1

级数展开式  (3)

TemplateBox[{x, {2, /, 3}}, JacobiAmplitude] 的泰勒展开式：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-ewr1h8
Out[1]=1

绘制 附近 TemplateBox[{x, {2, /, 3}}, JacobiAmplitude] 的前 3 个近似式：

In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-binhar
Out[4]=4

TemplateBox[{1, m}, JacobiAmplitude] 的泰勒展开式：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-c7itxf
Out[1]=1

绘制 附近 TemplateBox[{1, m}, JacobiAmplitude] 的前 3 个近似式：

In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-jkkunh
Out[2]=2

JacobiAmplitude 可应用于幂级数：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-1000fu
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-bg4epz
Out[2]=2

函数表示  (3)

JacobiAmplitude 是 EllipticF 的反函数：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-cajgfk
Out[1]=1

积分表示：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-bp7jmj
Out[1]=1

TraditionalForm 格式：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-b156ch

应用  (4)用该函数可以解决的问题范例

过冲模式下的单摆方程的解：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-izefg0

代入单摆方程进行验证：

In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-c92izb
Out[2]=2

绘制解：

In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-bahnfv
Out[3]=3

sine‐Gordon 方程的相对论解：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-57smrj

代入 sine‐Gordon 方程，验证解：

In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-gpoaen
Out[2]=2

绘制 和 取不同值时的解：

In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-fyjkmj
Out[3]=3
In[4]:=4
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-u71v6t
Out[4]=4

形成和绘制广义的傅立叶级数：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-p8r6y
Out[1]=1

椭圆参数 以及 () 形成的球面三角形：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-cvpgnt
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-c19p3g

顶点 、 和 处的角及与每个顶点相对的边：

In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-lvlsl5
Out[3]=3

验证 Cagnoli 方程，它与球面三角形的所有角度和边的测量有关：

In[4]:=4
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-qlncwz
Out[4]=4

计算三角形的面积，也称为球面角盈：

In[5]:=5
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-yyl7df
Out[5]=5

用 L'Huilier 定理 [MathWorld] 计算球面角盈：

In[6]:=6
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-kw3zcv
Out[6]=6

计算 3D 单位球面上的点：

In[7]:=7
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-0q68zm

检查求出的点和边之间的一致性：

In[8]:=8
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-mzgpqo
Out[8]=8

可视化该三角形：

In[9]:=9
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-16pfm5
Out[9]=9

属性和关系  (5)函数的属性及与其他函数的关联

与反函数组合：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-emofur
Out[1]=1

用 PowerExpand 略去反函数的多值性：

In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-fzgyvy
Out[2]=2

将三角函数应用到 JacobiAmplitude：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-kmykn1
Out[1]=1

求解一个超越方程：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-iy4yu
Out[1]=1

从一个微分方程中获得：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-ntn94
Out[1]=1

对于任意整数 和 ，JacobiAmplitude 有一个分支切割，从 2 s TemplateBox[{m}, EllipticK]+ⅈ (4 t+1) TemplateBox[{{1, -, m}}, EllipticK] 到 2 s TemplateBox[{m}, EllipticK]+ⅈ (4 t+3) TemplateBox[{{1, -, m}}, EllipticK]：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-e40v07
Out[1]=1
In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-rxjbuq
Out[2]=2

可视化不同模数的分支切割：

In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-0qvbok
In[4]:=4
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-d9092
Out[4]=4

可能存在的问题  (1)常见隐患和异常行为

对于整数 ， 时 TemplateBox[{u, m}, JacobiAmplitude] 的分支切割与实轴相交于 2(2 s+1) TemplateBox[{{1, /, m}}, EllipticK]/sqrt(m) 处：

In[1]:=1
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-u2imxa
Out[1]=1

对于 ，需要幅值连续的物理应用，请使用以下定义：

In[2]:=2
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-bwrimh

对于实数 且 ，上述函数与 sin^(-1)(TemplateBox[{u, m}, JacobiSN]) 一致：

In[3]:=3
✖
https://wolfram.com/xid/0dc3l0sh425c-zts9gz
Out[3]=3
Wolfram Research (1988)，JacobiAmplitude，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/JacobiAmplitude.html （更新于 2020 年）.
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Wolfram Research (1988)，JacobiAmplitude，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/JacobiAmplitude.html （更新于 2020 年）.

文本

Wolfram Research (1988)，JacobiAmplitude，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/JacobiAmplitude.html （更新于 2020 年）.

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Wolfram Research (1988)，JacobiAmplitude，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/JacobiAmplitude.html （更新于 2020 年）.

CMS

Wolfram 语言. 1988. "JacobiAmplitude." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2020. https://reference.wolfram.com/language/ref/JacobiAmplitude.html.

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Wolfram 语言. 1988. "JacobiAmplitude." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2020. https://reference.wolfram.com/language/ref/JacobiAmplitude.html.

APA

Wolfram 语言. (1988). JacobiAmplitude. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/JacobiAmplitude.html 年

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Wolfram 语言. (1988). JacobiAmplitude. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/JacobiAmplitude.html 年

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2025_jacobiamplitude, author="Wolfram Research", title="{JacobiAmplitude}", year="2020", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/JacobiAmplitude.html}", note=[Accessed: 06-April-2025 ]}

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@misc{reference.wolfram_2025_jacobiamplitude, author="Wolfram Research", title="{JacobiAmplitude}", year="2020", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/JacobiAmplitude.html}", note=[Accessed: 06-April-2025 ]}

BibLaTeX

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@online{reference.wolfram_2025_jacobiamplitude, organization={Wolfram Research}, title={JacobiAmplitude}, year={2020}, url={https://reference.wolfram.com/language/ref/JacobiAmplitude.html}, note=[Accessed: 06-April-2025 ]}