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LegendreP

ルジャンドル多項式を与える．

LegendreP[n,m,x]

ルジャンドル陪多項式を与える．

詳細

記号操作・数値操作の両方に適した数学関数である．
明示的な公式は，整数 n や m に対して与えられる．
ルジャンドル多項式は，微分方程式を満たす．
ルジャンドル多項式は，単位重み関数と直交する．
ルジャンドルの陪関数は， $TemplateBox[{n, m, x}, LegendreP3]=(-1)^m(1-x^2)^(m/2)(d^m/dx^m)TemplateBox[{n, x}, LegendreP]$ で定義される．
n，m そして z の任意の複素数値に関して，LegendreP[n,z]とLegendreP[n,m,z]は，第1種ルジャンドル関数を与える．
LegendreP[n,m,a,z]は，タイプ a のルジャンドル関数を与える．デフォルトのタイプは1である．
タイプ1の記号形式は，タイプ2は，また，タイプ3はを含む．
タイプ1は複素平面上の単位円内のについてのみ定義される．タイプ2は単位円の外側にあるタイプ1の解析的条件を表す．
タイプ2の関数は，複素平面上のから，またはからまでの区間において分枝切断線を持つ．
タイプ3の関数は，からにおいて単一の分枝切断線を持つ．
LegendreP[n,m,a,z]は，タイプ2の場合を，タイプ3の場合を，Hypergeometric2F1Regularized[-n,n+1,1-m,(1-z)/2]に掛けたものと定義される．
特別な引数の場合，LegendrePは，自動的に厳密値を計算する．
LegendrePは任意の数値精度で評価できる．
LegendrePは自動的にリストに縫い込まれる．
LegendrePはIntervalオブジェクトおよびCenteredIntervalオブジェクトに使うことができる． »

例題

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例 (6)

数値的に評価する：

十次ルジャンドル多項式を計算する：

実数の部分集合上でプロットする：

複素数の部分集合上でプロットする：

原点における級数展開：

Infinityにおける漸近展開：

スコープ (50)

数値評価 (7)

固定点で数値的に評価する：

高精度で評価する：

出力精度は入力精度に従う：

複素次数と引数について評価する：

LegendrePを高精度で効率よく評価する：

LegendrePは実数値区間を扱うことができる：

IntervalオブジェクトとCenteredIntervalオブジェクトを使って最悪の場合に保証される区間を計算する：

Aroundを使って平均的な場合の統計区間を計算することもできる：

配列の要素ごとの値を計算する：

MatrixFunctionを使って行列のLegendreP関数を計算することもできる：

特定の値 (5)

記号的なについてのルジャンドル多項式：

極大値をの根として求める：

ルジャンドルの陪多項式を計算する：

ルジャンドル陪多項式を半整数およびについて計算する：

タイプが異なるLegendrePは異なる記号形式を与える：

可視化 (3)

LegendreP関数をさまざまな次数でプロットする：

の実部をプロットする：

の虚部をプロットする：

タイプ2とタイプ3のルジャンドル関数の分岐点の構造は異なる：

関数の特性 (12)

は，整数についてはすべてのについて，非整数についてはについて定義される：

複素平面では，が整数ではないときにについて定義される：

ルジャンドル陪関数は，が偶整数ではないときはでは追加的には定義されない：

整数次数のルジャンドル多項式の値域：

複素数値についての値域は平面全体である：

奇数次のルジャンドル多項式は奇多項式である：

偶数次のルジャンドル多項式は偶多項式である：

ルジャンドル多項式は鏡面特性を持つ：

は整数についての解析関数である：

非整数については解析的でも有理型でもない：

ルジャンドル陪関数はもまた偶整数である限り解析的である：

は整数については非減少でも非増加でもない：

は整数については非減少でも非増加でもない：

は正の奇整数値については全射であるが偶数値についてはそうではない：

LegendrePは非負でも非正でもない：

はが整数のときは特異点も不連続点も持たない：

ルジャンドル陪関数は，が偶整数ではないときに追加的な特異点を持つ：

は整数については非減少でも非増加でもない：

微分 (3)

一次導関数：

高次導関数：

についての高次導関数をプロットする：

次導関数の式：

積分 (3)

LegendrePの不定積分：

を含む代数関数の不定積分：

の定積分：

級数展開 (4)

のテイラー(Taylor)展開：

の周りのの最初の3つの近似をプロットする：

の級数展開における一般項：

ルジャンドル陪多項式のテイラー展開：

LegendrePはベキ級数に適用できる：

積分変換 (4)

FourierTransformを使った次数のルジャンドル多項式のフーリエ変換：

LaplaceTransformを使った次数のルジャンドル多項式のラプラス変換：

MellinTransformを使った次数のルジャンドル多項式のメリン変換：

HankelTransformを使った次数のルジャンドル多項式のハンケル変換：

関数の恒等式と簡約 (4)

LegendrePはより簡単な関数に簡約できるかもしれない：

通常のルジャンドル多項式によるルジャンドル陪多項式：

ルジャンドル多項式の総和：

再帰関係：

関数表現 (5)

MeijerGによる表現：

LegendrePはDifferentialRootとして表すことができる：

SphericalHarmonicYはその定義でルジャンドル陪関数を使う：

角回転楕円体関数によるルジャンドル陪多項式：

TraditionalFormによる表示：

一般化と拡張 (3)

LegendrePは，実数値区間を扱うことができる：

異なるタイプのLegendrePは，異なる記号の形を与える：

タイプ2とタイプ3は異なる分枝切断構造を持つ：

アプリケーション (5)

角運動量の固有関数：

Pöschl–Tellerポテンシャルは，一次元のシュレディンガー方程式が特殊関数によって解けるポテンシャルの特殊クラスである．

改良型Pöschl–Tellerポテンシャルの量子固有関数を求める：

ルジャンドル多項式の -類似はQHypergeometricPFQによって定義できる：

ルジャンドル多項式をとして回復する：

-1から1までの区間における関数の一般化されたフーリエ変換：

n 点ガウス求積法は n 次ルジャンドル多項式の根に基づいている．n 点ガウス求積法のノードと重みを計算する：

n 点ガウス求積法を使って積分を数値評価する：

ガウス求積法の結果をNIntegrateの結果と比較する：

特性と関係 (4)

FunctionExpandを使って展開し，単純な関数にする：

LegendrePはDifferentialRootとして表すことができる：

LegendrePの母関数：

LegendrePの指数母関数：

考えられる問題 (1)

多項式の形での簡約で結不正確な数値結果が出ることがある：

関数を直接評価する：

おもしろい例題 (3)

零点の分布を可視化する：

一般化されたリサージュ(Lissajous)図：

ヒルベルト行列を介したルジャンドル多項式についての式：

最初の2つのケースについて式を検証する：

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