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PDF[dist,x]

给出关于在 x 处的分布 dist 的概率密度函数.

PDF[dist,{x1,x2,…}]

给出关于在 {x1,x2,…} 处的分布 dist 的多变量概率密度函数.

PDF[dist]

概率密度函数作为一个纯函数给出.

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应用  
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按以下格式引用：

PDF

PDF[dist,x]

给出关于在 x 处的分布 dist 的概率密度函数.

PDF[dist,{x1,x2,…}]

给出关于在 {x1,x2,…} 处的分布 dist 的多变量概率密度函数.

PDF[dist]

概率密度函数作为一个纯函数给出.

更多信息

  • 对于离散分布，PDF 也被称作概率质量函数.
  • 对于连续分布，PDF[dist,x] dx 给出观测值的概率，其观测值位于 x 和 x+dx 中，dx 无限小.
  • 对于离散分布，PDF[dist,x] 给出观测值为 x 的概率.
  • 对于连续多元分布 PDF[dist,{x1,x2,…}]dx1 dx2 … 给出观测值位于 xi 和 xi+dxi 限制间的概率，其中 dxi 为无限小.
  • 对于离散多元分布 PDF[dist,{x1,x2,…}] 给出观测值为 {x1,x2,…} 的概率.

范例

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基本范例  (4)

一个一元连续分布的概率密度函数：

Wolfram Language code: PDF[NormalDistribution[0, 1], x]
Wolfram Language code: Plot[%, {x, -5, 5}, Filling -> Axis]

一个一元离散分布的概率密度函数：

Wolfram Language code: PDF[HypergeometricDistribution[20, 50, 100], k]
Wolfram Language code: DiscretePlot[%, {k, 0, 20}, ExtentSize -> 0.5]

一个多元连续分布的概率密度函数：

Wolfram Language code: PDF[BinormalDistribution[1 / 3], {x, y}]
Wolfram Language code: Plot3D[%, {x, -3, 3}, {y, -3, 3}]

一个多元离散分布的概率密度函数：

Wolfram Language code: PDF[MultivariatePoissonDistribution[1, {2, 3}], {x, y}]
Wolfram Language code: DiscretePlot3D[%, {x, 0, 10}, {y, 0, 10}, ExtentSize -> 0.5]

范围  (25)

参数分布  (7)

获得确切的数值结果：

Wolfram Language code: PDF[WeibullDistribution[2, 5], 4]
Wolfram Language code: PDF[NegativeBinomialDistribution[20, 1 / 3], 5]

获得一个机器精度结果：

Wolfram Language code: PDF[WeibullDistribution[2, 5], 4.]

获得一个连续分布的任意精度结果：

Wolfram Language code: PDF[WeibullDistribution[2, 5], N[4, 25]]

获得一个离散分布在不精确参数的任意精度结果：

Wolfram Language code: PDF[NegativeBinomialDistribution[20, N[1 / 3, 30]], 5]

获取 PDF 的符号表达式：

Wolfram Language code: PDF[ChiSquareDistribution[ν], x]
Wolfram Language code: PDF[UniformDistribution[{{a, b}, {c, d}}], {x, y}]

获取纯函数结果：

Wolfram Language code: PDF[GammaDistribution[1, 2]]

在一个值上求值：

Wolfram Language code: %[3]

PDF 线性作用于列表：

Wolfram Language code: PDF[NormalDistribution[], {0.0, 0.2, 0.3}]

多元分布：

Wolfram Language code: PDF[BinormalDistribution[1 / 2], {{0.0, 0.0}, {0.2, 0.2}, {0.3, 0.3}}]

非参数分布  (4)

分参数分布的 PDF：

Wolfram Language code: r = RandomVariate[NormalDistribution[], 10 ^ 4];
Wolfram Language code: PDF[HistogramDistribution[r], 0.2]
Wolfram Language code: PDF[SmoothKernelDistribution[r], 0.2]

比较基本参数分布的值：

Wolfram Language code: PDF[NormalDistribution[], 0.2]

绘制直方图分布的 PDF：

Wolfram Language code: Plot[PDF[HistogramDistribution[RandomVariate[NormalDistribution[], 10 ^ 3]], x]//Evaluate, {x, -3, 3}, Filling -> Axis]

核混合分布的 PDF 的解析表达式：

Wolfram Language code: PDF[KernelMixtureDistribution[RandomVariate[GammaDistribution[1, 2], 10 ]], x]

