行列のLU分解を計算する：

l は対角に沿っていると考えられる1を含む lu の厳密な下三角部分にある：

u は lu の上三角部分にある：

l.uでもとの行列を再構築する：

記号行列のLU分解を求める：

行列と 行列を抽出する：

がもとの行列と等しいことを確認する：

行列 のLU分解は，行列を，を満足する下三角()と上三角()に分解する．ただし， は の列置換である：

分解の上部および下部を抽出する：

分解 l.ua〚p〛を確認する：

MatrixPlotを使って構造を図示する：

三角線形系は，最初の方程式が1つの変数を持ち続く方程式で変数が厳密に1つずつ加えられていく線形方程式の系である．4つの変数を持つ次の系を8つの変数を持つ2つの三角線形系に書き直す：

この系を行列形式 に書き直し， のLU分解を計算する：

行列と 行列を抽出する．なので，もとの系は の形に描画できる：

新たな変数 を導入して と設定する．結果は三角系である：

部分文字列 を に入れると となる．これはにおける三角系である：

8つの三角方程式は についてもとの方程式系と同じ結果を与える：

LU分解は主に線形系を解くために使われる．次は5×5のランダムな行列である：

LinearSolve[m]は解を得るのに便利なようにLU分解を関数的な形で設定する：

次は，系 m.x=b を x について解く：

x が実際に解であることを証明する：

これは，LUDecompositionの出力を使って手動で行うこともできる：

分解の上三角と下三角の部分を抽出する：

2つの後退代入法で系を解く：

m はランダムな100×100行列である：

m のLU分解を計算する：

m の行列式は，符号まで，lu の対角要素の積で与えられる：

符号はSignature[p]を使って固定できる：

m は6×6行列である：

m のLU分解を計算する：

l は，対角に沿っていると考えられる1を含む lu の厳密に下三角部分にある：

u は lu の上三角部分にある：

l.uは p が与える m の行の置換に等しい：

が矩形行列なら， 行列は と同数の行をもつ矩形行列である：

行列は と同じ形状である：

基本的な恒等式 はそれでも成立する：

LUDecompositionが返す順列のリスト はPermutationMatrixを使って行列 に変換できる．こうすると，恒等式 が成り立つ：

m を分解すると{lu,p,c}になるなら，Det[m]は lu の対角成分の積でありSignature[p]である：

行列が特異行列なら， 行列は対角に沿って0を持つ：

正定値エルミート行列 h のCholeskyDecomposition：

これはConjugateTransposeを介して一種のLU分解を与える：

これは，一般に，LUDecompositionが与えるのとは異なる分解である：

可逆数値行列の条件数はである：

LUDecompositionが返す値は推定に過ぎない：

厳密行列あるいは記号行列の条件数は0として報告される：

条件数 はLinearSolve[m]が報告する条件数と同じである：