機械精度ベクトルの集合を直交させる：

複素ベクトルを直交させる：

厳密ベクトルを直交させる：

任意精度ベクトルを直交させる：

記号ベクトルを直交させる：

aとbが実数であると仮定して結果を簡約する：

大きい数値行列は効率的に扱われる：

疎な行列の行を直交させる：

構造化行列の行を直交させる：

対角ベクトルを直交させると別の対角行列になる：

HilbertMatrixを直交させる：

すべての変数が実数であると仮定して記号基底を求める：

明示的な内積を使ってリストではないベクトルを直交させる：

純関数を使って内積を指定する：

許容点以下では，2つのベクトルは線形に非依存だとは認識されない：

mはほぼ線形従属の1組のベクトルを形成する：

デフォルトのアルゴリズムについて正規直交性からの偏差：

すべてのアルゴリズムについての偏差：

大規模数値行列の場合は，一般に自記法が最速である：

ベクトル をベクトルとベクトルでスパンされた平面上に射影する：

と同じ空間をスパンする正規直交基底を構築する：

平面への射影は への射影の和である：

平面に垂直な成分を求める：

を平面の法線に射影することで結果を確認する：

平面，ベクトル，その平行成分と垂直成分を可視化する：

フレネ・セレ(Frenet–Serret)の系はすべての空間曲線の特性をベクトル基底とスカラー関数で符号化する．次の曲線について考える：

Orthogonalizeを使って最初の3つの導関数から正規直交基底を構築する：

基底が必ず右手系であるようにする：

曲線の曲がり方を数量化する曲率 とねじれ を計算する：

FrenetSerretSystemを使って答を確かめる：

曲線と関連付けられた枠とも呼ばれる移動基底を可視化する：

ベクトル の，，の3つのベクトルでスパンされた空間への正射影を求める：

まず，空間の正規直交基底を構築する：

空間の成分はで与えられる：

差 は の空間内の任意のベクトルに対して垂直である：

線形系 に解がない場合，最良の近似解は最小二乗解である．それは の解である．ただし，は の列空間への の正射影である．次の と について考える：

線形系には一貫性がない：

の列によってスパンされた空間の正規直交基底を求める：

によってスパンされた空間への の正射影 を計算する：

，へのその射影 ，を可視化する：

を解く：

LeastSquaresを使って結果を確認する：

Orthogonalizeを使ってデータに最もフィットする曲線が求められる．次のデータについて考える：

と の座標をデータから抽出する：

を最小にすることが直線 にフィットさせることになるように， に列 と があるとする：

線形最小二乗フィットの係数 と を得る：

Fitを使って係数を確認する：

最もフィットする曲線をデータとともにプロットする：

次のデータに最もフィットする放物線を求める：

と の座標をデータから抽出する：

を最小化することが にフィットさせることになるように， に列 ，，があるとする：

と同じ列空間を持つ正規直交ベクトル を構築する：

最小二乗フィットの係数 ，， を得る：

Fitを使って係数を確認する：

最もフィットする曲線をデータとともにプロットする：

次の行列 の列空間の正規直交基底を求め．その基底を使って のQR分解を求める：

グラム・シュミットを の列に適用し，次に列がそれらのベクトルである行列として を定義する：

とする：

であることを確認する：

QRDecompositionが与える結果と比較する． 行列は同じである：

QRDecompositionは行正規直交の結果を与えるので， 行列は転置の分だけ違っている：

エルミート行列（より一般的には，任意の正規行列）の固有ベクトルは直交ベクトルであり，射影行列は と定義するのが慣習的である．ただし，は正規化された固有ベクトルである．一般的なベクトルへの射影行列の作用が次の行列 の固有空間にベクトルを射影することと同じであることを示す：

がエルミート行列であることを確かめる：

固有値と固有ベクトルを求める：

と は異なる固有空間から来ているので，どちらも に直交する：

両者は同じ固有値を持つので，互いに直交である必要はなく，直交してもいない：

Orthogonalizeを使って から正規直交基底を作成する：

射影行列を計算する：

一般的なベクトルに を掛けると へのベクトルの射影と等しくなることを確認する：

は正規直交基底を形成するので，の和は恒等行列でなければならない：

さらに，の和はもとの行列 である：

正定値対称実行列または測度 は によって内積を定義する：

正定値であることは関連付けられた二次形式 が について正であることを意味する：

Dot自体が恒等行列に関連付けられた内積である点に注意のこと：

の標準基底を直交化して正規直交基底を得る：

この基底が内積に関して正規直交であることを確認する：

フーリエ級数は内積空間 における正規直交基底への射影である．自乗可積分関数上の標準的な内積を定義する：

この内積内のの形の直交化関数：

はFourierParameters{0,1}に対応する対称フーリエ係数に等しい：

FourierCoefficientを使って確認する：

フーリエ級数は でスパンされた空間への の射影である：

FourierSeriesを使って結果を確認する：

LegendrePは直交多項式族を内積 について定義する． が0から4までのときに多項式 を直交化して最初のルジャンドル多項式のスカラー倍数を計算する：

従来のルジャンドル多項式を比較する：

各 について と は倍違っている：

HermiteHは直交多項式族を内積 について定義する．正規化されていないグラム・シュミット過程を多項式 （ は0から4まで）に適用して最初の5つのエルミート多項式のスカラー倍数を計算する：

を従来のエルミート多項式と比較する：

各 について と は定数倍数分異なる：