数値行列の3×3の指数行列：

これは，単に行列の各項の指数ではない：

2×2記号行列の指数行列：

ベクトルに適用された指数関数：

平面力場で粒子が動いていて，その位置ベクトル が および を満足するとする，ただし， と は以下の通りである．のときの初期問題を解く：

この微分方程式の解は である：

DSolveValueを使って解を確かめる：

一階線形微分方程式系：

この系を として の形で書く：

指数行列は一般解の基底を与える：

指数行列をベクトルに適用すると特定の解が得られる：

量子力学では，エネルギー演算子はハミルトニアン と呼ばれる．一定の磁場の 方向へのスピン1の粒子についてのハミルトニアンが与えられたとして，初期状態が を表すである粒子の時点 における状態を求める：

この系はシュレディンガー(Schrödinger)方程式 に従って進化する：

固定された三次元ベクトルについてのクロス積は行列の乗算で表すことができるが，これは回転運動の学習に役立つ．線形演算子 を表す半対称行列を構築する．ただし， は 軸の周りの角速度である：

の動作が でクロス積を実行することと同じであることを確認する：

時点 における回転行列は の回転行列掛ける前の行列である：

RotationMatrixを使ってを確認する：

時点0における点は時点 では である：

の速度は で与えられる：

回転軸から までのベクトルはである：

動きと随伴ベクトルを可視化する：

行列 s は格子 x 上の上で周期的な二次導関数を近似する：

格子 x 上でソリトンを表すベクトル：

分割した を使って の解を伝播する：

解とシュレディンガー(Schrödinger)の三次方程式の解からの誤差の10倍をプロットする：

MatrixExpは，事実上，Expのベキ級数をPowerをMatrixPowerで置換して使う：

同様に，MatrixExpはExpに適用したMatrixFunctionである：

対角行列の行列指数は対角項が指数化された対角行列である：

m が で対角化可能なら である：

MatrixExp[m]は常に可逆であり，逆行列はMatrixExp[-m]で与えられる：

実半対称行列のMatrixExpは直行行列である：

反エルミート行列のMatrixExpはユニタリ行列である：

エルミート行列のMatrixExpは正定値行列である：

MatrixExpはを満足する：

ベキ零行列の行列指数はベキ乗パラメータの多項式である：

がベキ零である（ある について ）ことを確認する：

はJordanDecompositionから として計算できる：

さらに，は優対角におけるによって説明される上三角ブロック以外では零である：

大規模疎行列の場合，指数行列の計算には時間がかかることもある：

ベクトルへの適用して計算するとメモリ使用量も少なくはるかに高速である：

結果は基本的に等しい：