绘制二元核平滑分布的 PDF：

Wolfram Language code: Plot3D[PDF[SmoothKernelDistribution[RandomVariate[BinormalDistribution[1 / 3], 30]], {x, y}]//Evaluate, {x, -3, 3}, {y, -3, 3}, PlotRange -> {0, 0.4}]

导出分布  (10)

独立分布的乘积：

Wolfram Language code: pdf = PDF[ProductDistribution[TriangularDistribution[{2, 4}], TriangularDistribution[{1, 7}]], {x, y}]
Wolfram Language code: Plot3D[pdf, {x, 1, 5}, {y, 0, 8}, PlotRange -> All]

组件的混合分布：

Wolfram Language code: pdf = PDF[MixtureDistribution[{1, 4}, {NormalDistribution[a, b], NormalDistribution[c, d]}], x]
Wolfram Language code: Plot[pdf /. {a -> 0, b -> 1, c -> 6, d -> 3 / 2}, {x, -2, 10}, Filling -> Axis]

离散分布的二次转换：

Wolfram Language code: PDF[TransformedDistribution[x ^ 2, xPoissonDistribution[2]], y]
Wolfram Language code: DiscretePlot[%, {y, 0, 50}, PlotRange -> {0, 0.3}]

删截分布：

Wolfram Language code: PDF[CensoredDistribution[{-2, 4}, CauchyDistribution[0, 1]], x]
Wolfram Language code: Integrate[%, {x, -Infinity, Infinity}]

截断分布：

Wolfram Language code: PDF[TruncatedDistribution[{2, 3}, TriangularDistribution[{1, 4}]], x]
Wolfram Language code: Plot[{PDF[TriangularDistribution[{1, 4}], x], %}, {x, 1, 5}, Filling -> Axis]

参数混合分布：

Wolfram Language code: PDF[ParameterMixtureDistribution[PoissonDistribution[μ], μUniformDistribution[{2, 3}]], x]

Copula 分布：

Wolfram Language code: PDF[CopulaDistribution[{"Frank", 3}, {ExponentialDistribution[2], ExponentialDistribution[5]}], {x, y}]
Wolfram Language code: NIntegrate[%, {x, -Infinity, Infinity}, {y, -Infinity, Infinity}]

由概率密度函数定义的公式分布：

Wolfram Language code: PDF[ProbabilityDistribution[(Sqrt[2] / Pi)(1 / (1 + x ^ 4)), {x, -Infinity, Infinity}], x]

由累积分布函数定义的：

Wolfram Language code: PDF[ProbabilityDistribution[{"CDF", Piecewise[{{-2 + x, 2 ≤ x ≤ 3}, {1, x > 3}}, 0]}, {x, -Infinity, Infinity}], x]

由生存函数定义的：

Wolfram Language code: PDF[ProbabilityDistribution[{"SF", Piecewise[{{1 - 2(-2 + x) ^ 2, 2 ≤ x ≤ 5 / 2}, {2(3 - x) ^ 2, 5 / 2 < x ≤ 3}, {1, x < 2}}, 0]}, {x, -Infinity, Infinity}], x]

边缘分布：

Wolfram Language code: PDF[MarginalDistribution[ ProbabilityDistribution[1 / (E ^ (y ^ 2 / 2)(Pi ^ (3 / 2)(1 + x ^ 4))), {x, -Infinity, Infinity}, {y, -Infinity, Infinity}], 2], y]

QuantityDistribution 的概率密度函数假定参数为具有兼容单位的 Quantity：

Wolfram Language code: 𝒟 = NormalDistribution[Quantity[4, "Meters"], Quantity[1 / 2, "Meters"]]
Wolfram Language code: PDF[𝒟, x]

这允许直接数量替换：

Wolfram Language code: % /. x -> Quantity[387., "Centimeters"]

与数量参数的直接使用比较：

Wolfram Language code: PDF[𝒟, Quantity[387., "Centimeters"]]

随机过程  (4)

求离散状态随机过程的 SliceDistribution 的概率密度函数：

Wolfram Language code: PDF[PoissonProcess[μ][2], x]
Wolfram Language code: DiscretePlot[Evaluate[% /. μ -> 2], {x, 0, 15}, ExtentSize -> 0.5]

连续状态随机过程：

Wolfram Language code: PDF[WienerProcess[][2], x]
Wolfram Language code: Plot[%, {x, -3, 3}, Filling -> Axis]

