ParameterMixtureDistribution

ParameterMixtureDistribution[dist[θ],θwdist]

母数 θ が重み分布 wdist に従って分布する母数混合分布を表す．

ParameterMixtureDistribution[dist[θ₁,θ₂,…],{θ₁wdist₁,θ₂wdist₂,…}]

母数 θ₁が重み分布 wdist₁に，母数 θ₂が重み分布 wdist₂にというように順に従う母数混合分布を表す．

詳細とオプション

値の確率密度はExpectation[PDF[dist[θ],x],θwdist]で与えられる．
重み分布 wdist の領域は dist[θ]で期待される母数領域と等しいかその部分集合でなければならない．
母数 θ_iは離散的でも連続的でもよい．
母数についての仮定は，Assumptionsassum を使って指定することができる．
ParameterMixtureDistributionはMean，CDF，RandomVariate等の関数で使うことができる．

例題

すべて開くすべて閉じる

例 (3)

母数混合分布を指定する：

Wolfram Language code: ParameterMixtureDistribution[BinomialDistribution[n, p], p  BetaDistribution[α, β]]

Wolfram Language code: ParameterMixtureDistribution[PoissonDistribution[v], v  ExponentialDistribution[λ]]

母数混合分布は他の任意の分布と同じように動作する：

Wolfram Language code: 𝒟 = ParameterMixtureDistribution[GammaDistribution[2, β], βUniformDistribution[{1, 2}]]

Wolfram Language code: Plot[Evaluate[PDF[𝒟, x]], {x, 0, 11}, Filling -> Axis, PlotRange -> All]

Wolfram Language code: CDF[𝒟, x]

Wolfram Language code: {Mean[𝒟], Variance[𝒟]}

多変量分布の母数混合分布を求める：

Wolfram Language code: 𝒟 = ParameterMixtureDistribution[DirichletDistribution[{α, 1, 2}], αExponentialDistribution[1]]

Wolfram Language code: SmoothHistogram3D[RandomVariate[𝒟, 10 ^ 3]]

スコープ (36)

基本的な用法 (7)

一様分布に従う重みのExponentialDistributionの母数混合分布を求める：

Wolfram Language code: 𝒟 = ParameterMixtureDistribution[ExponentialDistribution[λ], λUniformDistribution[{0, 1}]];

確率密度関数：

Wolfram Language code: Plot[PDF[𝒟, x]//Evaluate, {x, 0, 10}, Filling -> Axis]

重み領域は主分布の母数推定を満足しなければならない：

Wolfram Language code: DistributionParameterAssumptions[RayleighDistribution[σ]]

正の実数についてサポートされている重み分布を取り上げる：

Wolfram Language code: CDF[HalfNormalDistribution[4], σ]

Wolfram Language code: 𝒫 = ParameterMixtureDistribution[RayleighDistribution[σ], σHalfNormalDistribution[4]];

結果として得られる母数混合分布の累積分布関数：

Wolfram Language code: CDF[𝒫, x]

Wolfram Language code: Plot[CDF[𝒫, x]//Evaluate, {x, 0, 2}, Filling -> Axis]

離散母数に離散的な重みを使用する：

Wolfram Language code:

𝒟1 = ParameterMixtureDistribution[BenfordDistribution[b + 2], bBinomialDistribution[10, .4]];
𝒟2 = ParameterMixtureDistribution[BenfordDistribution[b + 2], bBinomialDistribution[10, .7]];

確率密度関数を比較する：

Wolfram Language code: Table[DiscretePlot[PDF[d, x], {x, 1, 10}, PlotRange -> {0, 0.5}, ExtentSize -> 1 / 2], {d, {𝒟1, 𝒟2}}]

各分布から4より小さい値を得る確率を比較する：

Wolfram Language code: {Probability[x < 4, x𝒟1], Probability[x < 4, x𝒟2]}

1つの母数のみを変える：

Wolfram Language code: 𝒟 = ParameterMixtureDistribution[GammaDistribution[α, β], βExponentialDistribution[λ]];

