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NegativeSemidefiniteMatrixQ

NegativeSemidefiniteMatrixQ[m]

如果 m 是显式半负定矩阵，给出 True，否则给出 False.

更多信息和选项

如果对于所有向量 x，Re[Conjugate[x].m.x]≤0 成立，则矩阵 m 是半负定的. »
NegativeSemidefiniteMatrixQ 适用于符号以及数值矩阵.
对于近似矩阵，选项 Tolerance->t 可用于表明将所有满足 λ≤t λ_max 的特征值 λ 视为零，其中 λ_max 是幅值最大的特征值.
选项 Tolerance 具有默认值 Automatic.

范例

打开所有单元关闭所有单元

基本范例 (2)

测试 2×2 的实矩阵是否为显式半负定矩阵：

这意味着对于所有向量，二次型成立：

可视化二次型的值：

测试 3×3 Hermitian 矩阵是否为半负定矩阵：

范围 (10)

基本用法 (6)

测试一个实机器精度矩阵是否为显式半负定矩阵：

测试一个复矩阵否为半负定矩阵：

测试一个精确矩阵否为半负定矩阵：

用 NegativeSemidefiniteMatrixQ 测试任意精度的矩阵：

随机矩阵通常不是半负定矩阵：

用e NegativeSemidefiniteMatrixQ 测试符号矩阵：

时矩阵变为半负定矩阵：

NegativeSemidefiniteMatrixQ 可高效处理大型数值矩阵：

特殊矩阵 (4)

用 NegativeSemidefiniteMatrixQ 测试稀疏矩阵：

用 NegativeSemidefiniteMatrixQ 测试结构矩阵：

单位矩阵不是半负定矩阵：

HilbertMatrix 不是半负定矩阵：

选项 (1)

Tolerance (1)

产生具有阶数为的随机扰动的实数对角矩阵：

调整选项 Tolerance 接受矩阵作为半负定矩阵：

应用 (10)

半负定矩阵的几何与代数性质 (5)

考虑一个 2×2 的实半负定矩阵及其相关的实二次型：

因为是负定矩阵，所以水平集是椭圆：

的图则是向下的椭圆抛物面：

但是，椭圆可以退化，变成线：

的图则变为抛物线上的圆柱体：i

在更极端的情况下，由于，水平集可以是整个平面：

对于的实半负定矩阵，水平集是 -椭圆体：

在三维空间中，可以退化为椭圆上的圆柱体：

以及平面：

通过，Hermitian 矩阵定义了一个实二次型：

如果是半负定矩阵，对于所有输入，非正：

输入为实数的情况下可视化：

对于实值矩阵，只有对称的部分决定是否为半负定矩阵. 将写为，为对称部分，为非对称部分：

由于为实对称矩阵，，意味着是实矩阵：

同样，由于为实非对称矩阵，有或为虚矩阵：

因此，，当且仅当为半负定矩阵，才是半负定矩阵：

对于复矩阵，只有 Hermitian 部分决定是否为半负定矩阵. 将写为，是 Hermitian 矩阵，为反埃尔米特矩阵：

由于是 Hermitian 矩阵，，意味着是实矩阵：

同样，由于为反埃尔米特矩阵，有或是虚矩阵：

因此，，当且仅当为半负定矩阵，才是半负定矩阵：

半负定矩阵的来源 (5)

角度在区间内的二维旋转矩阵是半负定矩阵：

这是因为在这种情况下，对应于正常点积且：

因此，对于，矩阵实际上是负定矩阵：

在端点处，它们是半负定矩阵，但不是负定矩阵：

反厄米特矩阵的平方是半负定矩阵：

每一个反厄米矩阵都是半负定矩阵：

负的 Lehmer 矩阵是对称半负定矩阵：

它的逆矩阵是三对角矩阵，同时也是对称半负定矩阵：

矩阵 -Min[i,j] 一定是对称半负定矩阵：

它的逆矩阵是三对角矩阵，同时也是对称半负定矩阵：

属性和关系 (13)

对于任何不是矩阵的 xNegativeSemidefiniteMatrixQ[x] 返回 False：

如果对于所有向量，，则矩阵是半负定矩阵：

与的正负无关：

当且仅当实矩阵的对称部分是半负定的，实矩阵才是半负定矩阵：

一般情况下，当且仅当矩阵的 Hermitian 部分是半负定的，矩阵才是半负定矩阵：

当且仅当实对称矩阵的特征值都是非正的，实对称矩阵才是半负定矩阵：

该陈述更普遍适用于 Hermitian 矩阵：

普通矩阵的所有特征值可以非正而不是半负定矩阵：

同样，一个矩阵可以是半负定的，但没有非正特征值：

失败是特征值为复数造成的：

半负定矩阵的特征值的实部必须非正：

当且仅当对角元素有非正实部，对角矩阵才是半负定矩阵：

半负定矩阵的通用形式为，其中，为对角半负定矩阵：

将划分为 Hermitian 和反厄米特部分：

根据谱定理，可用 JordanDecomposition 将酉对角化：

矩阵是对角矩阵，且对角元素非正：

矩阵是酉矩阵：

验证：

当且仅当是半正定矩阵，矩阵才是半负定矩阵：

负定矩阵一定是半负定矩阵：

有非负定的半负定矩阵：

半负定矩阵不可能是不定或半正定矩阵：

实对称半负定矩阵的行列式和迹非正：

这同样适用于半负定 Hermitian 矩阵：

实对称半负定矩阵有唯一定义的平方根，使得成立：

根由为半负定且为厄米特矩阵的条件唯一定义：

半负定厄米特矩阵有唯一定义的平方根，使得成立：

根由为半负定且为厄米特矩阵的条件唯一定义：

两个对称半负定矩阵的 Kronecker 积是对称半正定矩阵：

用一个半正定矩阵替换其中的一个矩阵，将得到一个半负定矩阵：

可能存在的问题 (1)

NegativeSemidefiniteMatrixQ 将给出 False，除非它可以证明一个符号矩阵是半负定的：

同时使用 Eigenvalues 和 Reduce 可给出更精确的结果：

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