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LegendreP

给出勒让德（Legendre）多项式 .

LegendreP[n,m,x]

给出缔合勒让德多项式 .

更多信息

数学函数，同时适合符号和数值运算.
对整数 n 和 m 给出明确的公式.
勒让德多项式满足微分方程 .
勒让德多项式在单位权函数下是正交的.
缔合勒让德多项式由 $TemplateBox[{n, m, x}, LegendreP3]=(-1)^m(1-x^2)^(m/2)(d^m/dx^m)TemplateBox[{n, x}, LegendreP]$ 定义.
对任意复数值 n、m 和 z，LegendreP[n,z] 和 LegendreP[n,m,z] 给出第一类的勒让德函数.
LegendreP[n,m,a,z] 给出第 a 类的勒让德函数. 缺省是 1 型.
第 1 类勒让德多项式的符号形式包含，第 2 类的符号形式包含，第 2 类的符号形式包含.
第 1 类仅定义于复平面上单位圆内的 . 第 2 类表示第 1 类超出单位圆的解析开拓.
第 2 类函数在复平面上从到和从到有分支切割.
第 3 类型函数从到有一条分支切割.
LegendreP[n,m,a,z] 第 2 类定义为 Hypergeometric2F1Regularized[-n,n+1,1-m,(1-z)/2] 乘以，对第 2 类乘以 .
对某些特定变量值，LegendreP 自动运算出精确值.
LegendreP 可计算到任意数值精度.
LegendreP 自动队逐项作用于列表.
LegendreP 可与 Interval 和 CenteredInterval 对象一起使用. »

范例

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基本范例 (6)

数值运算：

计算阶勒让德多项式：

在实数的子集上绘图：

在复数的子集上绘图：

在原点的级数展开：

在 Infinity 的级数展开：

范围 (50)

数值评估 (7)

在固定点的数值评估：

高精度求值：

输出精度与输入精度一致：

对复数阶和复自变量求值：

用高精度高效评估 LegendreP：

LegendreP 可以处理实数区间：

使用 Interval 和 CenteredInterval 对象计算最坏情况下的保证间隔：

或使用 Around 计算平均情况统计区间：

计算数组的元素值：

或使用 MatrixFunction 计算矩阵 LegendreP 函数：

特定值 (5)

符号的勒让德多项式：

求根的局部最大：

计算关联的勒让德多项式：

计算半整数和的关联勒让德多项式：

不同的 LegendreP 类型给出不同的符号形式：

可视化 (3)

绘制各种阶数的 LegendreP 函数：

绘制的实部：

绘制虚部：

勒让德函数的类型 2 和 3 具有不同的分支切割结构：

函数属性 (12)

对于整数下的所有和非整数下的，有定义：

在复平面上，该函数在非整数时对有定义：

关联勒让德函数在非偶数整数时对无定义：

整数阶数勒让德多项式的范围：

复值范围是整个平面：

奇阶勒让德多项式是奇函数：

偶阶勒让德多项式是偶函数：

勒让德多项式有镜像属性：

对于整数，是的解析函数：

对于非整数，该函数既非解析函数也不是亚纯函数：

只要也是偶数，关联勒让德函数为解析函数：

对于的整数，既不是非递增，也不是非递减：

对于的整数，既不是非递增，也不是非递减：

对于正奇数，为满射函数，但对偶数不是：

LegendreP 既不是非负，也不是非正：

当为整数时，没有奇点和断点：

当不是偶数整数时，关联勒让德函数有额外奇点：

对于的整数，既不是非递增，也不是非递减：

微分 (3)

一阶导：

高阶导：

绘制的高阶导：

阶导数的公式：

积分 (3)

LegendreP 的不定积分：

带有代数函数的不定积分：

的定积分：

级数展开 (4)

的泰勒展开：

绘制在处，的前 3 个近似：

级数展开的广义项：

关联勒让德多项式的泰勒展开：

LegendreP 可应用于幂级数：

积分变换 (4)

使用 FourierTransform 对具有阶数的勒让德多项式进行傅立叶变换：

使用 LaplaceTransform 对具有阶数的勒让德多项式进行拉普拉斯变换：

使用 MellinTransform 对具有阶数的勒让德多项式进行梅林变换：

使用 HankelTransform 对具有阶数的勒让德多项式进行汉克尔变换：

函数恒等与简化 (4)

LegendreP 可能简化成更简单的函数：

普通勒让德多项式的关联勒让德多项式：

勒让德多项式之和：

递归关系：

函数表示 (5)

用 MeijerG 的表示：

LegendreP 可以表示为 DifferentialRoot：

SphericalHarmonicY 在定义中使用关联的勒让德函数：

关于角球形函数的关联勒让德多项式：

TraditionalForm 格式：

推广和延伸 (3)

LegendreP 可以处理实数区间：

不同 LegendreP 类型给出不同的符号形式：

2 型和 3 型有不同的分支切割结构：

应用 (5)

角动量特征函数：

Pöschl–Teller 势能是一类特殊的势能，可以用特殊函数来求解一维薛定谔方程.

对修正的 Pöschel–Teller 势能求量子特征函数：

勒让德多项式的模拟可以用 QHypergeometricPFQ 来定义：

恢复的勒让得多项式：

-1 到 1 区间上函数的广义傅立叶变换：

n 点高斯求积规则基于 n 阶勒让德多项式的根. 计算 n 点高斯求积规则的节点和权重：

使用 n 点高斯求积规则对积分进行数值计算：

将高斯求积的结果与 NIntegrate 的结果进行比较：

属性和关系 (4)

用 FunctionExpand 展开成简单函数：

LegendreP 可以表示为 DifferenceRoot：

LegendreP 的生成函数：

LegendreP 的指数母函数：

可能存在的问题 (1)

多项式形式的抵消可能会导致不精确的结果：

直接计算函数：

巧妙范例 (3)

可视化显示 0 点的分布：

广义的 Lissajous 图形：

用希尔伯特矩阵表示勒让德多项式的表达式：

验证前几种情况的表达式：

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