累積分布関数：

Wolfram Language code: CDF[𝒟, x]

平均と分散：

Wolfram Language code: {Mean[𝒟], Variance[𝒟]}

多変量分布を重みとして使って2つ以上の母数を変える：

Wolfram Language code:

𝒟 = ParameterMixtureDistribution[NormalDistribution[μ, σ], {μ, σ}UniformDistribution[{{-1 / 2, 1 / 2}, {0, 2}}]];

Wolfram Language code: Plot[PDF[𝒟, x]//Evaluate, {x, -3, 3}, Filling -> Axis]

2つ以上の重み分布を使って複数の母数を変える：

Wolfram Language code:

𝒟 = ParameterMixtureDistribution[BorelTannerDistribution[α, n], {nPoissonDistribution[10], αUniformDistribution[{0, 1}]}];

確率密度関数を可視化する：

Wolfram Language code: Histogram[RandomVariate[𝒟, 10 ^ 3], {-0.5, 60.5, 3}, "PDF"]

母数混合分布の母数を推定する：

Wolfram Language code: 𝒟 = ParameterMixtureDistribution[PoissonDistribution[λ], λBetaDistribution[α, β]];

重み分布母数の選択用にランダムサンプルを作成する：

Wolfram Language code: sample = Block[{α = 2, β = 3}, RandomVariate[𝒟, 10 ^ 2]];

分布母数を求める：

Wolfram Language code: edist = EstimatedDistribution[sample, 𝒟]

サンプルのヒストグラムを推定分布の確率密度関数と比較する：

Wolfram Language code: Show[Histogram[sample, {-0.5, 4.5, 1}, "PDF"], DiscretePlot[PDF[edist, x], {x, 0, 5}, PlotStyle -> PointSize[Medium]]]

重み分布 (5)

一変量連続重み分布の母数混合分布を定義する：

Wolfram Language code: 𝒟 = ParameterMixtureDistribution[PoissonDistribution[μ], μHalfNormalDistribution[θ]];

Wolfram Language code: pdf = PDF[𝒟, x]

Wolfram Language code: DiscretePlot[Table[pdf, {θ, {1 / 4, 1 / 2, 3 / 4}}]//Evaluate, {x, 0, 10}, PlotMarkers -> Automatic]

一変量離散重み分布の母数混合分布を定義する：

Wolfram Language code: 𝒟 = ParameterMixtureDistribution[ErlangDistribution[k + 1, λ], kPoissonDistribution[μ]];

確率密度関数を求める：

Wolfram Language code: PDF[𝒟, x]

Momentは記号次数については閉形式である：

Wolfram Language code: Moment[𝒟, r]

一変量離散重み分布の母数混合分布を定義する：

Wolfram Language code: 𝒟 = ParameterMixtureDistribution[BinomialDistribution[n, 0.3], nBenfordDistribution[b]];

確率密度関数：

Wolfram Language code:

Table[DiscretePlot[PDF[𝒟, x]//Evaluate, {x, 0, 8}, ExtentSize -> 1 / 2, PlotRange -> {Full, {0, 0.6}}, ImageSize -> Small], {b, {4, 10}}]

多変量重み分布の母数混合分布を定義する：

Wolfram Language code: 𝒟 = ParameterMixtureDistribution[ParetoDistribution[a, 1, 1, b], {a, b}UniformDistribution[{{1, 2}, {0, 1}}]];

確率密度関数：

Wolfram Language code: PDF[𝒟, x]

確率密度関数の積分が1であることを証明する：

Wolfram Language code: Integrate[PDF[𝒟, x], {x, -∞, ∞}]//Simplify

2つ以上の重み分布を使う：

Wolfram Language code:

