计算矩阵的 LU 分解：

l 是 lu 的严格的沿对角线假设的下三角形部分：

u 是 lu 的上三角部分：

l.u 重构原矩阵：

求符号矩阵的 LU 分解：

提取 和 矩阵：

验证 是否等于原始矩阵：

矩阵 的 LU 分解将其分解为满足 的一个下三角矩阵 () 和一个上三角矩阵 ()，其中， 是 的列置换：

提取下三角矩阵和上三角矩阵：

检验分解 l.ua〚p〛：

用 MatrixPlot 来说明矩阵结构：

三角线性系统是一个线性方程组，其中第一个方程有一个变量，随后的每个方程都引入了一个额外的变量. 将以下四变量方程组改写为两个八变量三角线性方程组：

以矩阵形式 重写方程组并计算 的 LU 分解：

提取 和 矩阵； 如 ，原方程组可以重新排序为 ：

引入新变量 并设置 ；结果是含有 的三角形方程组：

将 代入 得到 ，这是一个以 为变量的三角形方程组：

八个三角方程一起给出了与原始方程组相同的 的结果：

LU 分解主要用于求解线性系统. 以下是一个 5×5 随机矩阵：

为了便于求解，LinearSolve[m] 建立一个函数形式的 LU 分解：

以下求解关于 x 的方程组 m.x=b：

验证 x 是解：

这也可以使用 LUDecompsition 的输出手动完成：

提取分解的下部和上部：

求解上三角或下三角方程组：

m 是一个随机 100×100 矩阵：

计算 m 的 LU 分解：

m 的行列式由 lu 的对角元素的乘积给出：

可使用 Signature[p] 确定符号：

m 是一个 6×6 矩阵：

计算 m 的 LU 分解：

l 是 lu 延对角线假设的严格下三角形部分：

u 是 lu 的上三角部分：

l.u 等于由 p 给出的 m 的行的排列：

如果 是矩形矩阵，则 矩阵是具有与 相同行数的方阵：

矩阵与 具有相同的形状：

基本恒等式 仍然成立：

可通过 PermutationMatrix 将 LUDecomposition 返回的置换列表 转换为矩阵 . 那么，恒等式 成立：

如果 m 分解为 {lu,p,c}，则 Det[m] 是 lu 和 Signature[p] 的对角线项的乘积：

如果矩阵是奇异的，则 矩阵的对角线为零：

正定埃尔米特矩阵 h 的 CholeskyDecomposition：

这给出了使用 ConjugateTranspose 的 LU 分解：

这通常是与 LUDecomposition 给出的分解不同的分解：

可逆数值矩阵的条件数为 :

LUDecomposition 返回的值只是一个估计值：

精确矩阵或符号矩阵的条件数报告为 0：

条件数 与 LinearSolve[m] 报告的条件数相同：