求离散状态过程的多时间切片概率密度函数：

Wolfram Language code: PDF[PoissonProcess[μ][{2, 3}], {x, y}]
Wolfram Language code: DiscretePlot3D[Evaluate[% /. μ -> 2], {x, 0, 10}, {y, 0, 10}, ExtentSize -> 0.5]

连续状态过程的多切片：

Wolfram Language code: PDF[WienerProcess[][{2, 3}], {x, y}]
Wolfram Language code: Plot3D[%, {x, -3, 3}, {y, -3, 3}]

求离散状态随机过程的 StationaryDistribution 的概率密度函数：

Wolfram Language code: PDF[StationaryDistribution[QueueingProcess[λ, μ, 2]], x]//FullSimplify
Wolfram Language code: DiscretePlot[Evaluate[% /. {μ -> 3, λ -> 2.9}], {x, 0, 10}, ExtentSize -> 0.5]

求时间 的切片分布：

Wolfram Language code: PDF[WienerProcess[1, 1][t], x]
Wolfram Language code: Plot3D[%, {x, -3, 8}, {t, 1, 5}, AxesLabel -> Automatic, PlotRange -> All]

应用  (10)

绘制概率密度函数  (5)

绘制连续的概率密度函数：

Wolfram Language code: Plot[PDF[NormalDistribution[0, 1], x], {x, -3, 3}]

绘制离散的概率密度函数：

Wolfram Language code: DiscretePlot[PDF[PoissonDistribution[10], x], {x, 0, 30}]

绘制连续的双变量的概率密度函数：

Wolfram Language code: Plot3D[PDF[DirichletDistribution[{3, 2, 5}], {x, y}], {x, 0, 1}, {y, 0, 1}, AxesLabel -> Automatic, PlotRange -> All, Exclusions -> None]

绘制离散的双变量概率密度函数：

Wolfram Language code: DiscretePlot3D[PDF[MultivariatePoissonDistribution[1, {2, 3}], {x, y}], {x, 0, 10}, {y, 0, 10}, PlotRange -> All]
Wolfram Language code: DiscretePlot3D[PDF[MultivariatePoissonDistribution[1, {2, 3}], {x, y}], {x, 0, 10}, {y, 0, 10}, PlotRange -> All, ExtentSize -> Full, PlotStyle -> Lighter[Blue, 0.5]]

绘制单变量系列的连续的概率密度函数：

Wolfram Language code: Plot3D[PDF[NormalDistribution[0, σ], x], {σ, 1 / 2, 2}, {x, -3, 3}, AxesLabel -> Automatic]

计算累积分布函数  (1)

通过解微分方程，从概率密度函数中计算累积分布函数：

Wolfram Language code: cdf[x] /. DSolve[{cdf'[x] == PDF[NormalDistribution[], x], cdf[0] == 1 / 2}, cdf, x][[1]]
Wolfram Language code: CDF[NormalDistribution[], x]
Wolfram Language code: FullSimplify[% - %%]

置信区间  (1)

为标准的正态分布绘制置信区间：

Wolfram Language code: pdf = PDF[NormalDistribution[], x]

计算 70% 置信区间的边界：

Wolfram Language code: {xl, xr} = Function[α, Quantile[NormalDistribution[], {(1 - α/2.0), (1 + α/2.0)}]][Quantity[70, "Percent"]]
Wolfram Language code: Show[Plot[pdf, {x, -1.7, 1.7}, Filling -> Axis, AxesOrigin -> {0, 0}, RegionFunction -> (Not[xl < # < xr]&)], Plot[pdf, {x, xl, xr}], PlotRange -> {0, 0.4}, Ticks -> {Automatic, None}]

分布模式  (1)

从它的概率密度函数中计算一个分布的模式：

Wolfram Language code: 𝒟 = ProbabilityDistribution[6 / 125(-x ^ 2 + x + 6), {x, -2, 3}];
Wolfram Language code: pdf = PDF[𝒟, x]
Wolfram Language code: Plot[pdf, {x, -4, 5}, Filling -> Axis]
Wolfram Language code: mode = Maximize[pdf, x]

仿射变换  (1)

仿射变换后计算概率密度函数：

Wolfram Language code: PDF[TransformedDistribution[{-2 x - 3 y, 5 x - 7 y}, {x, y}DirichletDistribution[{12, 3, 14}]], {a, b}]