𝒟 = ParameterMixtureDistribution[UniformDistribution[{a, b}], {aUniformDistribution[], bUniformDistribution[{2, 3}]}];

Wolfram Language code: pdf = PDF[𝒟, x]

Wolfram Language code: Plot[pdf, {x, 0, 3}, Filling -> Axis, Exclusions -> None]

平均：

Wolfram Language code: Mean[𝒟]

Wolfram Language code: N[%]

分散：

Wolfram Language code: Variance[𝒟]

Wolfram Language code: N[%]

パラメトリック分布 (8)

一変量連続分布の母数混合分布を定義する：

Wolfram Language code: 𝒟 = ParameterMixtureDistribution[NormalDistribution[a, 3], aExponentialDistribution[2]];

累積分布関数：

Wolfram Language code: CDF[𝒟, x]

Wolfram Language code: Plot[CDF[𝒟, x]//Evaluate, {x, -6, 10}, Filling -> Axis]

一変量連続分布の混合分布を求める：

Wolfram Language code: 𝒟 = ParameterMixtureDistribution[CauchyDistribution[a, 1], aWaringYuleDistribution[1 / 10]];

確率密度関数：

Wolfram Language code: pdf = PDF[𝒟, x]//FullSimplify

Wolfram Language code: Plot[pdf, {x, -4, 6}, Filling -> Axis]

一変量離散分布の母数混合分布を定義する：

Wolfram Language code: 𝒟 = ParameterMixtureDistribution[PascalDistribution[10, p], pBetaDistribution[1 / 2, 3]];

Wolfram Language code: DiscretePlot[PDF[𝒟, x], {x, 0, 50}]

ランダムサンプルを生成する：

Wolfram Language code: data = RandomVariate[𝒟, 10 ^ 3];

平均と分散を求める：

Wolfram Language code: {Mean[data], Variance[data]}//N

一変量離散分布の母数混合分布を求める：

Wolfram Language code: 𝒟 = ParameterMixtureDistribution[NegativeBinomialDistribution[n, 1 / 3], nGeometricDistribution[p]];

確率密度関数：

Wolfram Language code: PDF[𝒟, x]

平均と分散：

Wolfram Language code: {Mean[𝒟], Variance[𝒟]}

の固定した値について，Momentは記号次数の下では閉形式である：

Wolfram Language code: Block[{p = 1 / 4}, Moment[𝒟, r]]

二変量連続分布の母数混合分布を定義する：

Wolfram Language code: 𝒟 = ParameterMixtureDistribution[BinormalDistribution[ρ], ρUniformDistribution[{0, 1}]];

ランダムサンプルと平滑化されたヒストグラムを使って密度関数を可視化する：

Wolfram Language code: sample = RandomVariate[𝒟, 10 ^ 3];

Wolfram Language code: SmoothHistogram3D[sample, Automatic, "PDF"]

二変量分布の母数混合分布を定義する：

Wolfram Language code:

𝒟 = ParameterMixtureDistribution[MultivariateTDistribution[{{1, 0}, {0, 1}}, ν], νDiscreteUniformDistribution[{3, 4}]];

確率密度関数：

Wolfram Language code: Plot3D[PDF[𝒟, {x, y}]//Evaluate, {x, -2, 2}, {y, -2, 2}]

Wolfram Language code: PDF[𝒟, {x, y}]

平均：

Wolfram Language code: Mean[𝒟]

共分散行列：

Wolfram Language code: Covariance[𝒟]//MatrixForm

多変量離散分布の母数混合分布を求める：

Wolfram Language code:

𝒟 = ParameterMixtureDistribution[MultivariatePoissonDistribution[μ, {1, 2, 3}], μBirnbaumSaundersDistribution[2, 3]];

ランダムサンプルを生成する：

Wolfram Language code: sample = RandomVariate[𝒟, 10 ^ 3];

各成分のヒストグラム：

Wolfram Language code: Table[Histogram[sample[[All, i]], Automatic, "PDF"], {i, 3}]

