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NegativeDefiniteMatrixQ

NegativeDefiniteMatrixQ[m]

如果 m 是显式负定矩阵，则给出 True，否则给出 False.

更多信息

如果对于所有非零向量 x，有 Re[Conjugate[x].m.x]<0，则矩阵 m 是负定的. »
NegativeDefiniteMatrixQ 适用于数值矩阵和符号矩阵.

范例

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基本范例 (2)

测试 2×2 实矩阵是否为显式负定矩阵：

这意味着对于所有的向量，二次型成立：

可视化二次型的值：

测试 3×3 Hermitian 矩阵是否为负定矩阵：

范围 (10)

基本用法 (6)

测试一个实机器精度矩阵是否为显式负定矩阵：

测试一个复矩阵否为负定矩阵：

测试一个精确矩阵否为负定矩阵：

用 NegativeDefiniteMatrixQ 测试任意精度的矩阵：

随机矩阵通常不是负定矩阵：

用 NegativeDefiniteMatrixQ 测试符号矩阵：

时矩阵变为负定矩阵：

NegativeDefiniteMatrixQ 可高效处理大型数值矩阵：

特殊矩阵 (4)

用 NegativeDefiniteMatrixQ 测试稀疏矩阵：

用 NegativeDefiniteMatrixQ 测试结构化矩阵：

单位矩阵不是负定矩阵：

HilbertMatrix 不是负定矩阵：

应用 (11)

负定矩阵的几何与代数性质 (4)

考虑一个 2×2 的实负定矩阵及其相关的实二次型：

因为是负定矩阵，所以水平集是椭圆：

的图则是向下的椭圆抛物面：

对于的实负定矩阵，水平集是 -椭圆体：

通过，Hermitian 矩阵定义了一个实二次型：

如果是负定矩阵，则对于所有非零输入，为负：

输入为正的情况下可视化：

对于实值矩阵，只有对称的部分决定是否为负定矩阵. 将写为，为对称部分，为非对称部分：

由于为实对称矩阵，，意味着是实矩阵：

同样，由于为实非对称矩阵，有或为虚矩阵：

因此，，当且仅当为负定矩阵，才是负定矩阵：

对于复矩阵，只有 Hermitian 部分决定是否为负定矩阵. 将写为，是 Hermitian 矩阵，为反埃尔米特矩阵：

由于是 Hermitian 矩阵，，意味着是实矩阵：

同样，由于为反埃尔米特矩阵，有或是虚矩阵：

因此，，当且仅当为负定矩阵，才是负定矩阵：

负定矩阵的来源 (4)

角度在区间内的二维旋转矩阵是负定矩阵：

这是因为在这种情况下，对应于正常点积且：

非奇异反厄米特矩阵的平方是负定矩阵：

负的 Lehmer 矩阵是对称负定矩阵：

它的逆矩阵是三对角矩阵，同时也是对称负定矩阵：

矩阵 -Min[i,j] 一定是对称负定矩阵：

它的逆矩阵是三对角矩阵，同时也是对称负定矩阵：

负定矩阵的用途 (3)

二阶导数检验对函数的临界点进行以下分类：如果 Hessian 矩阵为正定矩阵，则临界点为局部最小值，如果 Hessian 矩阵为负定矩阵，则临界点为局部最大值，如果 Hessian 矩阵为不定矩阵，则临界点为鞍点（如果 Hessian 矩阵不是这三种类型之一，则检验失败）. 求二元函数的临界点：

计算 Hessian 矩阵：

三个临界点中的最后一个是鞍点：

前两个点是局部极大点：

可视化函数. 红点和蓝点是极大点，绿点是鞍点：

求三变量函数的临界点：

计算 f 的 Hessian 矩阵：

前两个临界点是局部极大点：

最后三个点是鞍点：

对该函数而言，任何三个临界点都是线性相关的，因此它们都位于一个平面上：

计算平面的法线：

可视化函数，极大值为绿色，非极端临界点为红色：

可以通过取反将 CholeskyDecomposition 应用于负定矩阵：

Cholesky 分解只适用于正定 Hermitian 矩阵：

的上三角分解是满足的矩阵：

属性和关系 (14)

对于任何不是矩阵的 x，NegativeDefiniteMatrixQ[x] 返回 False：

如果对于所有非零向量，，则矩阵是负定矩阵：

与的正负无关：

当且仅当实矩阵的对称部分是负定的，实矩阵才是负定矩阵：

一般情况下，当且仅当矩阵的 Hermitian 部分是负定的，矩阵才是负定矩阵：

当且仅当实对称矩阵的特征值都是负的，实对称矩阵才是负定矩阵：

该陈述更普遍适用于 Hermitian 矩阵：

普通矩阵的所有特征值可以为负而不是负定矩阵：

同样，一个矩阵可以是负定的，但没有负的特征值：

失败是特征值为复数造成的：

负定矩阵的特征值的实部必须为负：

当且仅当对角元素有负的实部，对角矩阵才是负定矩阵：

负定矩阵的通用形式为，其中，为对角负定矩阵：

将划分为 Hermitian 和反厄米特部分：

根据谱定理，可用 JordanDecomposition 将酉对角化：

矩阵是对角矩阵，且对角元素为负：

矩阵是酉矩阵：

验证：

当且仅当是正定矩阵，矩阵才是负定矩阵：

负定矩阵一定是半负定矩阵：

不可能是不定或半正定矩阵：

负定矩阵是可逆的：

逆矩阵也是负定矩阵：

如果是实负定矩阵，则存在，使得对于任意实向量，有 $TemplateBox[{x}, Transpose].m.x<=-delta ||x||^2$ 成立：

令为的对称部分的最小特征值：

验证 $TemplateBox[{x}, Transpose].m.x<=-delta ||x||^2$ ：

实对称负定矩阵的行列式和迹为负：

这同样适用于负定 Hermitian 矩阵：

负定厄米特矩阵有唯一定义的平方根，使得成立：

根由为负定且为厄米特矩阵的条件唯一定义：

两个对称负定矩阵的 Kronecker 积是对称正定矩阵：

用一个正定矩阵替换其中的一个矩阵，将得到一个负定矩阵：

可能存在的问题 (2)

Hilbert 矩阵 m 是正定的，而 -m 是负定的：

m 的最小特征值太小了，在机器精度上肯定是负的：

在机器精度上，矩阵 -m 测试非负定：

使用足够高的精度计算负特征值将给出正确结果：

NegativeDefiniteMatrixQ 将给出 False，除非它可以证明一个符号矩阵是负定的：

同时使用 Eigenvalues 和 Reduce 可给出更精确的结果：

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