泊松逼近二项式  (1)

验证大 和小 的二项分布的泊松近似

Wolfram Language code: n = 10000;p = 0.0002;
Wolfram Language code: pdf1 = PDF[PoissonDistribution[n p], x]
Wolfram Language code: pdf2 = PDF[BinomialDistribution[n, p], x]
Wolfram Language code: Table[pdf1, {x, 0, 5}]
Wolfram Language code: Table[pdf2, {x, 0, 5}]

属性和关系  (9)

分布区域上的完全积分或和是单位 1：

Wolfram Language code: Integrate[PDF[GammaDistribution[α, β], x], {x, 0, Infinity}, Assumptions -> α > 0 && β > 0]
Wolfram Language code: Sum[PDF[GeometricDistribution[p], k], {k, 0, Infinity}]

CDF 是连续分布的概率密度函数 的积分；：

Wolfram Language code: Integrate[PDF[ExponentialDistribution[λ], ξ], {ξ, -∞, x}, Assumptions -> x∈Reals && λ > 0]
Wolfram Language code: CDF[ExponentialDistribution[λ], x]
Wolfram Language code: FullSimplify[%% - %, λ > 0]

累积分布函数 是概率密度函数 的积分；：

Wolfram Language code: 𝒟 = DirichletDistribution[{1, 2, 3}];
Wolfram Language code: int = Integrate[PDF[𝒟, {ξ, ψ}], {ξ, -∞, x}, {ψ, -∞, y}, Assumptions -> {x, y}∈Reals];
Wolfram Language code: cdf = CDF[𝒟, {x, y}];
Wolfram Language code: FullSimplify[int - cdf, {x, y}∈Reals]

累积分布函数 是离散分布 的概率密度函数 的和：

Wolfram Language code: Sum[PDF[GeometricDistribution[p], m], {m, -∞, Floor[n]}]//FullSimplify
Wolfram Language code: CDF[GeometricDistribution[p], n]
Wolfram Language code: FullSimplify[% - %%, Im[n] == 0]

生存函数 是 PDF 的积分；：

Wolfram Language code: Integrate[PDF[ExponentialDistribution[λ], ξ], {ξ, x, ∞}, Assumptions -> x∈Reals && λ > 0]
Wolfram Language code: SurvivalFunction[ExponentialDistribution[λ], x]
Wolfram Language code: FullSimplify[%% - %, λ > 0]

连续分布 的 Expectation 是一个以概率密度函数为权数的积分 ：

Wolfram Language code: 𝒟 = ChiSquareDistribution[ν];
Wolfram Language code: Simplify[Subsuperscript[∫, 0, ∞]x^2 PDF[𝒟, x]ⅆx, ν > 0]
Wolfram Language code: Expectation[x^2, x𝒟]

离散分布 的期望是以概率密度函数为权数的加权和 ：

Wolfram Language code: 𝒟 = PoissonDistribution[μ];
Wolfram Language code: Subsuperscript[∑, ξ = 0, ∞]ξ^2PDF[𝒟, ξ]
Wolfram Language code: Expectation[ξ ^ 2, ξ𝒟]

离散一元分布的 的概率由概率密度函数给出：

Wolfram Language code: Probability[x == 5, xPoissonDistribution[m]]
Wolfram Language code: PDF[PoissonDistribution[m], 5]

分布的 HazardFunction 是概率密度函数与生存函数之比：

Wolfram Language code: HazardFunction[NormalDistribution[], x]
Wolfram Language code: PDF[NormalDistribution[], x] / SurvivalFunction[NormalDistribution[], x]

可能存在的问题  (3)

对于某些分布，不存在相应的符号式解析表达式（closed form）：

Wolfram Language code: PDF[StableDistribution[0, 1.8, -0.5, 1, 2], x]

可以进行数值计算：

Wolfram Language code: PDF[StableDistribution[0, 1.8, -0.5, 1, 2], 0.3]

把无效的值带入符号，输出的结果是无意义的：

Wolfram Language code: PDF[CauchyDistribution[2, 3], x] /. {x -> I}

作为参数带入会产生正确的结果：

Wolfram Language code: PDF[CauchyDistribution[2, 3], I]

度量与 Lebesgue 度量或整数点阵上的计数度量不兼容的分布的 PDF 可能不计算或给出不正确的结果：

Wolfram Language code: 𝒟 = TransformedDistribution[x y, {xUniformDistribution[{0, 1}], yDiscreteUniformDistribution[{0, 1}]}];