LaplaceDistributionは母数混合分布として表すことができる：

Wolfram Language code: 𝒟 = ParameterMixtureDistribution[NormalDistribution[μ, σ], σRayleighDistribution[ν]];

Wolfram Language code: PDF[𝒟, x]//Refine[#, {x, μ}∈Reals && ν > 0]&

Wolfram Language code: PDF[LaplaceDistribution[μ, ν], x]

Wolfram Language code: FullSimplify[% - %%]

ノンパラメトリック分布 (3)

EmpiricalDistributionを重みとして使う：

Wolfram Language code:

ed = EmpiricalDistribution[RandomVariate[ExponentialDistribution[2], 10]];
𝒟 = ParameterMixtureDistribution[NormalDistribution[0, σ], σed];

確率密度関数：

Wolfram Language code: Plot[PDF[𝒟, x], {x, -2, 2}, PlotRange -> All, Filling -> Axis]

Wolfram Language code: PDF[𝒟, x]

HistogramDistributionを重みとして使う：

Wolfram Language code:

hd = HistogramDistribution[RandomVariate[ExponentialDistribution[2], 10]];
𝒟 = ParameterMixtureDistribution[NormalDistribution[0, σ], σhd];

確率密度関数：

Wolfram Language code: Plot[PDF[𝒟, x]//Evaluate, {x, -2, 2}, PlotRange -> All, Filling -> Axis]

Wolfram Language code: PDF[𝒟, x]

SmoothKernelDistributionを重みとし，母数混合分布を定義する：

Wolfram Language code:

skd = SmoothKernelDistribution[RandomVariate[GammaDistribution[2, 3], 10 ^ 2], MaxRecursion -> 3];
𝒟 = ParameterMixtureDistribution[NormalDistribution[μ, 1], μskd];

確率密度関数をプロットする：

Wolfram Language code: Plot[PDF[𝒟, x]//Evaluate, {x, -5, 20}, PlotPoints -> 2, Filling -> Axis]

累積分布関数をプロットする：

Wolfram Language code: Plot[CDF[𝒟, x]//Evaluate, {x, -5, 20}, PlotPoints -> 2, Filling -> Axis]

派生分布 (11)

ProductDistributionを母数混合分布中の重み分布として使う：

Wolfram Language code:

𝒫 = ProductDistribution[LogNormalDistribution[2, 1 / 3], LogNormalDistribution[1, 1 / 2]];
𝒟 = ParameterMixtureDistribution[BetaDistribution[α, β], {α, β}𝒫];

 からのランダムサンプルのヒストグラムを使って確率密度関数を可視化する：

Wolfram Language code: sample = RandomVariate[𝒟, 10 ^ 3];

Wolfram Language code: Show[Histogram[sample, 20, "PDF"], SmoothHistogram[sample, PlotStyle -> Thick]]

TransformedDistributionの母数混合分布を求める：

Wolfram Language code:

𝒫 = TransformedDistribution[u + 3, uGammaDistribution[α, β]];
𝒟 = ParameterMixtureDistribution[𝒫, {αExponentialDistribution[1 / 10], βUniformDistribution[{0, 1}]}];

ランダムサンプルを使って密度関数を可視化する：

Wolfram Language code:

sample = RandomVariate[𝒟, 10 ^ 3];
Show[Histogram[sample, Automatic, "PDF"], SmoothHistogram[sample, PlotStyle -> Thick, PlotRange -> All]]

TransformedDistributionを重み分布として使って母数混合分布を求める：

Wolfram Language code:

𝒲 = TransformedDistribution[2 u, uExponentialDistribution[1]];
𝒟 = ParameterMixtureDistribution[MaxwellDistribution[σ], σ𝒲];

確率密度関数：

Wolfram Language code: pdf = PDF[𝒟, x]

Wolfram Language code: Plot[pdf, {x, 0, 10}, Filling -> Axis]

