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Laplacian

Laplacian[f,{x₁,…,x_n}]

给出拉普拉斯算子 .

Laplacian[f,{x₁,…,x_n},chart]

给出在给定的坐标 chart 中的拉普拉斯算子.

更多信息

Laplacian 亦称为 Laplace–Beltrami 算子. 当应用于向量场时，亦称为向量 Laplacian.
Laplacian[f,x] 可以按 f 输入. 字符 ∇ 可以按 del 或者 \[Del] 输入. 变量列表 x 和 2 分别按下标和上标输入.
可用 del2 输入空模板 ，通过将光标从下标移到主体.
所有不显式依赖变量的量的偏导数被视为零.
Laplacian[f,{x₁,x₂,…}] 给出与 f 具有相同维度的结果.
在 Laplacian[f,{x₁,…,x_n},chart] 中，如果 f 是一个数组，它的维度必须是 {n,…,n}. f 的分量被解释为位于与 chart 相关联的正交规范基中.
对于欧几里得空间上的坐标系，可通过将 f 转换至直角坐标系来计算 Laplacian[f,{x₁,…,x_n},chart]，算出拉普拉斯算子后再转换回 chart. »
Laplacian 的一个属性是如果 chart 是用度规 g 定义的，以正交形式表示，则 Laplacian[g,{x₁,…,x_n]},chart] 给出零. »
可用三元组 {coordsys,metric, dim}（与 CoordinateChartData 的第一个参数相同的方式）指定 Laplacian 的第三个参数中的坐标系. 可以使用忽略了 dim 的简短形式.
Laplacian[f,VectorSymbol[…]] 计算矢量符号的拉普拉斯算子. »
Laplacian 适用于 SparseArray 和结构化数组对象.

范例

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基本范例 (4)

三维笛卡尔坐标中的拉普拉斯算子：

三维圆柱形坐标中的拉普拉斯算子：

二维极坐标中的拉普拉斯算子：

使用 del 输入 ∇，输入下标变量列表，使用输入 2：

使用 del2 输入模板 ，填入变量，按下，并且填入函数：

范围 (6)

将 Laplacian 应用于任意阶数的数组：

在曲线坐标系中，含有常数分量的矢量可能有非零 Laplacian：

指定公制、坐标系统和参数的 Laplacian：

Laplacian 作用于弯曲空间：

坐标向量的拉普拉斯算子为 SymbolicZerosArray[{n}]：

平方范数的拉普拉斯算子表示为 SymbolicIdentityArray[{n}]：

使用 TensorExpand 简化为预期结果，即维度的两倍：

n 维范数的平方的拉普拉斯算子：

计算和，得到简化结果：

应用 (3)

球体坐标中的泊松方程：

求解径向对称电子分布：

单位球面上的拉普拉斯算子：

球函数是特征值为的算子的特征函数：

将库仑势（点电荷的电势）推广至 n 维：

因为只有在原点处的电荷密度不为零，其他地方的拉普拉斯算子必需为零：

简化结果：

在指定维度激活结果，分母结合后的结果为零：

每个维度上都可以用球面坐标获得同样的结果：

属性和关系 (8)

Laplacian 保留了数组的形状：

拉普拉斯算子等于梯度的发散度：

由于 Grad 返回标准正交基表示的结果，一个标量的拉普拉斯算子等于双梯度的迹：

对于高维数组，则为双梯度的最后两个索引的收缩：

通过转换为直角坐标然后再转换回来，计算欧几里得坐标系 c 中的 Laplacian：

与直接计算 Laplacian[f,{x₁,…,x_n},c] 的结果一样：

一个数组的拉普拉斯算子只在笛卡尔坐标中等于它的分量的拉普拉斯算子：

如果 chart 是用度规 g 定义的，以正交形式表示，则 Laplacian[g,{x₁,…,x_n},chart] 给出零：

对于三维平面空间中的向量场，拉普拉斯算子等于：

在维度为的平面空间内，向量场的拉普拉斯算子等于 . 对于：

Laplacian 可保留 SymmetrizedArray 对象的对称结构：

拉普拉斯算子与输入的对称性相同：

互动范例 (1)

在不同的坐标系中查看一个标量函数的拉普拉斯算子的表达式：

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