PDF 的结果没有归一化：

Wolfram Language code: PDF[𝒟, x]

分布度量在原点有原子，因此不与 Lebesgue 度量兼容：

Wolfram Language code: Probability[x == 0, x𝒟]

不兼容性表现在原子位置的 CDF 的跳跃不连续性：

Wolfram Language code: cdf = CDF[𝒟, x]
Wolfram Language code: Plot[cdf, {x, -0.1, 1}, ExclusionsStyle -> {Directive[Thick, Red], Directive[PointSize[Large], Red]}, Filling -> Axis]

Expectation、Probability、RandomVariate 等完全支持混合分布：

Wolfram Language code: Expectation[Log[1 + x], x𝒟]
Wolfram Language code: Log[1 + RandomVariate[𝒟, 10 ^ 5]]//Mean

巧妙范例  (3)

截断二元正态分布的概率密度函数：

Wolfram Language code: 𝒟 = TruncatedDistribution[{{-∞, 1 / 2}, {-∞, ∞}}, BinormalDistribution[1 / 7]];
Wolfram Language code: Plot3D[{PDF[𝒟 , {x, y}], PDF[BinormalDistribution[(1/7)], {x, y}]}//Evaluate, {x, -3, 3}, {y, -3, 3}, PlotRange -> All, PlotPoints -> 35]

三元正态分布的等值面：

Wolfram Language code: Σ = With[{σ1 = 1, σ2 = 2, σ3 = 1, ρ23 = 0, ρ13 = 0}, {{σ1 ^ 2, σ1 σ2 ρ12, σ1 σ3 ρ13}, {σ1 σ2 ρ12, σ2 ^ 2, σ2 σ3 ρ23}, {σ1 σ3 ρ13, σ2 σ3 ρ23, σ3 ^ 2}}]; μ = {0., 0, 0};
Wolfram Language code: Block[{ρ12 = 1 / 2}, ContourPlot3D[PDF[MultinormalDistribution[μ, Σ], {x, y, z}]//Evaluate, {x, -3, 3}, {y, -3, 3}, {z, -3, 3}, Mesh -> None, Contours -> 4, ContourStyle -> {Red, Yellow, Green, Blue}, RegionFunction -> Function[{x, y, z}, x < 0 || y > 0], PlotLabel -> ρ12, PlotRange -> Full]]

变换相关系数时的概率密度函数的等值面：

Wolfram Language code: Σ = With[{σ1 = 1, σ2 = 2, σ3 = 1, ρ23 = 0, ρ13 = 0}, {{σ1 ^ 2, σ1 σ2 ρ12, σ1 σ3 ρ13}, {σ1 σ2 ρ12, σ2 ^ 2, σ2 σ3 ρ23}, {σ1 σ3 ρ13, σ2 σ3 ρ23, σ3 ^ 2}}]; μ = {0., 0, 0}; DistributeDefinitions[μ, Σ];
Wolfram Language code: ParallelTable[ ContourPlot3D[PDF[MultinormalDistribution[μ, Σ], {x, y, z}]//Evaluate, {x, -3, 3}, {y, -3, 3}, {z, -3, 3}, Mesh -> None, Contours -> {0.01}, PlotLabel -> ρ12, PlotRange -> Full], {ρ12, {-0.95, -0.75, -0.5, -0.25, 0, 0.25, 0.5, 0.75, 0.95}}]
Wolfram Research (2007)，PDF，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/PDF.html （更新于 2010 年）.

文本

Wolfram Research (2007)，PDF，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/PDF.html （更新于 2010 年）.

CMS

Wolfram 语言. 2007. "PDF." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 2010. https://reference.wolfram.com/language/ref/PDF.html.

APA

Wolfram 语言. (2007). PDF. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/PDF.html 年

BibTeX

@misc{reference.wolfram_2026_pdf, author="Wolfram Research", title="{PDF}", year="2010", howpublished="\url{https://reference.wolfram.com/language/ref/PDF.html}", note=[Accessed: 02-November-2026]}

BibLaTeX

@online{reference.wolfram_2026_pdf, organization={Wolfram Research}, title={PDF}, year={2010}, url={https://reference.wolfram.com/language/ref/PDF.html}, note=[Accessed: 02-November-2026]}