MixtureDistributionを母数混合分布で重み分布として使う：

Wolfram Language code:

ℳ = MixtureDistribution[{1, 2}, {PoissonDistribution[3], PoissonDistribution[13]}];
𝒟 = ParameterMixtureDistribution[ErlangDistribution[k + 1, 4], kℳ];

確率密度関数：

Wolfram Language code: Plot[PDF[𝒟, x]//Evaluate, {x, 0, 7}, Filling -> Axis]

平均と分散：

Wolfram Language code: {Mean[𝒟], Variance[𝒟]}

確率分布に従ってMixtureDistribution中の重みを変化させる：

Wolfram Language code:

ℳ = MixtureDistribution[{a, b}, {NormalDistribution[1, 1 / 2], NormalDistribution[-3, 1]}];
𝒟 = ParameterMixtureDistribution[ℳ, {a, b}UniformDistribution[{{0, 1}, {0, 1}}]];

確率密度関数：

Wolfram Language code: pdf = PDF[𝒟, x]//PowerExpand

平均値での固定した重みのMixtureDistributionと比較する：

Wolfram Language code:

{w1, w2} = Mean[UniformDistribution[{{0, 1}, {0, 1}}]];pdf2 = PDF[MixtureDistribution[{w1, w2}, {NormalDistribution[1, 1 / 2], NormalDistribution[-3, 1]}], x]//PowerExpand

両方の密度関数は等しい：

Wolfram Language code: pdf - pdf2//FullSimplify

Wolfram Language code: Plot[{pdf, pdf2}, {x, -6, 4}, Filling -> Axis]

TruncatedDistributionの母数混合分布を定義する：

Wolfram Language code:

𝒟 = ParameterMixtureDistribution[TruncatedDistribution[{-1, b}, NormalDistribution[]], bBinomialDistribution[3, 0.7]];

Wolfram Language code: Plot[PDF[𝒟, x], {x, -1.5, 3}, Filling -> Axis]

Wolfram Language code: PDF[𝒟, x]

平均と分散：

Wolfram Language code: {Mean[𝒟], Variance[𝒟]}

TruncatedDistributionの母数分布を定義する：

Wolfram Language code:

𝒟 = ParameterMixtureDistribution[TruncatedDistribution[{0, 4}, NormalDistribution[0, σ]], σUniformDistribution[{0, 1}]];

ランダムサンプルを使って確率密度関数を可視化する：

Wolfram Language code: SmoothHistogram[RandomVariate[𝒟, 10 ^ 3], Filling -> Axis]

母数混合分布でTruncatedDistributionを重み分布として使う：

Wolfram Language code:

𝒟 = ParameterMixtureDistribution[HalfNormalDistribution[θ], θTruncatedDistribution[{0, 2}, RayleighDistribution[2]]];

確率密度関数：

Wolfram Language code: Plot[PDF[𝒟, x]//Evaluate, {x, 0, 4}, Filling -> Axis]

Wolfram Language code: PDF[𝒟, x]

平均：

Wolfram Language code: Mean[𝒟]

OrderDistributionの母数混合分布を求める：

Wolfram Language code:

𝒫 = OrderDistribution[{NormalDistribution[], n + 1}, n + 1];
𝒟 = ParameterMixtureDistribution[𝒫, nPoissonDistribution[μ]];

確率密度関数：

Wolfram Language code: pdf = PDF[𝒟, x]

Wolfram Language code: Plot[Table[pdf, {μ, {2, 5, 10}}]//Evaluate, {x, -3, 4}, Filling -> Axis]

OrderDistributionを重み分布として使う：

Wolfram Language code:

𝒲 = OrderDistribution[{ExponentialDistribution[λ], 4}, 4];
𝒟 = ParameterMixtureDistribution[PoissonDistribution[μ], μ𝒲];

