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KirchhoffMatrix

KirchhoffMatrix[g]

给出图 g 的基尔霍夫矩阵.

KirchhoffMatrix[{vw,…}]

使用规则 vw 指定图 g.

更多信息

KirchhoffMatrix 也称为拉普拉斯矩阵.

KirchhoffMatrix 返回一个 SparseArray 对象，该对象可以用 Normal 转化为一个普通矩阵.
对角线元素 k_i,i 等于 v_i 的度数.
元素 k_i,j 等于 -1，如果顶点 v_i 与 v_j 相邻接.
假设顶点 v_i 遵循由 VertexList[g] 给出的顺序.
一个图的基尔霍夫矩阵具有维度 ×，其中是顶点数.

背景

KirchhoffMatrix 返回基尔霍夫矩阵，也被称为拉普拉斯矩阵、导纳矩阵、或离散拉普拉斯算子. 这是一个以整数为元素的方阵. 出于效率，KirchhoffMatrix 返回的是稀疏数组. （通常）基尔霍夫矩阵 L 被定义为度数矩阵 D （图顶点度数的对角矩阵）和邻接矩阵 A 之差 L=D-A. 因此 L 的对角元素等于顶点的度数而不在对角线上的元素等于若顶点与相邻，否则为 0.
对有 n 个顶点的图，基尔霍夫矩阵大小为 n×n. 对无向图，基尔霍夫矩阵是对称的.
基尔霍夫矩阵在谱图理论中起着核心的作用，谱图理论是基于图邻接矩阵或基尔霍夫矩阵的特征值的对图的研究. 它可被用于计算图中顶点之间的电阻距离，后者被定义为把每条图的边都替换为单位电阻后，顶点之间有效电阻的大小（当有电池与他们连在一起时）. 它还出现在了矩阵树定理中，这一定理给出了图的生成树的数量. 基尔霍夫矩阵的第二最小特征值被称为图的代数连通度，一个图是连通的当且仅当该特征值大于 0. 图的代数连通度对应的特征向量被称为 Fiedler 向量并在谱图分割十分重要. 谱图分割是一种根据某种性质而把图分割成较小部分的一种分割，这个性质基于邻接矩阵或基尔霍夫矩阵的特征值.
注意到物理学家通常使用术语“拉普拉斯矩阵”而不是“基尔霍夫矩阵”. 一些物理学家和数学家还使用一种不同的规范化的矩阵版本，即定义为令若 i=j 且，若和相邻，否则为 0. 此外，尽管对数学家而言术语“图谱”一般指的是图邻接矩阵的特征值，但对物理学家而言它常常指的是规范化基尔霍夫矩阵的特征值. 因此一般情况下遇到这些术语时需要特别小心.
KirchhoffGraph 可被用于从基尔霍夫矩阵构造图. 有类似的函数 AdjacencyGraph 和 IncidenceGraph 分别从邻接矩阵和关联矩阵来构造图.

范例

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基本范例 (2)

一个无向图的基尔霍夫矩阵：

一个有向图的基尔霍夫矩阵：

范围 (5)

一个无向图的基尔霍夫矩阵是对称的：

一个有向图的基尔霍夫矩阵可以是不对称的：

一个非简单图的基尔霍夫矩阵和它的简单图是相同的：

使用规则指定图：

KirchhoffMatrix 对大规模图起作用：

使用 MatrixPlot 来对矩阵进行可视化处理：

属性和关系 (8)

基尔霍夫矩阵的行和列遵循由 VertexList 给出的顺序：

使用 KirchhoffMatrix 来从一个基尔霍夫矩阵中构建一个图：

顶点度可以使用基尔霍夫矩阵的对角线求得：

基尔霍夫矩阵的行数和列数等于顶点数：

基尔霍夫矩阵的非对角线元素是或者：

对于一个完全图，在基尔霍夫矩阵中对角线外的所有元素为：

一个完全分图的非对角块元素为：

特别地，TuranGraph 和 StarGraph 是二部图：

一个路径图在对角线上的元素为或者，在非对角带上位：

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