確率密度関数：

Wolfram Language code: pdf = PDF[𝒟, x]//FullSimplify[#, λ > 0]&

Wolfram Language code: DiscretePlot[Table[pdf, {λ, {1 / 4, 1 / 2, 1}}]//Evaluate, {x, 0, 12}, PlotMarkers -> Automatic]

QuantityDistributionの母数混合を評価するとQuantityDistributionになる：

Wolfram Language code:

𝒟 = ParameterMixtureDistribution[QuantityDistribution[NormalDistribution[μ, σ], "Nanometers"], μCauchyDistribution[0, 𝓈]]

Wolfram Language code:

ParameterMixtureDistribution[QuantityDistribution[ExponentialDistribution[λ], "Nanometers"], λGammaDistribution[2, μ]]

自動簡約 (2)

離散分布 (1)

BetaDistributionを重みとした母数混合分布：

Wolfram Language code: ParameterMixtureDistribution[BinomialDistribution[n, p], p  BetaDistribution[a, b]]

Wolfram Language code:

ParameterMixtureDistribution[NegativeBinomialDistribution[n, p], 
	p  BetaDistribution[a, b]]

PoissonDistributionを含む母数混合分布：

Wolfram Language code: ParameterMixtureDistribution[PoissonDistribution[v], v  ExponentialDistribution[m]]

Wolfram Language code: ParameterMixtureDistribution[PoissonDistribution[μ], μGammaDistribution[1, (1 - p) / p]]

Wolfram Language code: ParameterMixtureDistribution[PoissonDistribution[v], v  GammaDistribution[n, m]]

Wolfram Language code:

ParameterMixtureDistribution[BorelTannerDistribution[α, n], 
    n  PoissonDistribution[μ]]

連続分布 (1)

Wolfram Language code: ParameterMixtureDistribution[ExponentialDistribution[λ], λExponentialDistribution[1]]

RayleighDistributionを含む母数混合分布：

Wolfram Language code: ParameterMixtureDistribution[RayleighDistribution[σ], σLogNormalDistribution[μ, ν]]

Wolfram Language code: ParameterMixtureDistribution[RayleighDistribution[Sqrt[σ]], σGammaDistribution[α, β]]

NormalDistributionを含む母数混合分布：

Wolfram Language code: ParameterMixtureDistribution[NormalDistribution[p, Subscript[σ, 1]], pNormalDistribution[μ, Subscript[σ, 2]]]

Wolfram Language code: ParameterMixtureDistribution[NormalDistribution[μ, σ], σRayleighDistribution[ν]]

Wolfram Language code: ParameterMixtureDistribution[NormalDistribution[μ, 1 / Sqrt[σ]], σGammaDistribution[α, β]]

オプション (1)

Assumptions (1)

WaringYuleDistributionは幾何分布とUniformDistributionの母数混合分布である：

Wolfram Language code: 𝒟 = ParameterMixtureDistribution[GeometricDistribution[w^1 / a], wUniformDistribution[], Assumptions -> a > 0];

Wolfram Language code: PDF[𝒟, k]

組込みの答と比較する：

Wolfram Language code: PDF[WaringYuleDistribution[a], k]

Wolfram Language code: FullSimplify[% - %%]

アプリケーション (7)

SuzukiDistributionはRayleighDistributionとLogNormalDistributionの母数混合分布として定義される：

Wolfram Language code: 𝒟 = ParameterMixtureDistribution[RayleighDistribution[σ], σLogNormalDistribution[μ, ν]]

KDistributionはRayleighDistributionとGammaDistributionの母数混合分布として表すことができる：

Wolfram Language code: 𝒟 = ParameterMixtureDistribution[RayleighDistribution[Sqrt[σ]], σGammaDistribution[α, β / (2 α)]]

銀行員が各顧客の応対に要する時間（単位：分）は，平均3のLindleyDistributionに従う平均時間のExponentialDistributionに従う．応対時間の分布を求める：

Wolfram Language code: {sol} = NSolve[Mean[LindleyDistribution[δ]] == 3 && δ > 0, δ]

Wolfram Language code:

𝒟 = ParameterMixtureDistribution[ExponentialDistribution[1 / Quantity[λ, "Minutes"]], λLindleyDistribution[δ]] /. sol;

確率密度関数：

Wolfram Language code: pdf = PDF[𝒟, Quantity[t, "Minutes"]]

Wolfram Language code: Plot[pdf, {t, 0, 6}, Filling -> Axis, AxesLabel -> {"min"}]

平均応対時間：

Wolfram Language code: mean = Mean[𝒟]

次の30人の顧客に対する応対時間のシミュレーションを行う：

Wolfram Language code:

ListPlot[{RandomVariate[𝒟, 30], {{0, mean}, {30, mean}}}, Filling -> {1 -> Axis}, Joined -> {False, True}, AxesLabel -> Automatic]

光通信システムでは，送信された光が受信器で電流を生成する．電子の数は光のタイプによってポアソン分布と他の分布の母数混合分布に従う．光源が強度のコヒーレントレーザー光線を使う場合，電子数はポアソン分布に従う：

Wolfram Language code:

𝒟1 = ParameterMixtureDistribution[PoissonDistribution[μ], μTransformedDistribution[λ x, xBernoulliDistribution[1]], Assumptions -> λ > 0];

Wolfram Language code: PDF[𝒟1, x]

これはPoissonDistributionである：

Wolfram Language code: PDF[PoissonDistribution[λ], x]

光源が熱照明を使う場合，ポアソン母数は母数でExponentialDistributionに従い，電子数の分布が決定できる：

Wolfram Language code:

𝒟2 = ParameterMixtureDistribution[PoissonDistribution[μ], μExponentialDistribution[1 / λ], Assumptions -> λ > 0]

これら2つの分布は弁別可能なので光源のタイプが識別できる：

Wolfram Language code: Block[{λ = 3}, Histogram[{RandomVariate[𝒟1, 10 ^ 4], RandomVariate[𝒟2, 10 ^ 4]}, {0, 20, 1}, "PDF"]]

Doppler(Cauchy)プロファイルとLorentzian（正規）プロファイルを組み合せた結果の，Voigtスペクトル線プロファイル：

Wolfram Language code: ParameterMixtureDistribution[CauchyDistribution[μ, δ], μNormalDistribution[0, σ]]

密度関数を計算する：

Wolfram Language code: pdf[δ_, σ_, z_] = PDF[VoigtDistribution[δ, σ], z]

密度関数をプロットする：

Wolfram Language code: Plot[pdf[1, 2, z], {z, -10, 10}, Filling -> Axis]

プロファイルの半値幅を計算する：

Wolfram Language code: With[{δ = 1, σ = 2}, 2z /. FindRoot[pdf[δ, σ, z] == pdf[δ, σ, 0] / 2, {z, 2}]]//Chop

修正正規分布を定義する：

Wolfram Language code:

ModifiedNormalDistribution[a_, σ_] = ParameterMixtureDistribution[NormalDistribution[0, σ Sqrt[t]], tPowerDistribution[1, a]];

Wolfram Language code: pdf[a_, σ_, x_] = PDF[ModifiedNormalDistribution[a, σ], x]

のいくつかの値について修正正規分布密度をプロットし，それらを標準正規分布密度と比較する：

Wolfram Language code:

Show[Plot[{pdf[1, 1, x], pdf[2, 1, x], pdf[5, 1, x]}, {x, -5, 5}], Plot[PDF[NormalDistribution[], x], {x, -5, 5}, PlotStyle -> Dashed]]

多変量ポリヤ(Pólya)分布を定義する：

Wolfram Language code:

𝒟 = ParameterMixtureDistribution[NegativeMultinomialDistribution[10, {p1, p2}], {p1, p2}DirichletDistribution[{1, 2, 3}]];

確率密度関数：

Wolfram Language code: pdf = PDF[𝒟, {x, y}]

Wolfram Language code: DiscretePlot3D[pdf, {x, 0, 10}, {y, 0, 10}, ExtentSize -> 1 / 2]

特性と関係 (4)

母数混合分布の確率密度関数はExpectationを使って計算できる：

Wolfram Language code: 𝒟 = ParameterMixtureDistribution[ExponentialDistribution[λ], λUniformDistribution[{1, 2}]];

Wolfram Language code: PDF[𝒟, x]

Wolfram Language code: Expectation[PDF[ExponentialDistribution[λ], x], λUniformDistribution[{1, 2}]]

有限数の値を仮定すると，離散重み分布を持つ母数混合分布はMixtureDistributionとして表すことができる：

Wolfram Language code: 𝒟1 = ParameterMixtureDistribution[ErlangDistribution[k + 1, λ], kBinomialDistribution[3, p]];

Wolfram Language code:

weights = Table[PDF[BinomialDistribution[3, p], k], {k, 0, 3}];
dists = Table[ErlangDistribution[k + 1, λ], {k, 0, 3}];
𝒟2 = MixtureDistribution[weights, dists];

確率密度関数を比較する：

Wolfram Language code: PDF[𝒟1, x]//FullSimplify

Wolfram Language code: PDF[𝒟2, x]//FullSimplify

数えられる数の値を仮定すると，離散重み分布を持つ母数混合分布はMixtureDistributionで近似することができる：

Wolfram Language code: 𝒟1 = ParameterMixtureDistribution[ErlangDistribution[k + 1, λ], kPoissonDistribution[μ]];

Wolfram Language code:

weights[q_] := Table[PDF[PoissonDistribution[μ], k], {k, 0, Quantile[PoissonDistribution[μ], q]}];
dists[q_] := Table[ErlangDistribution[k + 1, λ], {k, 0, Quantile[PoissonDistribution[μ], q]}];
𝒟2[q_] := MixtureDistribution[weights[q], dists[q]];

異なる分位点をカットオフとした近似を比較する：

Wolfram Language code:

Legended[Block[{μ = 9, λ = 2}, Table[Plot[{PDF[𝒟1, x], PDF[𝒟2[q], x]}//Evaluate, {x, 0, 15}, PlotLabel -> Row[{"q = ", q}]], {q, {0.8, 0.9, 0.95, .99}}]], Placed[LineLegend[97, {"𝒟1", "𝒟2"}, LegendLayout -> "Row"], Below]]

連続重み分布を持つ母数混合分布をMixtureDistributionで近似する：

Wolfram Language code:

weight𝒟 = WeibullDistribution[1.5, 3];
Plot[PDF[weight𝒟, x], {x, 0, 10}]

Wolfram Language code:

𝒟1 = ParameterMixtureDistribution[NormalDistribution[0, λ], λweight𝒟];
pdf1 = PDF[𝒟1, x];

Wolfram Language code:

weights[q_] := Table[PDF[weight𝒟, λ], {λ, Quantile[weight𝒟, q], Quantile[weight𝒟, 1 - q], 0.1}];
dists[q_] := Table[NormalDistribution[0, λ], {λ, Quantile[weight𝒟, q], Quantile[weight𝒟, 1 - q], 0.1}];
𝒟2[q_] := MixtureDistribution[weights[q], dists[q]];

確率密度関数を比較する：

Wolfram Language code:

Legended[Table[Plot[({pdf1, PDF[𝒟2[q], x]}//Evaluate), {x, -3, 3}, PlotRange -> All, PlotLabel -> Row[{"q = ", q}]], {q, {0.1, 0.05, .01}}], Placed[LineLegend[97, {"𝒟1", "𝒟2"}, LegendLayout -> "Row"], Below]]

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